2022年二轮复习专题数列 2.pdf

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1、学习必备欢迎下载数列专题试题特点 数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面: （1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通

2、项公式及求和公式。（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。（文科考查以基础为主，有可能是压轴题）应对策略 1在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n 项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；2在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识

3、、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，进一步培养阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力3善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养主动探索的精神和科学理性的思维方法 课前导引 935784 1. ,*23,43_.nnnnnnabnSTnNSaanTnbbbb若两个等差数列、的前项和分别为、对任意的都有：则939357846611 19361111166112211192.241112aaaabbbbbbaaaaaSbbbbT精选学习

4、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载 2. 21,.nnnnnnanSSanaa已知数列的前 项和满足求数列的通项 解 111111213,3,22212. 2211,221 112( )( ) ,2 2212() .2nnnnnnnnaSaaaaaaa而故即：数列是以为首项为公比的等比数列从而111123418116250(1). 12( 1). (1) (2) .nnnnnnnnnnnaaaaaanbanbbbbba bnS数列满足且记求 、的值；求数列的通项公式及数列的前项和112233441 (1) 1

5、,2;1127183,;,7183482113204;,.3120342abababab故故故故2132222132144284 (2) ()()() ,3333344444()() ,()()()3333342:,233.2 (252),(1).168nnnnnnbbbbbbbqaaaana故猜想是首项为公比的等比数列否则将代入递推公式会导致矛盾故1111414133216820 164,6336320164282()13363244,033nnnnnnnnnnnbaaaaaabaabb11 12242.34241,2 ,3333142(1),3311:1,122.nnnnnnnnnnnnn

6、bqbbbnba bbaSaba ba b故确是公比为的等比数列故由得故121()21(12 )531231(251).3nnnbbbnnn1111111234111 (1) :,122816250,4630,24820,12,4,.333nnnnnnnnnnnnnnbabaaaaabbbbbbabbbb由得代入递推关系整理得即由有111444(2) 2,2(),33342420,3333412,2 ,33142(1).33nnnnnnnnnbbbbbbqbbn由是首项为公比的等比数列 故即1111121,2(1) 1,:22,224,242nnnnnnnnnnSanSanaaaaaa两式相减

7、 得即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载1 12212111,1221(21(1 2 )513)(251).1233nnnnnnnnnnnba bbaSa ba ba bbbbnnn由得故2132432111248(2) ,3332842( ) ,333312,2 ,3522,(1).168nnnnnnnnnbbbbbbbbqbbaaana猜想是首项为公比的等比数列又故(1) .同解法一11111122125212116821681086;636363nnnnnnnnnnnnbbaaaaaaaaaa因

8、此212111111112216816863633624168636320162().63nnnnnnnnnnnnnnnnbbaaaaaaaaaaabba211111221112120,231,2 ,3()()()1(222 )23114(22)22(1).333nnnnnnnnnnnnnnbbbbqbbbbbbbbbbn是公比的等比数列从而1 12212111,1221(21(1 2 )513)(251).1233nnnnnnnnnnnba bbaSa ba ba bbbbnnn由得故211111221112120,231,2 ,3()()()1(222 )23114(22)22(1).33

9、3nnnnnnnnnnnnnnbbbbqbbbbbbbbbbn是公比的等比数列从而1211(3,4,).2 (1) (2) .nnnnnncaaaaancnanS若公比为 的等比数列的首项且满足求 的值；求数列的前 项和例 2 2212122 (1) ,3,1,22nnnnnnnnnac aaacacaaa由题设 当时22210,21210. 1.2ncaccccc由题设条件可得因此即解得或 (2) (1)1,1(*). ,(1)123.2nnnncaanNnan nnSn由知要分两种情况讨论：当时 数列是一个常数列即这时 数列的前项和12111,221,()(*).2,11112()3()(

10、)122211,:2nnnnnncaanNnanSn当时数列是一个公比为的等比数列即这时数列的前项和式两边同乘得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载 例 3 解析 例 4 解析 解析212111112()(1)()22221()2212,:1111(1)1()()()22221()2nnnnnnSnnSn式减去式 得111()12()12121324( 1) (*).92nnnnnnnSnN1221413,0,.,.nnkkknnadaaaa aaaakk在等差数列中 公差是与的等比中项已知数列成等比数

11、列 求数列的通项122214111(1) ,.()(3 )naandaa aada ad依题设得11111:9.9,3,93(1, 2, 3,),3.nnnnnnnkkkqkqnkk由此得等比数列的首项公比即得数列的通项2111212:,0,3,.0,1,3,3,1,3,1nnnnda dddaanddd k dk dk ddkkkq整理得得由已知得是等比数列由数列也是等比数列首项为公比为132,. (1) (2) 2,2,.nnnnnaqaaaqbqnSnSb已知是公比为的等比数列且成等差数列求的值；设是以为首项为公差的等差数列其前项和为当时比较与的大小并说明理由312221111 (1)

12、2,2,0,210.11.2aaaa qaa qaqqq由题设即或2 (2) 1,(1)321,22nqn nnnSn若则12,nnnnSbS当时2(1)(2)0,.21(1)1,2()2229.4nnnnnSbn nqSnnn故若则12,(1)(10),4,29,;10,;11,.nnnnnnnnnnSbSnnnNnSbnSbnSb当时故对于当时当时当时112 1. ( )32()1, ( )3nnnnaa已知数列的通项则下列叙述正确的是131314A. ,B. ,C. ,D. ,aaaaaa最大项为最小项为最大项为最小项不存在最大项不存在最小项为最大项为最小项为12111222(),1,

13、() ,333,(0,1,(1),240,3, ();392841814,();,327922723,.nnnnntttat tannna令则且则故最大项为又当时当时而时最小精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页学习必备欢迎下载2.已知数列2( )31f xxbx是偶函数 ,( ) 5gxx c是奇函数 .正数数列na满足21111, ()()1nnnnnaf aag aaa, 求 na的通项公式 . 解析 解析221122112211 (1) (),()(),0,()31(),()(),0,()5.()()3()15(

14、)1 ,320,nnnnnnnnnnnnnnfxfxfxbfxxgxgxgxcgxxfaagaaaaaaaaaaaa为偶函数即为奇函数即1111111()(32)0,0,320,2,1,322.().33nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaa即是以为首项公比为的等比数列21321321log(1 )(*),3,9. (1 ) ;11 (2) 11.nnnnanNaaaaaaaaa已知数列为等比数列且求数列的通项公式证明2132222 (1) log(1 ).3,9:2(log2)log2log8,1.log(1 )1(1 ),21.nnnnadaaddanna设等差数列的公差为由

15、得即即1121321123111 (2) ,22211111111112221222212111.2nnnnnnnnnnaaaaaaaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载 例 2 解析1231,1 ,6,11,(58)(52),1 , 2,3,. (1 ) ; (2) ; (3) 51.nnnnnmnmnanSaaanSnSAnBnABABaaaamn设数列的前项和为已知且其中、为常数求和的值证明数列为等差数列证明不等式对任何正整数、都成立11212312312132 (1) 1 ,7,18,(58)

16、(52)3728,2122248:20,8.nnSaSaaSaaanSnSAnBSSABABSSABABAB由已知得由知即解得12121 (2) ( 1 )(58)(52)208 1(53)(57)2028 221:(53)( 101 )(52)20 3nnnnnnnnSnSnnSnSnnSnSnS由得：得31132111321(52)(109)2(57)20 443: (52)( 156)(156)(52)0,(52)(104)(52)0nnnnnnnnnnnnnnSnSnSnSnSnSnSaSSnanana得32132213221(52)0,20,15.nnnnnnnnnaaaaaaana

17、aaaa又数列为等差数列 (3) (2)15(1)54:51,: 512,54,(54)(54)2520()16,nmnmnmnmnmnmnmnannaaaaaaaaamnaamnmnmn由可知：要证只要证精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载 例 3 假设某市 20XX 年新建住房面积 400万平方米 , 其中有 250万平方米是中低价房 , 预计在今后的若干年内 , 该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%, 另外, 每年新建住房中 , 中低价房的面积均比上一年增加50 万平方米 , 那么, 到哪一年

18、底(1) 该市历年所建中低价房的累计面积（以20XX 年为累计的第一年）将首次不少于 4750 万平方米？(2) 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？ 解析 例 4已知数列na的首项15a, 前n项和为nS, 且*125()nnSSnnN证明 : 数列1na是等比数列 . : 5(54)12520()162,: 2020372,2558558(151529)202037.mnmnmnmnmnmnmnaamnaaaaaamnmnmnmn故只要证即只要证故命题得证1222 (1) ,250,50,(1 )25050225225,252254750,91900,nnnaa

19、adnnSnnnnnnnn设中低价房面积形成数列由题意可知是等差数列其中则令即而是正整数10.20134750.n到年底该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于万平方米11 (2) ,:,400,1.08,400(1.08):0.85nnnnnnbbbqbab设新建住房面积形成数列由题意可知是等比数列其中则由题意可知1250(1 )50400(1.08)0.856.2009,85%.nnn有由计算器解得满足上述不等式的最小正整数到年底当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共

20、 8 页学习必备欢迎下载解析 由已知 : *125()nnSSnnN可得 : 当2n时, 有124nnSSn两式相减得 : 112()1nnnnSSSS, 即121nnaa112(1)nnaa又1n时, 21215SS21126aaa又125,11aa, 从而2112(1)aa*112(1)()nnaanN故数列1na是等比数列. 21444244444424444242444424124121212121212121212121xxxxxxxxxxxxxxxxxfxfyy故点 P 的纵坐标是定值12124yy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页