2022年二次函数根的分布和最值 .pdf

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1、学习必备欢迎下载二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02cbxax根的分布情况设方程200axbxca的不等两根为12,x x且12xx，相应的二次函数为20fxaxbxc，方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一： （两根与 0 的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0 120,0 xx两个正根即两根都大于0 120,0 xx一正根一负根即一个根小于0，一个大于0120 xx大致图象（0a）得出的结论00200baf00200baf00f大致图象（0a）得出的结论00200baf00200baf

2、00f综合结论（不讨论a）00200baa f00200baaf00fa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页学习必备欢迎下载表二： （两根与k的大小比较）分布情况两根都小于k即kxkx21,两根都大于k即kxkx21,一个根小于k，一个大于k即21xkx大致图象（0a）得出的结论020bkafk020bkafk0kf大致图象（0a）得出的结论020bkafk020bkafk0kf综合结论（不讨论a）020bkaa fk020bkaa fk0kfakkk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

3、 - - - - - -第 2 页，共 17 页学习必备欢迎下载表三： （根在区间上的分布）分布情况两根都在nm,内两根有且仅有一根在nm,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在nm,内，另一根在qp,内，qpnm大致图象（0a）得出的结论0002fmfnbmna0nfmf0000fmfnfpfq或00fmfnfpfq大致图象（0a）得出的结论0002fmfnbmna0nfmf0000fmfnfpfq或00fmfnfpfq综合结论（不讨论a）0nfmf00qfpfnfmf根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间nm,外，即在区间两侧12,xm xn， （图形分别如下）需满足的条件是精选学习

4、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页学习必备欢迎下载（ 1）0a时，00fmfn；（ 2）0a时，00fmfn对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（ 1）两根有且仅有一根在nm,内有以下特殊情况：1若0f m或0fn， 则此时0fmf n不成立， 但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，可以求出另外一根， 然后可以根据另一根在区间nm,内， 从而可以求出参数的值。如方程2220mxmx在区间1,3上有一根，因为10f，所以22212mxmxxmx，另一根为2m，由213m得223m即为所求；2方程有且只有一根，且这个根

5、在区间nm,内，即0，此时由0可以求出参数的值，然后再将参数的 值 带 入 方 程 ， 求 出 相 应 的 根 ， 检 验 根 是 否 在 给 定 的 区 间 内 ， 如 若 不 在 ， 舍 去 相 应 的 参 数 。 如 方 程24260 xmxm有 且 一 根 在 区 间3, 0内 ， 求m的 取 值 范 围 。 分 析 ： 由300ff即141530mm得出15314m；由0即2164 260mm得出1m或32m，当1m时，根23,0 x，即1m满足题意；当32m时，根33,0 x，故32m不满足题意；综上分析，得出15314m或1m根的分布练习题例 1、已知二次方程221210mxmx

6、m有一正根和一负根，求实数m的取值范围。解：由2100mf即2110mm，从而得112m即为所求的范围。例 2、已知方程2210 xmxm有两个不等正实根，求实数m的取值范围。解：由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页学习必备欢迎下载0102 200mf218010mmmm32 232 20mmm或032 2m或32 2m即为所求的范围。例 3、已知二次函数222433ymxmxm与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围。解：由210mf即2210mm122m即为所求的范围。例 4、已知二次方程2

7、2340mxmx只有一个正根且这个根小于1，求实数m的取值范围。解：由题意有方程在区间0,1上只有一个正根，则010ff4 310m13m即为所求范围。（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在0,1内，由0计算检验， 均不复合题意，计算量稍大）1二次函数及图象设有一元二次函数y=ax2+bx+c(a 0)，判别式 =b2-4ac ，当 0 时 y=f(x)与 x 轴有二交点；当=0 时，y=f(x)与 x 轴仅有一交点；当 0时， y=f(x)与 x 轴无交点当0 时，设 y=f(x)图象与 x 轴两交点为x1x2一元二次函数y=f(x)与 x 轴交点 x1，x2就是相应一元

8、二次方程 f(x)=0的两根观察图象不难知道图像为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页学习必备欢迎下载观察图象不难知道=0，a0 , =0，a0 当 0 时， y=f(x)图象与 x 轴无公共点，其图象为观察图象不难知道a0 时,绝对不等式f(x)0 解为 xRa0 时,绝对不等式f(x)0 解为 xR2讨论一元二次方程的根的分布情况时，往往归结为不等式（组）的求解问题，其方法有3 种：（ 1）应用求根公式；（ 2）应用根与系数关系；（ 3）应用二次函数图象在进行转化时，应保证这种转化的等价性就这三种方法而言，应用二

9、次函数图象和性质应是比较简捷的一种方法设 f（ x）=ax2bxc（a0），方程ax2bxx=0 的个根为 ，（ ）， m ，n 为常数，且n m ，方程根的分布无外乎两种情况：， 同居一区间时，不但要考虑端点函数值的符号，还要考虑精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页学习必备欢迎下载三、好题解给你(1) (1)预习题1. 设有一元二次函数y2x2-8x+1 试问，当 x3 ，4 时，随 x 变大， y 的值变大还是变小？由此 yf(x)在3 ，4 上的最大值与最小值分别是什么？解：经配方有y2(x-2)2-7 对称轴

10、x 2，区间 3 ，4 在对称轴右边，yf(x) 在3 ， 4 上随 x 变大， y 的值也变大，因此ymax=f(4) 1ymin f(3) -5 2. 设有一元二次函数y2x2-4ax+2a2+3试问，此函数对称轴是什么？当 x3 ，4 时，随 x 变大， y 的值是变大还是变小？与a 取值有何关系？由此，求y f(x) 在3 ，4 上的最大值与最小值解：经配方有y2(x-a)2+3对称轴为x=a当 a3 时，因为区间3 ，4 在对称轴的右边，因此，当x3 ，4 时，随 x 变大， y 的值也变大当 3a4 时，对称轴x=a 在区间 3 ，4 内，此时，若3xa，随 x 变大， y 的值变

11、小，但若ax4，随 x 变大， y 的值变大当 4a 时，因为区间3 ，4 在对称轴的左边，因此，当x3 ，4 时，随 x 变大， y 的值反而变小根据上述分析，可知当 a3 时， ymax=f(4)=2a2-16a+35 ymin=f(3) 2a2-12a+21 当 3a4 时， yminf(a) 3其中， a3.5 时， ymaxf(4) 2a2-16a+35 a3.5 时， ymaxf(3) 2a2-12a+21 当 a4 时， ymaxf(3) 2a2-12a+21 ymin f(4) 2a2-16a+35 (2) (2)基础题例 1设有一元二次方程x2+2(m-1)x+(m+2) 0

12、试问：(1)m 为何值时，有一正根、一负根(2)m 为何值时，有一根大于1、另一根小于1(3)m 为何值时，有两正根(4)m 为何值时，有两负根(5)m 为何值时，仅有一根在1 ，4 内？解： (1) 设方程一正根x2，一负根x1，显然 x1、 x20，依违达定理有m+2 0 m -2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页学习必备欢迎下载反思回顾： x1、x20 条件下， ac 0，因此能保证0(2) 设 x1 1，x21，则 x1-1 0，x2-1 0只要求 (x1-1)(x2-1) 0，即 x1x2-(x1+x2

13、)+1 0依韦达定理有(m+2)+2(m-1)+1 0(3) 若 x10，x20，则 x1+x2 0且 x1，x20, 故应满足条件依韦达定理有(5) 由图象不难知道，方程f(x)0 在3 ， 4 内仅有一实根条件为f(3)f(4) 0，即9+6(m-1)+(m+2)16+8(m-1)+(m+2)0(7m+1)(9m+10) 0例 2. 当m为何值时，方程有两个负数根？解：负数根首先是实数根，由根与系数关系：要使方程两实数根为负数，必须且只需两根之和为负，两根之积为正由以上分析，有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页

14、学习必备欢迎下载即当时，原方程有两个负数根(3) (3)应用题例 1. m 取何实数值时，关于x 的方程 x2+（m-2）x5-m=0 的两个实根都大于2？解：设 f （x）=x2+（m-2）x+5-m，如图原方程两个实根都大于2 所以当 -5 m -4 时，方程的两个实根大于2例 2已知关于x 方程： x2-2ax a0 有两个实根 ，且满足 0 1，2，求实根 a 的取值范围解：设 f （x）=x2-2ax a，则方程 f （x）=0 的两个根 ，就是抛物线y=f （x）与 x 轴的两个交点的横坐标，如图01，2 的条件是： 1， 2例 3m为何实数时，关于x 的方程 x2+（m-2）x

15、5-m=0 的一个实根大于2，另一个实根小于2. 解：设 f （x）=x2（ m-2）x 5-m，如图，原方程一个实根大于2，另一个实根小于2的充要条件是f（2） 0，即 42（m-2） 5-m0解得 m -5所以当m -5 时，方程的一个实根大于2，另一个实根小于2(4) (4)提高题例 1已知函数的图象都在x轴上方，求实数k的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页学习必备欢迎下载解： （1）当，则所给函数为二次函数，图象满足：，即解得：（ 2）当时，若，则的图象不可能都在x轴上方，若，则y=3 的图象都在x

16、轴上方由（ 1） （2）得：反思回顾： 此题没有说明所给函数是二次函数，所以要分情况讨论例 2已知关于x 的方程（ m-1） x2-2mxm2+m-6=0有两个实根 ， ，且满足 0 1，求实数m的取值范围解：设 f(x)=x2-2mx+m2m-6，则方程 f（ x）=0 的两个根 ， ，就是抛物线y=f（x）与 x 轴的两个交点的横坐标如图， 01的条件是解得例 3已知关于x 的方程 3x2-5x a=0 的有两个实根 ，满足条件 （ -2，0）， （ 1，3），求实数 a 的取值范围解：设 f（x）=3x2-5x a，由图象特征可知方程f （x）=0 的两根 ， ，并且 （ -2，0），（

17、 1，3）的解得 -12 a0四、课后演武场1. 已知方程 (m-1)x2+3x-1=0 的两根都是正数，则m的取值范围是（ B ）ABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页学习必备欢迎下载2. 方程x2+(m2-1)x+(m-2)=0 的一个根比1 大，另一个根比-1 小，则m的取值范围是（ C ）A0m 2 B-3 m 1 C-2m 0 D-1m 1 3. 已知方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ C ）ABCD4已知关于x 的方程 3x2+（m-5） x7=0 的一个根大于4，而另一个根小于4，求实

18、数m的取值范围可知方程f （ x）=0 的一根大于4，另一根小于4 的充要条件是：f （4） 0）5已知关于x 的方程 x22mx 2m3=0 的两个不等实根都在区间（0，2）内，求实数m的取值范围征可知方程f （x）=0 的两根都在（ 0， 2）内的充要条件是2、二次函数在闭区间nm,上的最大、最小值问题探讨设002acbxaxxf，则二次函数在闭区间nm,上的最大、最小值有如下的分布情况：abnm2nabm2即nmab,2nmab2图象精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页学习必备欢迎下载最大、最小值nfxfmf

19、xfminmaxabfxfmfnfxf2,maxminmaxmfxfnfxfminmax对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：（ 1）若nmab,2，则nfabfmfxf,2,maxmax，nfabfmfxf,2,minmin；（ 2）若nmab,2，则nfmfxf,maxmax，nfmfxf,minmin另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开对称轴 越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开对称轴 轴越远，则对应的函数值越小。二次函数在闭区间上的最值练习二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方

20、向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。例 1、函数2220fxaxaxb a在2,3上有最大值5 和最小值2，求,a b的值。解：对称轴012,3x，故函数fx在区间2,3上单调。（ 1）当0a时，函数fx在区间2,3上是增函数，故maxmin32fxffxf32522abb10ab；（ 2）当0a时，函数fx在区间2,3上是减函数，故maxmin23fxffxf25322bab13ab例 2、求函数221,1,3fxxaxx的最小值。解：对称轴0 xa（ 1）当1a时，min122yfa；（ 2）当13a时，2min1yfaa；（ 3）当3a时，min3106yfa改： 1本题若

21、修改为求函数的最大值，过程又如何？解： （1）当2a时，max3106fxfa；（2）当2a时，max122fxfa。2本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页学习必备欢迎下载解： （1）当1a时，max3106fxfa，min122fxfa；（2）当12a时，max3106fxfa，2min1fxfaa；（3）当23a时，max122fxfa，2min1fxf aa；（4）当3a时，max122fxfa，min3106fxfa。例 3、求函数243yxx在区间,1t t上的

22、最小值。解：对称轴02x（ 1）当2t即2t时，2min43yf ttt；（ 2）当21tt即12t时，min21yf；（ 3）当21t即1t时，2min12yf ttt例 4、讨论函数21fxxxa的最小值。解：2221,11,xaxxafxxxaxaxxa，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为直线12x，12x，当12a，1122a，12a时原函数的图象分别如下（1） ， （2） ， （3）因此， （1）当12a时，min1324fxfa；（2）当1122a时，2min1fxf aa；（3）当12a时，min1324fxfa二次函数根的分布二次函数根的分布是二次函数中的重要

23、内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页学习必备欢迎下载及，但尚不够系统和完整， 且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理） 的运用。下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍二次函数根的分布的充要条件及其运用。一一元二次方程根的基本分布零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根， 有一负根， 其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小， 或者说，这两个根分布在零的两侧。设一元二次方程02cbxa

24、x（0a）的两个实根为1x，2x，且21xx。【定理 1】00040,02121221acxxabxxacbxx，则例 1 若一元二次方程0)1(2) 1(2mxmxm有两个正根，求m的取值范围。【定理 2】00040,02121221acxxabxxacbxx，则【定理 3】0021acxx，则例 3 k在何范围内取值，一元二次方程0332kkxkx有一个正根和一个负根？【定理 4】 1)01x，02x0c且0ab；2)01x，02x0c且0ab。例 4 若一元二次方程03)12(2kxkkx有一根为零，则另一根是正根还是负根？二一元二次方程的非零分布k分布设一元二次方程02cbxax（0a

25、）的两实根为1x，2x，且21xx。k为常数。则一元二次方程根的k分布（即1x，2x相对于k的位置）有以下若干定理。【定理 1】kabkafacbxxk20)(04221，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页学习必备欢迎下载xy1x2x0aOabx20)(kfkxy1x2xOabx2k0a0)(kf【定理 2】kabkafacbkxx20)(04221，则xy1x2x0aOabx2k0)(kfxy1x2xOabx2k0a0)(kf【定理 3】21xkx0)(kaf0)(kfxy1x2x0aOkxy1x2xOk0a

26、0)(kf【定理 4】有且仅有11xk（或2x）2k0)()(21kfkfxy1x2x0aO1k2k0)(1kf0)(2kfxy1x2xO0a1k2k0)(1kf0)(2kf【定理 5】221211pxpkxk0)(0)(0)(0)(02121pfpfkfkfa或0)(0)(0)(0)(02121pfpfkfkfa此定理可直接由定理4 推出，请自证。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页学习必备欢迎下载【定理 6】2211kxxk，则2121220)(0)(004kabkkfkfaacb或2121220)(0)(00

27、4kabkkfkfaacbxy1x2x0aO1k2k0)(1kf0)(2kfabx2xy1x2xO0a1k2k0)(1kf0)(2kfabx21.方程 x2+2px+1=0 有一个根大于 1，一个根小于 1，求 p 的取值范围2.若关于 x 的方程 x2+(k-2)x+2k-1=0 的两实根中，一根在0 和 1 之间，另一根在1 和2 之间，求实数 k 的取值范围3.方程 mx2+2(m+1)x+m+3=0 仅有一个负根，求m 的取值范围4.若关于 x 的方程 kx2-(2k+1)x-3=0在(-1,1)和(1,3)内各有一个实根，求k 的取值范围5.已知集合 A=x|x2+(2- a)x+1

28、=0，若 AR+，求 a的取值范围6.已知 A=x| x2+2x+2-p=0，且 AR+=，求 p 的取值范围7. 已知 x2+2(m+3)x+2m+14=0 有两实根，且都在 1,3外，求 m 范围8.若方程 2ax2 -x- 1=0 在(0,1)内恰好有一个实根，求a的范围9.方程 ax2 -2(a+1)x+a- 1=0，是否存在实数a使它的两根都大于1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页学习必备欢迎下载10.若二次函数 y=- x2+mx- 1 的图像与两端点为A(0,3),B(3,0)的线段 AB 有两个不同的交点，求 m 的范围11. 已知 f(x)=mx2+(m-3)x+1 的图像的零点至少一个在原点右侧，求m 的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页