2022年二次函数知识点与题型总结 .pdf

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1、二次函数知识点一、平面直角坐标系1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。2、点的坐标的概念点的坐标用ba,表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当ba时，ba,和ab,是两个不同点的坐标。知识点二、函数及其相关概念 1 、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。2、函数解析式

2、用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。（2）列表法把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。（3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。4、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来

3、。知识点三、概念总结及基本性质1、二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（ abc， ， 是常数，0a）的函数，叫做二次函数。二次函数的定义域是全体实数2. 、二次函数2yaxbxc 的结构特征：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2abc， ， 是常数， a 是二次项系数，b是一次项系数，c 是常数项3、二次函数的基本形式（平移规律：左加右减，上加下减）（1）2yax 的性质： a的绝对值越大，抛物线的开口越小。（2）2yaxc 的性质：上加下减。

4、（3）2ya xh的性质：左加右减。（4）2ya xhk 的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上00，y轴0 x时，y随 x 的增大而增大；0 x时，y随x的增大而减小；0 x时，y有最小值00a向下00，y轴0 x时，y随 x 的增大而减小；0 x时，y随x的增大而增大；0 x时，y有最大值0a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0c，y轴0 x时，y随 x 的增大而增大；0 x时，y随x的增大而减小；0 x时，y有最小值 c 0a向下0c，y轴0 x时，y随x的增大而减小；0 x时，y随x的增大而增大；0 x时，y有最大值 c 精选学习资料 - - - - - - -

5、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页4、二次函数2yaxbxc图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2yaxbxc 化为顶点式2()ya xhk ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0c，、以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、与 x轴的交点10 x ，20 x ，（若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点 . 5、二次函数2yaxbxc 的性质 1. 当0a时，抛物线开口向上，对称轴为2

6、bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa时，y随 x 的增大而减小； 当2bxa时，y随 x 的增大而增大； 当2bxa时，y有最小值244acba 2. 当0a时，抛物线开口向下，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa时，y随 x的增大而增大；当2bxa时，y随 x的增大而减小；当2bxa时，y有最大值244acba6、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2yaxbxc （ a ，b， c 为常数，0a） ；2. 顶点式：2()ya xhk （ a ，h，k为常数，0a） ；3. 两根式：12()()ya xxxx（0a，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点

7、的横坐标）. 知识点四、二次函数、二次方程、二次不等式相同：(1) 表达它们的都是式子：函数式、方程式、不等式；(2) 它们都含有类似的代数式：cbxax2；(3) 它们的代数式都只含有一个未知数( 一元 ) ；(4) 它们的代数式中的未知数的最高次数都是二次。区别：(1) 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的概念范畴分别是函数、方程、不等式；(2) 二次函数中，代数式cbxax2等于因变量y；一元二次方程中，代数式cbxax2等于零；一元二次不等式中，代数式cbxax2大于或小于零；(3) 图像：二次函数的图像是一条曲线：抛物线；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳

8、总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页一元二次方程的解是点：二个点或一个点或无点；一元二次不等式的解集是线段或射线。联系：(1) 一元二次方程的知识是研究二次函数和一元二次不等式的基础知识。(2) 令二次函数ycbxax2的0y，则原式变为一元二次方程cbxax2=0 ，令一元二次不等式cbxax20 的不等号变为等号，则原式变为一元二次方程cbxax2=0 。(3) 二次函数ycbxax2抛物线与x轴的两交点的横坐标1x、2x（1x2x） ，即为一元二次方程cbxax2=0 的两根。（抛物线与x轴有一个交点，即方程有二个相同的根；没有交点，即方程无解。）一元二次不等式cbx

9、ax20 解集是：x1x或x2x；对于cbxax20，解集是：1xx2x。 当240bac时，图象与x 轴交于两点1200A xB x，12()xx，其中的12xx，是一元二次方程200axbxca的两根这两点间的距离2214bacABxxa. 当0时，图象与x 轴只有一个交点； 当0时，图象与x 轴没有交点 . 1当0a时，图象落在x轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y；2当0a时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y8、两点间距离公式点 A坐标为（ x1，y1）点 B坐标为（ x2，y2） 。则 AB间的距离，即线段AB的长度为221221yyxx精选学习资料 - - -

10、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页A O x y B O x y C O x y D O x y 【题型总结】题型一：考查二次函数的定义、性质1、已知以x为自变量的二次函数2)2(22mmxmy的图像经过原点，则m的值是2、当m_时，函数()2221mmymm x-=+是关于x的二次函数 . 3、下列函数：23yx=；()21yxxx=-+；()224yxxx=+-；21yxx=+；()1yxx=-，其中是二次函数的是题型二：综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像3、 如图，如果函数bkxy的图像在第一、 二、 三象限内，那么函数

11、12bxkxy的图像大致是 （） y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D 4、 在同一直角坐标系中，函数mmxy和222xmxy（m是常数，且0m） 的图象可能是 （）题型三：考察图像平移5、把抛物线2yx向左平移1 个单位，然后向上平移3 个单位 ，则平移后抛物线的解析式为（）A2(1)3yxB2(1)3yx C2(1)3yxD2(1)3yx6、抛物线221xy向左平移8 个单位，再向下平移9 个单位后，所得抛物线的表达式是（）A. y=12(x+8)2-9 B. y=12(x-8)2+9 C. y=12(x-8)2-9 D. y=12(x+8)2+

12、9 题型四：由抛物线的位置确定系数的符号精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页7、二次函数2yaxbxc的图像如图1，则点),(acbM在（）A第一象限 B第二象限 C 第三象限 D 第四象限8、已知二次函数2yaxbxc（a0）的图象如图2 所示，?则下列结论： a、b同号；当x=1 和x=3时，函数值相等；4a+b=0；当 y=-2 时，x的值只能取0. 其中正确的个数是（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 (1) (2)题型五：考查用待定系数法求二次函数的解析式9、已知：关于x的一元二次方程32cbxax的

13、一个根为2x，且二次函数2yaxbxc 的对称轴是直线2x，则抛物线的顶点坐标为( ) A(2， -3) B.(2，1) C(2，3) D(3 ，2) 10、已知一条抛物线经过(0,3) ，(4,6) 两点，对称轴为35x，求这条抛物线的解析式。题型六：考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值11、 已知抛物线2yaxbxc（a0） 与x轴的两个交点的横坐标是1、 3， 与y轴交点的纵坐标是32。（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共

14、 11 页【过手训练】1、当m_时，函数()2564mmymx-+=-+3x 是关于x的二次函数。2、抛物线2xy不具有的性质是（）A、开口向下B、对称轴是y轴C、与y轴不相交 D 、最高点是原点3、苹果熟了，从树上落下所经过的路程S与下落时间t 满足 S12gt2（g9.8 ） ，则 S与 t 的函数图像大致是（）A B C D 4、函数2axy与baxy的图象可能是（）A B C D 5、二次函数223xy，当021xx时，求1y与2y的大小关系 . s t O s t O s t O s t O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

15、 7 页，共 11 页6、函数23212xy的图象可由函数221xy的图象向平移 3 个单位，再向平移 2个单位得到 . 7、抛物线1662xxy与x轴交点的坐标为_8、二次函数122xxy的图象在x轴上截得的线段长为（）A、22 B、23 C、32 D、339、二次函数2224ymxxmm=+-的图象经过原点，则此抛物线的顶点坐标是10、已知二次函数2224mmxxy与反比例函数xmy42的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是 -2，则m= 11、二次函数2(0)yaxbxc a的图象如图所示，对称轴是直线1x，则下列四个结论错误的是A0c B20ab C 240bac D0abc12、已知

16、二次函数2yaxbxc的图象如图所示，有以下结论：0abc；1abc；0abc；420abc；1ca其中所有正确结论的序号是（）AB C D 13、二次函数)0(2acbxaxy的图象如图，下列判断错误的是（）A0a B 0bC0cD042acb14 、 二次函数cbxaxy2的图象如图所示，则下列关系式中错误的是（）A0a B 0c Cacb420 Dcba0 （11 题）（12 题）（ 13 题）（ 14 题）15、已知二次函数772xkxy与x轴有交点，则k的取值范围是. 16、关于x的一元二次方程02nxx没有实数根，则抛物线nxxy2的顶点在第 _象限；17、抛物线222kxxy与x

17、轴交点的个数为（）A、0 B、1 C、2 D、以上都不对1 1 1O x y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页18、二次函数cbxaxy2对于x的任何值都恒为负值的条件是（）A、0,0aB、0,0aC、0,0aD、0, 0a19、12kxxy与kxxy2的图象相交，若有一个交点在x轴上，则k为（）A、0 B、 -1 C、2 D、4120、若一次函数(1)ymxm的图象过第一、三、四象限，则函数2ymxmx（）A有最大值4mB有最大值4mC有最小值4mD有最小值4m21、已知抛物线322xxy，若点P（2，5）与点

18、 Q 关于该抛物线的对称轴对称，则点Q 的坐标是22、 抛物线)0(2acbxaxy的对称轴是直线1x， 且经过点P（3， 0） ， 则cba的值为（）A. 0 B. 1 C. 1 D. 2 23、二次函数cbxaxy2的图象过A(-3,0),B(1,0),C(0,3),点D在函数图象上，点DC,是二次函数图象上的一对对称点，一次函数图象过点DB,求（ 1）一次函数和二次函数的解析式；（2）写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围 . 24、已知二次函数的图象经过点A（-3,0 ） ，B（0,3 ） ，C（2, 5） ，且另与x轴交于D点。（1）试确定此二次函数的解析式；（2）判断点P（

19、2,3 ）是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出PAD的面积；如果不在，试说明理由25、已知二次函数cbxxy2的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（ 1，0） ，与y轴的交点坐标为（0，3） 。（1）求此二次函数的解析式；O 3 1 x y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围。26、已知二次函数cbxxy221的图象经过A（2， 0） 、B（0， 6）两点。（1）求这个二次函数的解析式（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连结BCBA,，求ABC

20、的面积。27、已知二次函数12cbxxy的图象过点P(2 ，1) (1) 求证：42bc；(2) 若二次函数的图象与x轴交于点0,1xA、B(2x，0) ，ABP的面积是 3 4，求b的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页28、根据条件求二次函数的解析式（1）抛物线过（-1，-6 ） 、 （1，-2 ）和（ 2，3）三点；（2）抛物线的顶点坐标为（-1 ，-1 ） ，且与y轴交点的纵坐标为-3；（3）抛物线在x轴上截得的线段长为4，且顶点坐标是（3， 2） ；29、已知函数422mmxmy是关于x的二次函数，求：（1） 满足条件的m的值；（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时x为何值时，y随x的增大而增大；（3）m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y随x的增大而减小？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页