2022年九年级数学中考复习专题以函数为基架的的综合题点评 .pdf

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1、学习必备欢迎下载以函数为基架的综合题例析赵化中学郑宗平“函数” 是整个初中数学中最核心的内容之一，也是最重要的基础知识和数学思想，初中“函数”的学习是高中数学“函数”学习的“奠基性工程”， 所以“函数为基架的综合题”是历年中考的热点题型。“函数为基架的综合题”主要是考查同学们的函数思想、数形结合思想、分类讨论的思想、转化思想。函数型的综合题主要有：几何与函数相结合型、坐标与几何、方程与函数相结合、不等式与函数、动点问题、存在性问题等综合问题。解函数型综合题主要是函数为主线，建立函数模型并利用函数的图象及性质、方程、不等式、几何的相关理论（如：相似形、全等形、三角函数、圆的基本性质、勾股定理等）

2、来综合求解。例 1、如图，抛物线()2yaxbxc a0 与 x 轴、y 轴分别交于A(-1 ，0) 、B(3，0)、C(0,3)三点，其顶点为为D. 、求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；、求四边形ABDC 的面积；、试判断BCD与 COA 是否相似？若相似写出证明过程；若不相似请说明理由. 破题分析 : 、本题求解析式有两条途径可供选择：一是设成“一般式”2yaxbxc 把三点的坐标代入列成三元一次方程组；可以求得解析式; 二是设成“交点式”即()()12ya xxxx，本问采用“交点式”更快捷；把A(-1 ，0) 、B(3，0) 代入()()ya x1 x3 ，把 C(0,3) 代入求

3、出a 的值，可以求得解析式 ; 、求出 D点的坐标，用“割补法”分割四边形为梯形和三角形；、利用相似的判断可作出多种选择 . 略解：、2yx2x3 ；、由可知2yx14，点 D的坐标（ 1,4 ） ；设对称轴与x 轴的交点为E（见图）。,()=+=+ += .AOCDEBOEDCABCDAOCDEBOEDC11311SAOOC13SEBDE24422222117SOCDEOE34122237SSSS4922梯形四形梯形；，、证明：过点D作 y 轴的垂线，垂足为F（见图）=.Rt DFCDC2DCF45Rt BOCOCB45BC3 2DCBC2AOCDCB90DCBAOCAOCO1在中，且；在中

4、，点评：略 . 变式：在例1 的条件下请求出,ABCDABCDBSSS的面积 . 例 2、如图、如图，已知抛物线2yxm2 xm1与 x 轴交于 A、B两点 ( 点 A、B分别在原点O的左、右两侧 ) ，以 OA 、OB为直径作 O1和 O2 、 O1和 O2能否为等圆 ?若能，求出其半径的长度；若不能，请说明理由；、若抛物线向上平移2 个单位（抛物线与x 轴的交点仍用A、B表示），此时以以OA 、OB为直径作 O1和 O2分别为 S1、S2，且 4 S1-16 S2=5，求出平移后所得的抛物线的解析式；、由所得的抛物线与x 轴交于 C，同时和和O2的相切的直线MN分别交 x 轴和 y轴于 p

5、、Q,M、N为切点，求 CPQ的面积？破题分析 : 、本问可以视为是一个存在性的提问，存在性问题的一般思路是先假设存在，然后从假设出发进行推导，若推导出现“矛盾”， 则不存在；若未出现“矛盾”，则存在；本问就则可以先假设果O1和 O2为等圆进行推导. 、根据题中条件，O1和 O2半径和 A、B两点密切相关，所以本问的切入点应是平移后的 A、B两点的坐标，因为通过坐标可以求出 O1和 O2的用 m表示的半径，然后以4 S1-16 S2=5建立以 m为未知数的方程，从而使问题得到解决； 因为 A、 B两点是平移后抛物线与x 轴的交点， 所以令平移后抛物线的y0 ，解关于 x 为未知数的方程是本问的

6、一个关键。、CPQ 的顶点都在坐标轴上，位置较为特殊， 所更容易联想到三个顶点的坐标来得到CPQ的底和高； 点 C的坐标根据问的结论容易得出，根据条件求P、Q的坐标要困难些，但我们发现据问的结论还可以求出O1和 O2的半径，作出如图所示的辅助线后，以切线的性质、切线长定理、勾股定理以及平行线分线段对应成比例“牵线搭桥” ，可以求出 MN和 O1P的长度， 进一步求出OQ和 OP的长度， 免去求坐标的繁琐过程，从而使本问的结论获得解决。略解：、如果 O1和 O2为等圆，则OA=OB ，设 A、B两点的坐标为,12x0 x0 , 根据题中的条件和点的坐标的意义容易得出：,121212x0 x0 x

7、x0 xx0；; xyAoEDFCBxyPAO1O2ONQMCBE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页学习必备欢迎下载令 y=0, 则()2xm2 xm10 , 根据“韦达定理”可知：m20m10不等式组无解说明假设的O1和 O2为等圆是不成立的，从而判断出OA OB ，所以 O1和 O2不能为等圆。、把抛物线()2yxm2 xm1, 向上平移两个单位后可得：()2yxm2 xm3 ；令y0 建立方程：()2xm2 xm30，解得：,;(, ),(, );12xm3 x1A1 0B m3 0根据坐标可知：,OA1 OB

8、m30 ，由 4 S1-16 S2=5可得方程：22m 31416522，解得：(12m0m6，舍去）；把 m=0,代入可得解析式：2yx2x3 . 、由问可以求出O1的半径：1r2， O2的半径：m33R22，根据图中的辅助线作法可求：+22221MNO ER rRr213 ，根据切线长定理可知：OQ=MQ, OQ=NQ, 所以：11OQMN322; 根据切线的性质可知：O1M PQ, O2M PQ,所以 O1M O2M ，根据“平行线分线段对应成比例”可得：,112211PAPOO M2253POO NPA22即, 解得：1PA2, 1POPAPO12;抛物线2yx2x3 与 y 轴交于

9、C(0,3), 1OC3QC332; PQC111333 3SQC PO33222248. 点评：略 . 变式：在例2 的条件下求出求出直线PC和直线 PQ的解析式。如图，在平面直角坐标系xoy 中，正方形OABC 的边长为2cm ，点 A、C分别在 y 的负半轴和 x 的正半轴上，抛物线2yaxbxc经过 A和 B，且 12a+5c=0. 、求抛物线的解析式; 、如果点P由点 A沿 AB边以 2cm/秒的速度向B移动，同时点Q开始沿 BC边以 1cm/秒的速度向 C移动，那么：、移动开始后第t 秒时，设 S=PQ2（cm2）, 试写出 s 与 t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围；、当

10、 s 取最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以 P、B、Q 、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在。请求出点R的坐标，若不存在，请说明理由。1、如图，已知抛物线23yx34与 x 轴交于 A、B，与直线3yxb4相交于点B、C，直线3yxb4与 y 轴交于点E。、求出直线BC的解析式；、求 ABC的面积；、若点M在线段 AB上以每秒1 个单位合） , 同长度的速度从A向 B运动（不与A、B重时点 N在射线 BC上以每秒 2 个单位长度的速度从B向 C 运动 . 设运动时间为t 秒，请写出 MNB 的面积S与 t 的函数关系式吧，并求出点M运动多少时间时，MNB 的面积最大，最大面积是多少？2

11、、一次函数()2ykx3k103（ K为偶数）的图象经过第一、二、三象限，与x 轴、 y 轴分别交于 A、B两点，过点B作一直线与坐标轴围成的三角形面积为2，交 x 轴于点 C。、求该一次函数的解析式；、若一开口向上的抛物线经过A、B、C三点，求此抛物线的解析式；、过中的A、B、C三点作 ABC ，求 tan ABC的值 . 3、如图，关于x 的二次函数2yx2mxm的图象与x 轴交于(, ), )12A x 0B x0、（两点21x0 x，与 y 轴交于 C点，且 BAC= BCO. 、求这个二次函数的解析式；、以点,D2 0 为圆心作 D，与 y 轴相切于点 O，过抛物线上一点,(,)33

12、E xtt0 x0作 x 轴平行线与 D交于 F、G两点，与抛物线交于另一点H，问：是否存在实数t ，使得EF+GH=FG?如果存在，求出t 的值；如果不存在，请说明理由。xyOCBAEMNxyOPBACQxyOFBACDEGH精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页学习必备欢迎下载附: 以函数为基架的综合题例析参考解答师生互动探究参考解答：、因为已经有了12a+5c=0，所以比较容易想到再找出两个抛物线上的点代入2yaxbxc构成三元一次方程组求出a、 b、c 从而使问题得以解决，根据题中条件可以求出点A（ 0，-2 ）

13、 ，B(2，-2), 代入列成c212a5c04a2bc2解得 :5a65b3c2所以255yxx263. 、连结PQ ，根据题中条件可知：,PB22t BQt ，根据勾股定理可以推导出:22222SPQPBBQ22tt, 整理：2S5t8t40t1 . 、若存在，过Q和 P分别作 R1QPA 、PR2 QB, 2S5t8t40t1当.b8t0 82a25时， S有最小值，则. ,.PB22t0 4 BQt0 8所以 P（1.6 ， -2 ） 、Q(2，-1.2),可以进一步得出R1的纵坐标为 -1.2 、 R2的横坐标为1.6. 、R1的纵坐标为 -1.2代入255yxx263的.255xx

14、21 263，整理 : 225x50 x240 ,+5x125x20 , 解得：. (12x2 4x0 4 舍去）所以 R1Q=2.4-2=0.4 ，R1Q=PB,所以 R1使得以 P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，此时 R1的坐标为（ 2.4 ，-1.2 ） 。、 R2的横坐标为1.6 代入=225558588yxx22263653515，则288PR221515, 则2PRQB , 所以 R2不能使 P、B、Q 、R为顶点的四边形是平行四边形。能力训练参考解答：1、略解：、在23yx34中，令 y0 ，,(, ),( , )23124x30 x2 x2A2 0B 2 0又点 B在3

15、yxb4上，,330b b22， BC的解析式为33yx42. 、,212223yx3x1x24y0339yxx424得：(,),( , );,=ABC99199C1B 2 0AB4 CDS444242、过点N作 NP MP于点 P， EO MB,NP EO, BNP BEO BNNPBEEO, 由直线33yx42可得 : ()3E 02，在 BEO中，,=,352tNP61 6BO2EOBENPtSt 4t532252 522，(),()22312312Stt0t4St25555；此抛物线开口向下，当t=2 ，=12S5最大，当点 M运动 2 秒时， BNB的面积在到最大，最大为125。2、

16、略解：、根据题中的条件可以得出：.3k10021k3233k03解得：K取偶数为：k2所以.4yx43、解得直线4yx43与 x、y 轴的交点的坐标:A（-3,0 ）B（0,4 ）. 由于过点B作一直线与坐标轴围成的三角形面积为2，容易求出C的坐标为：(),(,)12C10C10， ，设过 A 、 B、C三点的抛物线为：2yaxbxc 代入解得：16+322484yxx4yxx4333或. 因为要求得是开口向上的抛物线，248yxx433应舍去，所以16+324yxx43. 、因为是经过问抛物线的上的三点A、B、C三点作 ABC来求 tan ABC ，所以只作出如图所示的辅助线，易求：22AB

17、345=+=222BC1417; 由三角形面积公式可xyOPBACQxyOCBAEMNDPxyOPBACQ精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页学习必备欢迎下载知：,221111S ABCACBOBCh2417h2222即， 解得：8 17h17; 根据勾股定理可求 : 222281736119 17BEABAE5171717; 所以 tan8 17h817ABCBE1919 1717。3、略解：、由,2AOCORt BCORt CAOCOAO OBCOOB. 由已知可得：,.,2112212AOxx OBxxxxm0m

18、0COm AO OBmmm,(m1 m0 舍去）；抛物线的解析式为：2yx2x1 。、存在实数t, 使得 EF+GH=FG. 过 D作 DM EH于 M,连结 DG ， ， EH x 轴， E（x3,t ） 。DM=t. ,222DGDO2FG2MG2DGDM22t, 由 EF+GH=FG 得 EH=2FG, EH x 轴， E（ x3,t ）设(, )4H xt .E、H是抛物线上的两点，,223344x2x1t x2x1t 即34xx、是2x2x1t 的两个不相等的根，,()3434xx2 xx1t .,.34x0 x0.,.222433434EHxxxx4x x22t22t42t4tt60即解得：,(.12971971tt88舍去）xyOFBACDEGHMxyBA2C1CO4yx43hE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页