2020年全国中考数学分类解析汇编专题8：定值问题.pdf

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1、精品 12 0122 012 年全国中考数学分类解析汇编年全国中考数学分类解析汇编专题专题 8 8：定值问题定值问题同学们：一分耕耘一分收获，同学们：一分耕耘一分收获，只要我们能做到有永不言败只要我们能做到有永不言败+ +勤奋学习勤奋学习+ +有远大的有远大的理想理想+ +坚定的信念，坚强的意志，明确的目标，相信你在学习和生活也一定会收获成功（坚定的信念，坚强的意志，明确的目标，相信你在学习和生活也一定会收获成功（可删除可删除）解答题解答题1. 1. （20122012 江西南昌江西南昌 8 8 分）分） 如图， 已知二次函数 L1： y=x24x+3 与 x 轴交于 A B 两点 （点 A

2、在点 B 左边） ，与 y 轴交于点 C（1）写出二次函数 L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）研究二次函数 L2：y=kx24kx+3k（k0） 写出二次函数 L2与二次函数 L1有关图象的两条相同的性质；若直线 y=8k 与抛物线 L2交于 E、F 两点，问线段EF 的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由【答案】【答案】解： （1）抛物线y x24x 3x 21，二次函数 L1的开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标（2，1）（2）二次函数 L2与 L1有关图象的两条相同的性质：对称轴为 x=2；都经过 A（1，0） ，B（3，0）两点线段 EF 的长度不

3、会发生变化直线 y=8k 与抛物线 L2交于 E、F 两点，kx24kx+3k=8k，k0，x24x+3=8 解得：x1=1，x2=52精品 1EF=x2x1=6 线段 EF 的长度不会发生变化【考点】【考点】二次函数综合题，二次函数的性质【分析】【分析】 （1）抛物线y=ax2+bx+c 中：a 的值决定了抛物线的开口方向，a0 时，抛物线的开口向上；a0时，抛物线的开口向下 抛物线的对称轴方程和顶点坐标，可化为顶点式或用公式求解（2）新函数是由原函数的各项系数同时乘以k 所得，因此从二次函数的图象与解析式的系数的关系入手进行分析联立直线和抛物线 L2的解析式，先求出点 E、F 的坐标，从而

4、可表示出 EF 的长，若该长度为定值，则线段 EF 的长不会发生变化2. 2. （20122012 江苏苏州江苏苏州 9 9 分）分）如图，正方形 ABCD 的边 AD 与矩形 EFGH 的边 FG 重合，将正方形 ABCD以 1cm/s 的速度沿 FG 方向移动，移动开始前点A 与点 F 重合.在移动过程中，边 AD 始终与边 FG 重合，连接 CG， 过点 A 作 CG 的平行线交线段 GH 于点 P， 连接 PD.已知正方形 ABCD 的边长为 1cm， 矩形 EFGH的边 FG、GH 的长分别为 4cm、3cm.设正方形移动时间为 x（s） ，线段 GP 的长为 y（cm） ，其中0

5、x2.5.试求出 y 关于 x 的函数关系式，并求出y =3 时相应 x 的值；记DGP 的面积为 S1，CDG 的面积为 S2试说明 S1S2是常数；当线段 PD 所在直线与正方形 ABCD 的对角线 AC 垂直时，求线段 PD 的长.【答案】【答案】解： （1）CGAP，CGD=PAG，则tanCGD= tan PAGGF=4，CD=DA=1，AF=x，GD=3x，AG=4xCDPG=GDAG1y4x4x，即y=y 关于 x 的函数关系式为y=3x4x3x3x4x当 y =3 时，3=，解得:x=2.53x11 4x11113（2） S1=GPGD=3x x+2，S2=GDCD=3x1 x

6、+，22 3x22222精品 11131为常数S1S2=x+2x+2222（3）延长 PD 交 AC 于点 Q.正方形 ABCD 中，AC 为对角线，CAD=45PQAC，ADQ=45GDP=ADQ=45DGP 是等腰直角三角形，则GD=GP554x， 化简得：x25x+5=0， 解得：x=23x550 x2.5，x=23x=在 RtDGP 中，PD=552+ 10= 2 3x = 2 3=022cos45GD【考点】【考点】正方形的性质，一元二次方程的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值【分析】【分析】 （1）根据题意表示出 AG、GD

7、的长度，再由tanCGD= tan PAG可解出 x 的值（2）利用（1）得出的 y 与 x 的关系式表示出 S1、S2，然后作差即可（3） 延长 PD 交 AC 于点 Q， 然后判断DGP 是等腰直角三角形， 从而结合 x 的范围得出 x 的值，在 RtDGP 中，解直角三角形可得出PD 的长度3. 3. （20122012 山东潍坊山东潍坊 1111分）分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(2，O)、B(2，0)、C(0，l)三点，过坐标原点 O 的直线 y=kx 与抛物线交于 M、N 两点分别过点 C、D(0，2)作平行于 x 轴的直线l1、l2(1)求抛物线对应二次函数的解析式；(2

8、)求证以 ON 为直径的圆与直线l1相切；(3)求线段 MN 的长(用 k 表示)，并证明 M、N 两点到直线l2的距离之和等于线段 MN 的长精品 1【答案】解： （1）设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax2bxc，1a=44a 2b+c=0则4a+2b+c=0解得b=0c=1c=1抛物线对应二次函数的解析式 所以y=x21（2）设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为点 M、N 在抛物线上，y1=x121，y2=x221，x22=4(y2+1)又ON2 x22 y22 4y21 y22y2 2，ON y2 2又y2 l，ON=2y2设 ON 的中点 E， 分别过点 N、 E 向直线l

9、1作垂线， 垂足为 P、F， 则EF2141414OC NP2 y2，22ON=2EF，即 ON 的中点到直线l1的距离等于 ON 长度的一半，以 ON 为直径的圆与l1相切（3）过点 M 作 MHNP 交 NP 于点 H，则MN2 MH2 NH2x2 x1y2 y1，又y1=kx1，y2=kx2，（y2y1)2=k2(x2x1)2MN2=(1+k2)(x2一 xl)2又点 M、N 既在 y=kx 的图象上又在抛物线上，kx=x21，即 x24kx4=0，x2x1=4k，x2x1=4MN2=(1+k2)(x2一 xl)2=(1+k2) (x2xl)24x2xl =16(1+k2)2MN=4(1

10、+k2)2214精品 1延长 NP 交l2于点 Q，过点 M 作 MSl2交l2于点 S，则 MSNQ=y12y22=x121+x221+41414=12112x1+x22+2=x1+x22x1x2+2=16k2+8 +2=4k2+4=4 1+k2444MS+NQ=MN，即 M、N 两点到l2距离之和等于线段 MN 的长【考点】【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，中点坐标的求法，直线与圆相切的条件，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理【分析】【分析】 （1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法即可求出抛物线对应二次函数的解析式（2）要证以 ON 为直

11、径的圆与直线l1相切，只要证 ON 的中点到直线l1的距离等于 ON 长的一半即可（3）运用一元二次方程根与系数的关系，求出MN 和 M、N 两点到直线l2的距离之和，相比较即可4. 4. （20122012 浙江义乌浙江义乌 1212 分）分）如图 1，已知直线 y=kx 与抛物线y=（1）求直线 y=kx 的解析式和线段 OA 的长度；（2）点 P 为抛物线第一象限内的动点，过点P 作直线 PM，交 x 轴于点 M（点 M、O 不重合） ，交直线OA 于点 Q，再过点 Q 作直线 PM 的垂线，交 y 轴于点 N试探究：线段 QM 与线段 QN 的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；

12、如果不是，说明理由；（3）如图2，若点B 为抛物线上对称轴右侧的点，点E 在线段 OA 上（与点O、A 不重合） ，点D（m，0）是 x 轴正半轴上的动点，且满足BAE=BED=AOD继续探究：m 在什么范围时，符合条件的E 点的个数分别是 1 个、2 个？4222x +x交于点 A（3，6）273【答案】【答案】解： （1）把点 A（3，6）代入 y=kx 得；6=3k，即 k=2精品 1y=2xOA32+62=3 5（2）线段 QM 与线段 QN 的长度之比是一个定值，理由如下：如图 1，过点 Q 作 QGy 轴于点 G，QHx 轴于点 H当 QH 与 QM 重合时，显然 QG 与 QN

13、重合，此时QMQHQH tanAOM=2QNQGOH当 QH 与 QM 不重合时，QNQM，QGQH 不妨设点 H，G 分别在 x、y轴的正半轴上，MQH=GQNQMQHQH tanAOM=2QNQGOHQM=2当点 P、Q 在抛物线和直线上不同位置时，同理可得QN又QHM=QGN=90，QHMQGN 线段 QM 与线段 QN 的长度之比是一个定值（3）如图 2，延长 AB 交 x 轴于点 F，过点 F 作FCOA 于点 C，过点 A 作 ARx 轴于点 RAOD=BAE，AF=OFOC=AC=OA=12552OFAO3 55155OF=5 5 OCOR322ARO=FCO=90，AOR=FO

14、C，AORFOC 点 F（15，0）2422设点 B（x，x2+x） ，过点 B 作 BKAR 于点 K，则AKBARF2732246x2+xx 3BKAK327，即7.536FRAR解得 x1=6，x2=3（舍去） 点 B（6，2）BK=63=3，AK=62=4 AB=5在ABE 与OED 中，BAE=BED，ABE+AEB=DEO+AEBABE=DEO精品 1BAE=EOD，ABEOED设 OE=x，则 AE=3 5x （0 x3 5） ，由ABEOED 得3 5 xmAEOD，即5xABOE2113 5139m=x 3 5 x = x2+x= x 5+0 x 3 5555524395，顶

15、点为x 24如图 3，当m=时，OE=x=当0m时 E 点有 2 个当m=时，E 点只有 1 个，当0m9435，此时 E 点有 1 个；29时，任取一个m 的值都对应着两个 x 值，此49时，E 点有 2 个494【考点】【考点】二次函数综合题， 曲线上点的坐标与方程的关系， 锐角三角函数定义， 相似三角形的判定和性质，二次函数的性质【分析】【分析】 （1）利用待定系数法求出直线y=kx 的解析式，根据 A 点坐标用勾股定理求出线段OA 的长度（2）如图 1，过点 Q 作 QGy 轴于点 G，QHx 轴于点 H，构造相似三角形QHM 与QGN，将线段 QM 与线段 QN 的长度之比转化为相似

16、三角形的相似比，即值需要注意讨论点的位置不同时，这个结论依然成立（3）由已知条件角的相等关系BAE=BED=AOD，可以得到ABEOED 在相似三角形ABE 与OED 中， 运用线段比例关系之前需要首先求出AB 的长度， 如图 2， 可以通过构造相似三角形，或者利用一次函数（直线）的性质求得AB 的长度 设 OE=x，则由相似边的比例关系可以得到m 关于 x 的QMQHQH tanAOM=2为定QNQGOH139表达式m=x ，可见 m 在不同取值5+，这是一个二次函数借助此二次函数图象（如图3）524范围时，x 的取值（即OE 的长度，或E 点的位置）有1 个或 2 个 这样就将所求解的问题

17、转化为分析二次函数的图象与性质问题5. 5.（20122012 广西玉林、广西玉林、 防城港防城港 1212 分）分） 如图， 在平面直角坐标系xOy中， 矩形 AOCD 的顶点 A 的坐标是 （0,4） ，现有两动点 P、Q，点P 从点 O 出发沿线段 OC（不包括端点 O，C）以每秒2 个单位长度的速度，匀速向点 C 运动，点Q 从点 C 出发沿线段 CD（不包括端点 C，D）以每秒1 个单位长度的速度匀速向点D 运动.2精品 1点 P，Q 同时出发，同时停止，设运动时间为t 秒，当 t=2 秒时 PQ=2 5.（1）求点 D 的坐标，并直接写出 t 的取值范围；（2）连接 AQ 并延长交

18、x轴于点 E,把 AE 沿 AD 翻折交 CD 延长线于点 F,连接 EF，则AEF 的面积 S 是否随 t 的变化而变化？若变化，求出S 与 t 的函数关系式；若不变化，求出S 的值.（3）在（2）的条件下，t 为何值时，四边形 APQF 是梯形？【答案】解： （1）由题意可知，当 t=2（秒）时，OP=4，CQ=2，在 RtPCQ 中，由勾股定理得：PC=PQ2CQ2OC=OP+PC=4+4=8又矩形 AOCD，A（0，4） ，D（8，4）t 的取值范围为：0t4（2）结论：AEF 的面积 S 不变化AOCD 是矩形，ADOE，AQDEQC22 522=4，CECQCEt8t，即，解得 C

19、E=ADDQ84t4t由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4t，则 CF=CD+DF=8tS=S梯形AOCFSFCESAOE=111（OA+CF）OC+CFCEOAOE2228t8t111=4（8t）8+（8t）4（8）2224t4t化简得：S=32 为定值所以AEF 的面积 S 不变化，S=32（3）若四边形 APQF 是梯形，因为 AP 与 CF 不平行，所以只有 PQAF由 PQAF 可得：CPQDAFCP：AD=CQ：DF，即 82t：8= t：4t，化简得 t212t16=0，解得：t1=6+25，t2=62 5精品 1由（1）可知，0t4，t1=6+25不符合题意，舍去当 t=62

20、5秒时，四边形 APQF 是梯形【考点】【考点】动点和翻折问题，矩形的性质，勾股定理，翻折对称的性质，相似三角形的判定和性质，梯形的性质，解一元二次方程【分析】【分析】 （1）由勾股定理可求 PC 而得点 C 的坐标，根据矩形的性质可得点 D 的坐标 点 P 到达终点所需时间为 82=4 秒，点 Q 到达终点所需时间为 41=4 秒，由题意可知，t 的取值范围为：0t4（2）根据相似三角形和翻折对称的性质，求出S 关于 t 的函数关系式，由于关系式为常数，所以AEF 的面积 S 不变化，S=32（3）根据梯形的性质，应用相似三角形即可求解6. 6. （20122012 湖北咸宁湖北咸宁 101

21、0 分）分）如图 1，矩形 MNPQ 中，点 E，F，G，H 分别在 NP，PQ，QM，MN 上，若1 2 3 4，则称四边形 EFGH 为矩形 MNPQ 的反射四边形图 2，图 3，图 4 中，四边形 ABCD为矩形，且 AB=4，BC=8理解与作图：（1）在图 2，图 3 中，点 E，F 分别在 BC，CD 边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD 的反射四边形 EFGH计算与猜想：（2） 求图 2， 图 3 中反射四边形 EFGH 的周长， 并猜想矩形 ABCD 的反射四边形的周长是否为定值？启发与证明：（3）如图 4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF 交 BC 的延长线于 M

22、，试利用小华同学给我们的启发证明（2）中的猜想【答案】【答案】解： （1）作图如下：精品 1（2）在图 2 中，EF FG GH HE 224220 2 5，四边形 EFGH 的周长为8 5在图 3 中，EFGH22125，FG HE 326245 3 5，四边形 EFGH 的周长为25 23 5 8 5猜想：矩形 ABCD 的反射四边形的周长为定值（3）延长 GH 交 CB 的延长线于点 N，12，1 5，2 5又FC=FC，RtFCERtFCM（ASA）EF=MF，EC=MC同理：NH=EH，NB=EB MN=2BC=16M 90 5 90 1，N 90 3，1 3，M NGM=GN过点

23、G 作 GKBC 于 K，则KM MN 8GMGK2KM242824 5四边形 EFGH 的周长为2GM 8 5矩形 ABCD 的反射四边形的周长为定值【考点】【考点】新定义，网格问题，作图（应用与设计作图） ，勾股定理，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质【分析】【分析】 （1）根据网格结构，作出相等的角即可得到反射四边形（2）图 2 中，利用勾股定理求出EF=FG=GH=HE 的长度，然后即可得到周长，图3 中利用勾股定理求出 EF=GH，FG=HE 的长度，然后求出周长，从而得到四边形EFGH 的周长是定值（3）延长 GH 交 CB 的延长线于点 N，再利用“ASA

24、” 证明 RtFCE 和 RtFCM 全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=MF， EC=MC， 同理求出 NH=EH， NB=EB， 从而得到 MN=2BC， 再证明 GM=GN，过点 G 作 GKBC 于 K， 根据等腰三角形三线合一的性质求出KM MN 8， 再利用勾股定理求出GM1212精品 1的长度，然后即可求出四边形EFGH 的周长7. 7. （20122012 福建泉州福建泉州 1212 分）分）已知：A、B、C 不在同一直线上.（1）若点 A、B、C 均在半径为 R 的O O 上，i）如图一，当A=45时，R=1，求BOC 的度数和 BC 的长度；ii）如图二，当A 为锐角时

25、，求证 sinA=BC；2R（2）.若定长线段BC 的两个端点分别在MAN 的两边 AM、AN（B、C 均与点 A 不重合）滑动，如图三，当MAN=60，BC=2 时，分别作BPAM，CPAN，交点为点P ，试探索：在整个滑动过程中， P、A两点的距离是否保持不变？请说明理由.【答案】【答案】解： （1）i）A=45，BOC=90（同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半）又R=1，由勾股定理可知BC=11= 2ii）证明：连接 BO 并延长，交圆于点 E，连接 EC可知 ECBC（直径所对的圆周角为 90） ，且E=A（同弧所对的圆周角相等）故 sinA=sinA=BCBCBE2R（2）保持

26、不变 理由如下：如图，连接 AP，取 AP 的中点 K，连接 BK、CK，在 RtAPC 中，CK=1AP=AK=PK2同理得：BK=AK=PKCK=BK=AK=PK 点 A、B、P、C 都在K 上精品 1由（1）ii）sinA=AP=BCBC可知 sin60=2RAPBC4 3（为定值）sin603【考点】【考点】三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，直角三角形中线性质【分析】【分析】 （1）i）根据圆周角定理得出BOC=2A=90，再利用勾股定理得出BC 的长；BCBC，得出即可BE2RBC4 3BC（2）首先证明点A、B、P、C 都在K 上，再

27、利用sinA=，得出AP=（定sin6032Rii）作直径 CE，则E=A，CE=2R，利用 sinA=sinE=值）即可8. 8. （20122012 四川自贡四川自贡 1212 分）分）如图所示，在菱形 ABCD 中，AB=4，BAD=120，AEF 为正三角形，点 E、F 分别在菱形的边 BCCD 上滑动，且 E、F 不与 BCD 重合（1）证明不论 E、F 在 BCCD 上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F 在 BCCD 上滑动时，分别探讨四边形AECF 和CEF 的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值【答案】【答案】解： （1）证明：如图，

28、连接 AC四边形 ABCD 为菱形，BAD=120，BAE+EAC=60，FAC+EAC=60，BAE=FACBAD=120，ABF=60ABC 和ACD 为等边三角形ACF=60，AC=AB ABE=AFC在ABE 和ACF 中，BAE=FAC，AB=AC，ABE=AFC，ABEACF（ASA） BE=CF（2）四边形 AECF 的面积不变，CEF 的面积发生变化 理由如下：由（1）得ABEACF，则 SABE=SACF精品 1S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是定值作 AHBC 于 H 点，则 BH=2，11S四边形AECFSABCBCAHBC AB2BH

29、24 322由“垂线段最短”可知：当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边 AE 最短故AEF 的面积会随着 AE 的变化而变化， 且当 AE 最短时， 正三角形 AEF 的面积会最小，又 SCEF=S四边形AECFSAEF，则此时CEF 的面积就会最大SCEF=S四边形AECFSAEF 4 3 CEF 的面积的最大值是3【考点】【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质【分析】【分析】（1）先求证 AB=AC，进而求证ABC、ACD 为等边三角形，得ACF =60，AC=AB，从而求证ABEACF，即可求得 BE=CF（2）由AB

30、EACF 可得 SABE=SACF，故根据S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC即可得四边形 AECF 的面积是定值 当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边 AE 最短AEF 的面积会随着 AE 的变化而变化，且当AE 最短时，正三角形 AEF 的面积会最小，根据 SCEF=S四边形AECFSAEF，则CEF 的面积就会最大9. 9. （20122012 四川成都四川成都 1212 分）分） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=x+m(m为常数)的图象与 x轴交于点 A(3，0)，与y 轴交于点 C以直线x=1 为对称轴的抛物线y=ax2+b

31、x+c(a，b，c 为常数，且a0)经过 A，C 两点，并与 x 轴的正半轴交于点B（1）求m的值及抛物线的函数表达式；（2）设 E 是 y 轴右侧抛物线上一点，过点 E 作直线 AC 的平行线交 x 轴于点 F是否存在这样的点 E，使得以 A，C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 求出点 E 的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；（3）若 P 是抛物线对称轴上使ACP 的周长取得最小值的点，过点P 任意作一条与 y 轴不平行的直线交抛物线于M1x1，y1，M2x2，y2两点，试探究12 322 3 322354M1PM2P是否为定值，并写出探究过程M1M2精品 1

32、【答案】解： （1）y=x+m经过点（3，0） ，541515x+m=0，解得m=441541515令 x=0，得y=C（0，）44直线解析式为y=x+抛物线 y=ax2+bx+c 对称轴为 x=1，且与 x 轴交于 A（3，0） ，另一交点为 B（5，0）设抛物线解析式为 y=a（x+3） （x5） ，5415151） ，=a3（5） ，解得a=44411115抛物线解析式为 y=（x+3） （x5） ，即y=x2+x+4424抛物线经过 C（0，（2）假设存在点 E 使得以 A、C、E、F 为顶点的四边形是平行四边形，则 ACEF 且 AC=EF，如答图 1（i）当点 E 在点 E 位置时

33、，过点 E 作 EGx 轴于点 G，ACEF，CAO=EFG又COA=EOF=900，AC=EF，CAOEFG（AAS）1515，即 yE=44151115=xE2+xE+，解得 xE=2（xE=0 与 C 点重合，舍去）44241515E（2，） ，SACEF=42EG=CO=（ii）当点 E 在点 E位置时，过点 E作 EGx 轴于点 G，同理可求得 E（31+1，15 31+10515） ，SACEF=44（3）要使ACP 的周长最小，只需AP+CP 最小即可精品 1如答图 2，连接 BC 交 x=1 于 P 点，因为点 A、B 关于 x=1 对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可

34、知此时AP+CP 最小（AP+CP 最小值为线段 BC 的长度）15） ，4315直线 BC 解析式为y=x+44B（5，0） ，C（0，xP=1，yP=3，即 P（1，3）令经过点 P（1，3）的直线为 y=kx+3k，y kx 3k联立12115得y=x +x+424x2+（4k2）x4k3=0，x1+x2=24k，x1x2=4k3y1=kx1+3k，y2=kx2+3k，y1y2=k（x1x2）根据勾股定理得：M1M2=x1 x22+y1 y22=x1 x22+k2x1x22= 1+k2x1x22= 1+k2M1P=M2P=x1+x224x1x2= 1+k224k244k 3=41+k2，

35、1+k21+k2x112+y132=x112+kx1+3k 32=x212+y232=x212+kx2+3k 32=x112，x2122M1PM2P=1+k2x112x212=1+k22x1x2x1+x2+12= 1+k24k 324k+1=4 1+kM1PM2P=M1M2M1PM2P=1 为定值M1M2【考点】【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质，两点之间线段最短的性质，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理【分析】【分析】 （1）把点 A 的坐标代入y=x+m即可求出m的值 由抛物线的对称轴和点A 的坐标可得抛物线与 x 轴另一交点 B 的坐标，从而设抛物线的交点式，由点C 在抛物线求出待定系数得到抛物线解析式（2）分点 E 在 x 轴上方和下方两种情况讨论即可54精品 1（3）设出 M1M2的解析式，与抛物线联立，根据一元二次方程根与系数的关系得M1、M2两点坐标的关系：x1+x2=24k，x1x2=4k3，y1=kx1+3k，y2=kx2+3k， y1y2=k（x1x2） 由勾股定理表示出 M1M2、M1P 和 M2P，化简即可求证