2022年中考数学动点问题专题讲解 .pdf

《2022年中考数学动点问题专题讲解 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年中考数学动点问题专题讲解 .pdf（47页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、学习必备欢迎下载中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点 ,它们在线段、 射线或弧线上运动的一类开放性题目 .解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静 .数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“ 对称、 动点的运动 ” 等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力 图形在 动点的运动

2、过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。 在变化中找到不变的性质是解决数学 “ 动点” 探究题的基本思路 ,这也是 动态几何数学问题中最核心的数学本质。二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（ 2）方程思想；（ 3）数形结合思想；（ 4）分类思想；（ 5）转化思想等研究历年来各区的压轴性试题， 就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教

3、师在教学中研究对策，把握方向只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点专题一：建立动点问题的函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容. 动点问题反映的是一种函数思想 ,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系. 那么 ,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1

4、 页，共 47 页学习必备欢迎下载一、应用勾股定理建立函数解析式例 1(2000 年上海) 如图 1, 在半径为 6, 圆心角为 90的扇形OAB的弧 AB上,有一个动点P,PHOA,垂足为 H,OPH 的重心为G. (1) 当点 P在弧 AB上运动时 , 线段 GO 、GP 、GH中, 有无长度保持不变的线段?如果有 ,请指出这样的线段 , 并求出相应的长度. (2) 设 PHx,GPy, 求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域( 即自变量x的取值范围 ). (3) 如果 PGH 是等腰三角形, 试求出线段PH的长 . 解:(1) 当点 P 在弧 AB上运动时 ,OP 保持不变 , 于是

5、线段GO 、GP 、 GH中, 有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132OP=2. (2)在Rt POH 中 , 22236xPHOPOH, 2362121xOHMH. 在 RtMPH 中 , . y=GP=32MP=233631x (0 x6). (3) PGH 是等腰三角形有三种可能情况: GP=PH 时,xx233631, 解得6x. 经检验 , 6x是原方程的根,且符合题意 . GP=GH 时, 2336312x,解得0 x. 经检验 , 0 x是原方程的根 , 但不符合题意. PH=GH 时,2x. 综上所述 , 如果 PGH 是等腰三角形, 那么线段PH的长为6或

6、2. 二、应用比例式建立函数解析式例 2（20XX年山东）如图2, 在 ABC中,AB=AC=1,点 D,E 在直线 BC上运动 . 设 BD=,xCE=y. (1)如果 BAC=30 , DAE=105 , 试确定y与x之间的函数解析式； (2)如果 BAC的度数为, DAE的度数为, 当,满足怎样的关系式时,(1) 中y与x之间的函数解析式还成立?试说明理由 . 解:(1) 在 ABC中 ,AB=AC,BAC=30 , ABC= ACB=75 , ABD= ACE=105 . BAC=30 , DAE=105 , DAB+ CAE=75 , 又 DAB+ ADB= ABC=75 , CAE

7、= ADB, ADB EAC, ACBDCEAB, 11xy, xy1. 2222233621419xxxMHPHMPA E D C B 图 2 H M N G P O A B 图 1 xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 47 页学习必备欢迎下载(2) 由于 DAB+ CAE=, 又 DAB+ ADB= ABC=290, 且函数关系式成立, 290=, 整理得290. 当290时,函数解析式xy1成立 . 例 3(20XX 年 上海 )如图 3(1),在 ABC中, ABC=90 ,AB=4,BC=3. 点 O是边 AC

8、上的一个动点 , 以点 O为圆心作半圆 , 与边 AB相切于点D,交线段 OC于点 E.作 EP ED,交射线 AB于点 P, 交射线 CB于点 F. (1) 求证 : ADE AEP. (2) 设 OA=x,AP=y, 求y关于x的函数解析式, 并写出它的定义域 . (3) 当 BF=1时 , 求线段 AP的长 . 解:(1) 连结 OD. 根据题意 , 得 OD AB, ODA=90 , ODA= DEP. 又由OD=OE, 得 ODE= OED. ADE= AEP, ADE AEP. (2) ABC=90 ,AB=4,BC=3, AC=5. ABC=ADO=90 , OD BC, 53x

9、OD,54xAD, OD=x53,AD=x54. AE=xx53=x58. ADE AEP, AEADAPAE, xxyx585458. xy516 (8250 x). (3) 当 BF=1时，若 EP交线段 CB的延长线于点F, 如图 3(1) ，则 CF=4. ADE= AEP, PDE= PEC. FBP= DEP=90 , FPB= DPE, F=PDE, F= FEC, CF=CE. 5-x58=4, 得85x. 可求得2y, 即 AP=2. 若 EP交线段 CB于点 F, 如图 3(2), 则 CF=2. 类似 , 可得 CF=CE. 5-x58=2, 得815x. 可求得6y,

10、即 AP=6. 综上所述 , 当 BF=1时, 线段 AP的长为 2 或 6. 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例 4（20XX年上海）如图 , 在 ABC中, BAC=90 ,AB=AC=22, A的半径为1. 若点 O在 BC边上运动 (与点 B、 C不重合 ), 设 BO=x, AOC的面积为y. (1) 求y关于x的函数解析式, 并写出函数的定义域. P D E A C B 3(2) O F O F P D E A C B 3(1) A B C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 47 页学习必备欢迎下载FAB

11、CED(2) 以点 O为圆心 ,BO 长为半径作圆O,求当 O与 A相切时 , AOC 的面积 . 解:(1) 过点 A作 AH BC,垂足为 H. BAC=90 ,AB=AC=22, BC=4,AH=21BC=2. OC=4-x. AHOCSAOC21, 4xy (40 x). (2) 当 O与 A外切时 , 在 RtAOH 中 ,OA=1x,OH=x2, 222)2(2)1(xx. 解得67x. 此时 , AOC 的面积y=617674. 当 O与 A内切时 , 在 RtAOH 中 ,OA=1x,OH=2x, 222)2(2)1(xx. 解得27x. 此时 , AOC 的面积y=21274

12、. 综上所述 , 当 O与 A相切时 ,AOC的面积为617或21.专题二：动态几何型压轴题动态几何特点- 问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。一、以动态几何为主线的压轴题（一）点动问题1（09 年徐汇区） 如图，ABC中，10ACAB，12BC，点D在边BC上，且4BD，以点D为顶

13、点作BEDF，分别交边AB于点E，交射线CA于点F（ 1）当6AE时，求AF的长；（ 2）当以点C为圆心CF长为半径的C和以点A为圆心AE长为半径的A相切时，求BE的长；（ 3）当以边AC为直径的O与线段DE相切时，求BE的长 题型背景和区分度测量点本题改编自新教材九上相似形 24.5(4)例六 ,典型的一线三角 (三等角 )问题 ,试题在原题的基础上改编出第一小题,当 E 点在 AB 边上运动时，渗透入圆与圆的位置关系(相切问题 )的存在性的研究形成了第二小题,加入直线与圆的位置关系 (相切问题 )的存在性的研究形成了第三小题区分度测精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳

14、总结 - - - - - - -第 4 页，共 47 页学习必备欢迎下载A B C D E O l AA B C D E O l F 量点在直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系,从而利用方程思想来求解 区分度性小题处理手法 1直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r 建立方程2圆与圆的位置关系的存在性( 相切问题 ) 的处理方法：利用d=Rr(rR) 建立方程3解题的关键是用含x的代数式表示出相关的线段. 略解 解：（ 1） 证明CDFEBDBECDBDCF，代入数据得8CF， AF=2（2）设 BE=x,则,10ACd,10 xAE利用（ 1）的方法xCF32，相切时分外切和内切两种情况

15、考虑：外切，xx321010，24x；内切，xx321010，17210 x100 x当C和A相切时，BE的长为24或17210（ 3）当以边AC为直径的O与线段DE相切时，320BE类题一个动点： 09 杨浦 25 题（四月、五月）、09 静安 25 题、两个动点：09 闸北 25 题、 09 松江 25 题、 09 卢湾 25 题、 09 青浦 25 题（二）线动问题在矩形 ABCD 中，AB3，点 O 在对角线 AC 上，直线 l 过点 O，且与 AC 垂直交 AD 于点 E.(1)若直线 l 过点 B，把 ABE 沿直线 l 翻折，点A 与矩形 ABCD 的对称中心A重合，求BC 的长

16、；(2)若直线 l 与 AB 相交于点F，且 AO 41AC ，设 AD 的长为x，五边形 BCDEF 的面积为S.求 S 关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；探索：是否存在这样的x，以 A 为圆心，以x43长为半径的圆与直线 l 相切，若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由 题型背景和区分度测量点本题以矩形为背景,结合轴对称、相似、三角等相关知识编制得到第一小题考核了学生轴对称、矩形、勾股定理三小块知识内容；当直线l沿AB边向上平移时，探求面积函数解析式为区分测量点一、加入直线与圆的位置关系 (相切问题 )的存在性的研究形成了区分度测量点二 区分度性小题处理手法 1找面积关系的函数解

17、析式，规则图形套用公式或用割补法，不规则图形用割补法2直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r 建立方程3解题的关键是用含x的代数式表示出相关的线段. 略解 (1) A 是矩形 ABCD 的对称中心 A BAA 21AC AB A B，AB 3AC 6 33BC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 47 页学习必备欢迎下载 (2) 92xAC，9412xAO，)9(1212xAF，xxAE492AF21AESAEFxx96)9(22，xxxS96)9(322xxxS968127024 (333x)若圆 A 与直线 l 相切

18、，则941432xx，01x( 舍去) ，582x3582x不存在这样的x，使圆 A与直线 l 相切 类题 09 虹口 25 题（三）面动问题如图，在ABC中，6,5 BCACAB，D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B重合），且保持BCDE，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG. （1）试求ABC的面积；（2）当边FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长；（3）设xAD，ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（4）当BDG是等腰三角形时，请直接写出AD的长 题型背景和区分度测量点本题改编自新教材九上相似形24.5(4)例七 ,典型的

19、共角相似三角形问题,试题为了形成坡度，在原题的基础上改编出求等腰三角形面积的第一小题,当 D 点在 AB 边上运动时，正方形DEFG整体动起来，GF 边落在 BC 边上时， 恰好和教材中的例题对应，可以说是相似三角形对应的小高比大高=对应的小边比大边，探寻正方形和三角形的重叠部分的面积与线段AD的关系的函数解析式形成了第三小题，仍然属于面积类习题来设置区分测量点一，用等腰三角形的存在性来设置区分测量点二 区分度性小题处理手法 图3-5图3-4图3-3图3-2图3-1KFGEKFGEFGEUKFGEFGECAACACACACBDBDBDBDBD1找到三角形与正方形的重叠部分是解决本题的关键，如上

20、图3-1 、 3-2 重叠部分分别为正方形和矩形包括两种情况2正确的抓住等腰三角形的腰与底的分类，如上图3-3 、3-4 、3-5 用方程思想解决3解题的关键是用含x的代数式表示出相关的线段. 略解 解：（ 1）12ABCS.FGECABD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 47 页学习必备欢迎下载（2）令此时正方形的边长为a，则446aa，解得512a. （3）当20 x时，22253656xxy，当52x时，2252452455456xxxxy. （4）720,1125,73125AD. 类题 改编自 09 奉贤 3 月

21、考 25 题，将条件（2）“ 当点 M、 N 分别在边BA、CA 上时” ,去掉，同时加到第（ 3）题中 .已知：在 ABC 中， AB=AC， B=30o，BC=6，点 D 在边 BC上，点 E 在线段 DC 上， DE=3，DEF 是等边三角形，边DF 、EF 与边 BA、 CA 分别相交于点M、N（1）求证： BDM CEN；（2）设 BD=x，ABC 与 DEF 重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域（3）当点 M、N 分别在边BA、CA 上时 ,是否存在点D，使以 M 为圆心 , BM 为半径的圆与直线EF 相切 , 如果存在，请求出x 的值；如不存在，请说明理由例

22、 1：已知 O 的弦 AB 的长等于 O 的半径，点C 在 O 上变化（不与A、B）重合，求 ACB 的大小. 分析：点C 的变化是否影响ACB 的大小的变化呢?我们不妨将点C 改变一下 ,如何变化呢？可能在优弧 AB 上，也可能在劣弧AB 上变化，显然这两者的结果不一样。那么，当点C 在优弧 AB 上变化时， ACB 所对的弧是劣弧AB ，它的大小为劣弧AB 的一半， 因此很自然地想到它的圆心角，连结 AO、BO，则由于 AB=OA=OB ，即三角形ABC 为等边三角形，则AOB=600 ，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：ACB=21AOB=300 ，当点 C 在劣弧 AB 上变化时

23、，ACB 所对的弧是优弧AB ， 它的大小为优弧AB 的一半，由 AOB=600得，优弧 AB 的度数为3600-600=3000，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出： ACB=1500 ，因此，本题的答案有两个，分别为300 或 1500. 反思：本题通过点C 在圆上运动的不确定性而引起结果的不唯一性。从而需要分类讨论。这样由点C 的运动变化性而引起的分类讨论在解题中经常出现。变式 1：已知 ABC 是半径为2 的圆内接三角形，若32AB，求 C 的大小 . 本题与例1 的区别只是AB 与圆的半径的关系发生了一些变化,其解题方法与上A B F D E M N C OBACOBAC精选学习

24、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 47 页学习必备欢迎下载面一致 ,在三角形AOB 中,232121sinOBABAOB,则06021AOB,即0120AOB, 从而当点 C 在优弧 AB 上变化时，C 所对的弧是劣弧AB ， 它的大小为劣弧AB 的一半，即060C, 当点 C 在劣弧 AB 上变化时，C 所对的弧是优弧AB ，它的大小为优弧 AB 的一半，由 AOB=1200 得，优弧 AB 的度数为3600-1200=2400，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：C=1200，因此060C或 C=1200. 变式 2: 如

25、图 ,半经为 1 的半圆 O 上有两个动点A、B，若 AB=1 ，判断 AOB 的大小是否会随点A、B 的变化而变化，若变化，求出变化范围，若不变化，求出它的值。四边形 ABCD 的面积的最大值。解：（ 1）由于AB=OA=OB ，所以三角形AOB为等边三角形，则AOB=600 ，即 AOB 的大小不会随点A、 B 的变化而变化。（ 2）四边形ABCD 的面积由三个三角形组成，其中三角形AOB 的面积为43，而三角形 AOD 与三角形 BOC 的面积之和为)(212121BGAFBGOCAFOD，又由梯形的中位线定理得三角形AOD 与三角形 BOC 的面积之和EHBGAF)(21，要四边形AB

26、CD 的面积最大，只需EH 最大，显然EHOE=23，当 ABCD 时， EH=OE，因此四边形 ABCD 的面积最大值为43+23=433. 对于本题同学们还可以继续思考:四边形 ABCD 的周长的变化范围. 变式 3:如图 ,有一块半圆形的木板,现要把它截成三角形板块.三角形的两个顶点分别为 A、B，另一个顶点C 在半圆上，问怎样截取才能使截出的三角形的面积最大？要求说明理由（广州市2000 年考题）分析：要使三角形ABC 的面积最大，而三角形ABC 的底边 AB 为圆的直径为常量， 只需 AB 边上的高最大即可。过点 C 作 CD AB 于点D，连结 CO，由于 CDCO，当 O 与 D

27、 重合， CD=CO ，因此，当CO 与 AB 垂直时，即 C 为半圆弧的中点时，其三角形ABC 的面积最大。本题也可以先猜想，点C 为半圆弧的中点时，三角形ABC 的面积最大，故只需另选一个位置C1（不与 C 重合），证明三角形ABC 的面积大于HGFEODCBAABCDOOCBADABCO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 47 页学习必备欢迎下载三角形 ABC1 的面积即可。如图显然三角形ABC1 的面积 =21AB C1D，而 C1D C1O=CO, 则三角形ABC1 的面积 =21AB C1D21AB C1O=三角

28、形ABC 的面积 ,因此 ,对于除点 C外的任意点C1,都有三角形ABC1 的面积小于三角形三角形ABC 的面积 ,故点 C 为半圆中点时 ,三角形 ABC 面积最大 . 本题还可研究三角形ABC 的周长何时最大的问题。提示： 利用周长与面积之间的关系。要三角形ABC 的周长最大， AB 为常数，只需 AC+BC 最大，而（ AC+BC ）2=AC2+CB2+2AC BC=AB2+4 ABC 的面积，因此 ABC 的面积最大时，AC+BC 最大，从而 ABC 的周长最大。从以上一道题及其三个变式的研究我们不难发现,解决动态几何问题的常见方法有 : 一、特殊探路，一般推证例 2：（ 20XX 年

29、广州市中考题第11 题）如图， O1 和 O2 内切于 A，O1 的半径为3， O2 的半径为 2，点 P 为 O1 上的任一点 （与点 A 不重合） ，直线 PA 交 O2 于点 C，PB 切 O2 于点 B，则PCBP的值为（A）2（B）3（C）23（D）26分析：本题是一道选择题，给出四个答案有且只有一个是正确的，因此可以取一个特殊位置进行研究，当点P 满足PB AB 时，可以通过计算得出PB=221322BCAP=BP AB，因此BC=62462288162822BPABBPAB，在三角形BPC 中， PC=36222BCBP，所以，PCBP=3选（ B）当然，本题还可以根据三角形相似

30、得BPAPPCBP，即可计算出结论。作为一道选择题，到此已经完成，但如果是一道解答题，我们得出的结论只是一个特殊情况，还要进一步证明对一般情况也成立。例 3：如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边 BC=4，OABC 于 O,点 E 和点 F 分别在边AB、AC 上滑动并保持AE=CF, 但点 F 不与 A、C 重合，点E 不与 B、A 重合。判断OEF 的形状，并加以证明。CDABC1OCO1O2PBACO1O2PBAFEOCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 47 页学习必备欢迎下载判断四边形AEOF 的面积是否随点

31、E、F 的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值. AEF 的面积是否随着点E、F 的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值。分析：本题结论很难发现，先从特殊情况入手。最特殊情况为E、F 分别为 AB、AC 中点，显然有 EOF为等腰直角三角形。还可发现当点E 与 A 无限接近时，点F 与点 C 无限接近，此时 EOF 无限接近 AOC ，而 AOC 为等腰直角三角形，几种特殊情况都可以得出EOF 为等腰直角三角形。一般情况下成立吗？OE 与 OF相等吗？ EOF 为直角吗？能否证明。如果它们成立，便可以推出三角形OFC 与三角形OEA 全等，一般情况下这两个三角形

32、全等吗？不难从题目的条件可得：OA=OC ， OCF=OAE ，而 AE=CF ，则 OEA OFC，则 OE=OF，且 FOC=EOA ，所以 EOF=EOA+ AOF= FOC+FOA=900 ，则 EOF 为直角，故 EOF 为等腰直角三角形。二、动手实践，操作确认例 4（20XX 年广州市中考试题）在O 中， C 为弧 AB 的中点， D 为弧 AC 上任一点（与A、C 不重合），则（A）AC+CB=AD+DB (B) AC+CBAD+DB (D) AC+CB与 AD+DB 的大小关系不确定分析 :本题可以通过动手操作一下,度量AC、CB、AD 、DB 的长度，可以尝试换几个位置量一量

33、，得出结论（ C）例 5：如图， 过两同心圆的小圆上任一点C 分别作小圆的直径CA 和非直径的弦CD，延长 CA 和CD 与大圆分别交于点B、E，则下列结论中正确的是（* ）（A）ABDE（B）ABDE（C）ABDE（D）ABDE,的大小不确定分析：本题可以通过度量的方法进行，选（B）本题也可以可以证明得出结论，连结 DO、EO，则在三角形OED 中，由于两边之差小于第三边，则OEODDE, 即 OBOA3). 动点 M，N 同时从 B点出发，分别沿BA，BC运动，速度是1 厘米 /秒.过 M 作直线垂直于AB，分别交AN ，CD 于 P，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师

34、归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 47 页学习必备欢迎下载Q. 当点 N 到达终点 C 时，点 M 也随之停止运动.设运动时间为t 秒. (1)若 a=4 厘米， t=1 秒，则 PM= 厘米；(2)若 a=5 厘米，求时间t，使 PNB PAD ，并求出它们的相似比；(3)若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形 PQDA 的面积相等，求a 的取值范围；(4)是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN ，梯形 PQDA ，梯形 PQCN 的面积都相等 ?若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由. 评析本题是以双动点为载体，矩形为背景创设的存在性问题

35、.试题由浅入深、 层层递进，将几何与代数知识完美的综合为一题，侧重对相似和梯形面积等知识点的考查，本题的难点主要是题(3)，解决此题的关键是运用相似三角形的性质用t 的代数式表示PM，进而利用梯形面积相等列等式求出t 与 a 的函数关系式，再利用t 的范围确定的a 取值范围 . 第(4)小题是题 (3)结论的拓展应用，在解决此问题的过程中，要有全局观念以及对问题的整体把握. 4 以双动点为载体，探求函数最值问题例 4 (20XX 年吉林省 )如图 9， 在边长为82cm 的正方形ABCD 中，E、 F 是对角线AC 上的两个动点，它们分别从点A、C 同时出发，沿对角线以1cm/s 的相同速度运

36、动，过E 作 EH 垂直 AC 交 Rt ACD 的直角边于H；过 F 作 FG 垂直 AC 交 RtACD 的直角边于G，连结 HG 、EB.设 HE 、EF、FG 、GH 围成的图形面积为，AE、EB、BA 围成的图形面积为这里规定：线段的面积为0).E 到达 C，F 到达 A 停止 .若 E 的运动时间为x(s) ，解答下列问题：(1)当 0X (2)若 y 是与的和，求 y 与 x 之间的函数关系式；(图 10 为备用图 ) 求 y 的最大值 . 解 (1) 以 E、F、G、H 为顶点的四边形是矩形，因为正方形ABCD 的边长为82，所以 AC=16 ，过 B作 BO AC 于 O，

37、则 OB=89 ， 因为 AE=x ， 所以， 因为 HE=AE=x ， EF=16-2x ， 所以-2x) ，当时，4x=x(16-2x) ，解得 x1=0(舍去 )，x2=6，所以当x=6 时，(2)当 0 x8时， y=x(16-2x)+4x=-2x2+20 x，当 8x16 时， AE=x ，CE=HE=16-x ，EF=16-2(16-x)=2x-16，所以-x)(2x-16) ， 所以 y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256. 当 0 x8时， y=-2x2+20 x=-2(x-5)2+50，所以当 x=5 时， y 的最大值为50. 当 8x16 时， y

38、=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82，所以当 x=13 时， y 的最大值为82. 综上可得， y 的最大值为82. 评析本题是以双动点为载体，正方形为背景创设的函数最值问题.要求学生认真读题、领会题意、 画出不同情况下的图形，根据图形建立时间变量与其它相关变量的关系式，进而构建面积的函数表达式. 本题在知识点上侧重对二次函数最值问题的考查，要求学生有扎实的基础知识、灵活的解题方法、良好的思维品质；在解题思想上着重对数形结合思想、分类讨论思想、数学建模等思想的灵活运用. 专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题例题如图 1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与 x

39、轴的另一个交点为B。求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为xx41y2）若点 C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O、C、D、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；连接 OA 、AB，如图 2，在 x 轴下方的抛物线上是否存在点P，使得 OBP 与OAB 相似？若存精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 47 页学习必备欢迎下载yxEQPCBOA在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。分析 :1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以O、C、 D、B 四点

40、为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按 OB 为边和对角线两种情况2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。练习 1、已知抛物线2yaxbxc经过5 3(33)02PE，及原点(0 0)O，（1）求抛物线的解析式（由一般式得

41、抛物线的解析式为225 333yxx）（2）过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线上，任取一点Q，过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点，交直线PC于B点，直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形OABC是否存在点Q，使得OPC与PQB相似？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由（3）如果符合（2）中的Q点在x轴的上方，连结OQ，矩形OABC内的四个三例 1 题图图 1 OAByxOAByx图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 47 页学习必备欢迎下载角形OPCPQBO

42、QPOQA，之间存在怎样的关系？为什么？练习 2、如图， 四边形 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点 A 在 x 轴上， 点 C 在 y 轴上，将边 BC 折叠，使点B 落在边 OA 的点 D 处。已知折叠5 5CE，且3tan4EDA。（1）判断OCD与ADE是否相似？请说明理由；（2）求直线 CE 与 x 轴交点 P 的坐标；（3）是否存在过点D 的直线 l，使直线 l、直线 CE 与 x 轴所围成的三角形和直线l、直线 CE 与 y 轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。练 习3 、 在 平 面 直 角 坐 标 系xO

43、y中 ， 已 知 二 次 函 数2(0 )ya xb xc a的图象与x轴交于AB，两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，其顶点的横坐标为1，且过点(2 3)，和( 312)，（1）求此二次函数的表达式；（由一般式得抛物线的解析式为223yxx）（2）若直线:(0)lykx k与线段BC交于点D（不与点BC，重合），则是否存在这样的直线l，使得以BOD， ，为顶点的三角形与BAC相似？若存在， 求出该直线的函数表达式及点D的坐标； 若不存在，请说明理由；( 10)(3 0),(0 3)ABC，（3）若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO与ACO的大小

44、（不必证明），并写出此时点P的横坐标px的取值范围O x y 练习 2 图C B E D AO y C lx B A 1x练习 3 图oC B A x练习 4 图P y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 47 页学习必备欢迎下载练习 4 (2008 广东湛江市 ) 如图所示，已知抛物线21yx与x轴交于 A、B 两点，与y轴交于点C（1）求 A、B、C 三点的坐标（2）过点 A 作 APCB 交抛物线于点P，求四边形ACBP 的面积（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过 M 作 MGx轴于点 G，使以 A、M、G

45、三点为顶点的三角形与PCA 相似若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由练习 5、已知：如图，在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形，90ACB，点AC，的坐标分别为( 3 0)A，(10)C，3tan4BAC（1）求过点AB，的直线的函数表达式；点( 3 0)A，(10)C ，B(13)，3944yx（2） 在x轴上找一点D， 连接DB， 使得ADB与ABC相似 （不包括全等），并求点D的坐标；（3）在（ 2）的条件下，如PQ，分别是AB和AD上的动点，连接PQ， 设A PDQm， 问是否存在这样的m使得APQ与ADB相似，如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由参考答案例题 、解 :

46、由题意可设抛物线的解析式为1)2x(ay2抛物线过原点，1)20(a0241a. 抛物线的解析式为1)2x(41y2,即xx41y2如图 1,当 OB 为边即四边形OCDB 是平行四边形时,CDOB, 由1)2x(4102得4x, 0 x21, B(4,0),OB 4. D 点的横坐标为6 将 x6 代入1)2x(41y2,得 y 3, D(6, 3); 根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB 是平行四边形,此时 D 点的坐标为 (2,A C O B x y EAOABPyx图 2 COABDyx图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师

47、归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 47 页学习必备欢迎下载3), 当 OB 为对角线即四边形OCBD 是平行四边形时,D 点即为 A 点,此时 D 点的坐标为 (2,1) 如图 2，由抛物线的对称性可知:AO AB, AOB ABO. 若 BOP 与 AOB 相似 ,必须有 POB BOA BPO 设 OP 交抛物线的对称轴于A 点,显然 A(2, 1) 直线 OP 的解析式为x21y由xx41x212, 得6x,0 x21.P(6, 3) 过 P 作 PEx 轴,在 RtBEP 中,BE2,PE 3, PB134. PB OB, BOP BPO, PBO 与 BAO 不相

48、似 , 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P 点 . 所以在该抛物线上不存在点P,使得 BOP 与 AOB 相似 . 练习 1、解：（ 1）由已知可得：333755 30420ababc解之得，25 3033abc，因而得，抛物线的解析式为：225 333yxx（ 2）存在设Q点的坐标为()mn，则225 333nmm，要使,BQPBOCPPBQCPOC，则有3333nm，即225 3333333mmm解之得，122 32mm，当12 3m时，2n，即为Q点，所以得(23 2)Q，要使,BQPBOCPQBPOCCP，则有3333nm，即225 3333333mmm精选学习资料

49、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 47 页学习必备欢迎下载解之得，123 33mm，当3m时，即为P点，当13 3m时，3n，所以得(3 33)Q，故存在两个Q点使得OCP与PBQ相似Q点的坐标为(232) (3 33)，（ 3）在RtOCP中，因为3tan3CPCOPOC所以30COP当Q点的坐标为(23 2)，时，30BPQCOP所以90OPQOCPBQAO因此，OPCPQBOPQOAQ，都是直角三角形又在RtOAQ中，因为3tan3QAQOAAO所以30QOA即有30POQQOAQPBCOP所以OPCPQBOQPOQA，又因为Q

50、POPQAOA，30POQAOQ，所以OQAOQP练习 2 解：（ 1）OCD与ADE相似。理由如下：由折叠知，90CDEB，1290，139023.，又90CODDAE，OCDADE。（2）3tan4AEEDAAD，设 AE=3t ，则 AD=4t 。由勾股定理得DE=5t 。O x y 图 1 C B E D 3 1 2 A 图 2 O x y C B E D P M G l N A F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 47 页学习必备欢迎下载358OCABAEEBAEDEttt。由（ 1）OCDADE，得OCCD