2022年二元一次不等式与线性规划 .pdf

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1、学习必备欢迎下载二元一次不等式与线性规划（1）二元一次不等式表示平面区域: 先讨论在平面直角坐标系中，以二元一次不等式1yx 0 的解为坐标的点的集合01|),(yxyx所在的平面区域.由01yx得1xy,令100 xyy,则点),(00yx在直线1xy,即01yx上,点),(0yx在点),(00yx的上方 ,即在直线01yx的上方 .所以在平面直角坐标系中，以二元一次不等式01yx的解为坐标的点的集合01|,yxyx是在直线01yx右上方的平面区域. 一般地 ,二元一次不等式0CByAx在平面直角坐标系中表示直线0CByAx某一侧所有点组成的平面区域. 说明 :二元一次不等式0CByAx在平

2、面直角坐标系中表示直线0CByAx某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;事实上, 0|),(0|),(0|),(CByAxyxCByAxyxCByAxyx作图时 ,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 推导 :举例说明 . 判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法: 方法 1:记住下列一般性结论: (1)若0B,则0CByAx表示直线0CByAx上方的平面区域. 0CByAx表示直线0CByAx下方的平面区域. (2)若0B,则0CByAx表示直线0CByAx下方的平面区域. 0CByAx表示直线0CByAx上方的平面区域. (3)若0,0 AB,则0CAx表示直线0CAx右侧的平面区域.

3、 0CAx表示直线0CAx左侧的平面区域. 若0,0 AB,则0CAx表示直线0CAx左侧的平面区域. 0CAx表示直线0CAx右侧的平面区域. 方法 2:取特殊点检验; 原因 :由于对在直线0CByAx的同一侧的所有点),(yx,把它的坐标),(yx代入精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页学习必备欢迎下载CByAx,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点),(00yx,从CByAx00的正负即可判断0CByAx表示直线哪一侧的平面区域.特殊地 ,当0C时,常取原点检验. 对于二元一次不等式组,

4、则分别判断每个不等式表示的平面区域,然后取它们的公共区域即是不等式组表示的平面区域. 求不等式 (组)表示的平面区域的一般步骤: 先依不等式作直线,注意虚实 ; 取点 :在直线的某一侧取一点; 确定符号 ,即确定直线某一侧的符号; 若为不等式组,则各不等式表示平面区域的公共部分. （2）线性规划问题：引例 : 已知qpxxf2)(且5)2(1, 1) 1(4ff,求)3(f的取值范围 . 错解 : 由71 , 3054114qpqpqp而qpf9)3(利用不等式性质得269)3(7qpf. 正解 : 由3434)2()1(qpqpfqpf而35389)3(, 51, 14qpf所以20,1)3

5、(f错解中似乎没有任何漏洞,那么到底是错在什么地方呢?是什么原因致使出现错误呢?通过今天的学习 -线性规划 ,我们便可以发现问题出在哪里了. 基本概念：设yxz2,式中变量满足下列条件: 1255334xyxyx,求z的最大值和最小值. 线性规划的基本概念: 1. 线性约束条件：(由不等式或不等式组构成的关于变量nxxx,21的限制条件称为约束条件 )在上述问题中,不等式组是一组变量yx,的约束条件,这组约束条件都是关于yx,的一次不等式,故又称线性约束条件. 2. 线性目标函数：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页学

6、习必备欢迎下载(关于变量nxxx,21达到最大值或最小值的解析式称为目标函数)关于yx,的一次式yxz2是欲达到最大值或最小值所涉及的变量yx,的解析式 ,叫线性目标函数.(例如关于yx,的解析式：22,2yxzyxz等等的叫做目标函数). 3. 线性规划问题：一般地 ,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题. 4. 可行解、可行域和最优解：a. 满足约束条件的解),(yx叫可行解b. 由所有可行解组成的集合叫做可行域. 可行域可以是封闭的多边形也可以是一侧开放的无限大的平面区域.如果可行域是一个多边形 ,那么一般在其顶点处使目标函数取得最值,最优解一般就是多

7、边形的某个顶点,确定方法有两种:一是将目标函数的直线平行移动,最先通过或者最后通过的顶点就是;二是可利用围成可行域的直线的斜率来判断:若围成可行域的直线nlll,21的斜率为nkkk,21，而且目标函数的直线的斜率为k,则当1iikkk时，直线il与1il相交的顶点一般是最优解;特别的 ,当表示线性目标函数的直线与可行域的某边平行(ikk)时,其最优解可能有无数个. c. 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解. 5. 线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题,统称为线性规划问题. 用图解法解决线性规划的一般步骤：1. 画: 画出约束条件表示的可行域;

8、 2. 移: 作出目标函数 ,并平移确定出最优解的位置; 3. 求: 根据直线方程求解出最优解; 4. 算: 根据最优解算出最优值(最大值或最小值); 5. 特: 若要求的是整数解,则可行域是一些点集(整数点 ),求解过程中应打网格. 实际问题中的线性规划：(1)建模 : 注意审题 ,根据题意列出线性规划模型; (2)求解 : 利用图解法求解模型(注意实际意义). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页学习必备欢迎下载【经典例题】【例 1】 设变量yx,满足约束条件1, 3yxyx，则目标函数xyz2的最小值为（）A1

9、B2 C3 D4 【例 2】 设,Ryx且满足02yx，则22yx的最小值为；若yx,又满足xyxy则,4的取值范围是. 【例 3】 设2zxy，式中变量,x y满足条件4335251xyxyx，求z的最大值和最小值. 【例 4】设O为坐标原点，(1,1)A，若点B满足222210,12,12xyxyxy，则OA OB的最小值为A2B2 C3 D22【例5】已知不等式组1,1,0 xyxyy表示的平面区域为M，若直线3ykxk与平面区域M有公共点，则k的取值范围是（A ）A1,03B1(,3C1(0,3D1(,3【易错题】【例 1】 已知不等式组02,20,20 xxykxy所表示的平面区域的

10、面积为4，则 k 的值为A1 B3C1或3D 0 【答案】 A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页学习必备欢迎下载【例 2】 不等式组0,10,3260 xxyxy?-?-? ?所表示的平面区域的面积等于. 【例3】 设变量x，y满足0,10,3260,yxyxy?-?-? ?则该不等式组所表示的平面区域的面积等于；zxy=+的最大值为. 【例 4】 目标函数2zxy在约束条件30200 xyxyy下取得的最大值是_ . 【例 5】已知0,(,20 xx yyxkxyk满足为常数）若yxz3的最大值为8，则k=_ 【

11、课堂练习】1. 在平面直角坐标系中,不等式组0,40,xyxyxa所表示的平面区域的面积是9,则实数a的值为. 2.若实数x，y满足条件0,30,03,xyxyx则2xy的最大值为（）A9B3C0D33.若实数x，y满足不等式组1,2,0,yxyxy则yxz2的最小值为（）A27B2C1D254.若变量xy，满足约束条件0,21,43,yxyxy则35zxy的取值范围是（）A.3,)B.-8,3C.(,9D.-8,9精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页学习必备欢迎下载5.在平面上有两个区域M和 N ， 其中M满足002

12、yxyxy，N 由1txt确定，当0t时，M和 N 公共部分的 面 积是；当 01t时，M和 N 的公共部分面积的最大值为【课后作业】1、不等式组0,10,3260 xxyxy所表示的平面区域的面积等于. 2、点( ,)P x y在不等式组22yxyxx表示的平面区域内，则zxy的最大值为 _3、已知ab，则下列不等式正确的是A11abB22abC22abD22ab4、平面上满足约束条件2,0,60 xxyxy的点( ,)x y形成的区域为D，则区域D的面积为_；设区域D关于直线21yx对称的区域为E，则区域D和区域E中距离最近的两点的距离为_5、若满足条件020 xyxyya的整点( , )

13、x y恰有 9 个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为A3B2C1D06、若实数x，y满足条件0,30,03,xyxyx则2xy的最大值为A9B3C0D37、若实数x，y满足条件0,10,01,xyxyx则|3|xy的最大值为（）A6B5C4D3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页学习必备欢迎下载8、若实数x，y满足不等式组1,2,0,yxyxy则yxz2的最小值为A27B2C1D259、若点( , )P x y在不等式组,2yxyxx表示的平面区域内，则2zxy的最大值为A0B2C4D610、 设,x y满足约束条件0,230,yyxxy则目标函数2zxy的最大值是；使z取得最大值时的点( , )x y的坐标是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页