2022年电大离散数学图论部分期末复习辅导 .pdf

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1、1 / 16 离散数学图论部分期末复习辅导一、单项选择题1设图 G，v V，则下列结论成立的是 ( ) Adeg(v)=2 E Bdeg(v)= ECdeg( )2|v VvE Ddeg( ) |v VvE解 根据握手定理 （图中所有结点的度数之和等于边数的两倍）知，答案C 成立。答 C 2设无向图 G 的邻接矩阵为0101010010000011100100110，则 G 的边数为 ( )A6 B5 C4 D3 解 由邻接矩阵的定义知，无向图的邻接矩阵是对称的即当结点vi与 vj相邻时，结点 vj与 vi也相邻，所以连接结点vi与 vj的一条边在邻接矩阵的第i 行第 j 列处和第 j行第 i

2、 列处各有一个 1，题中给出的邻接矩阵中共有10个 1，故有 10 2=5条边。答 B 3已知无向图 G 的邻接矩阵为0111110101110001000111010，则 G 有（）A5点，8 边 B6 点，7 边C6点，8 边 D5点，7边解 由邻接矩阵的定义知，矩阵是5 阶方阵，所以图 G 有 5个结点，矩阵元素有14 个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页2 / 16 1，142=7，图 G 有 7 条边。答 D 4如图一所示，以下说法正确的是( ) A(a, e) 是割边B(a, e) 是边割集C(a, e

3、) ,(b, c) 是边割集D(d, e)是边割集定义 3.2.9设无向图 G=为连通图，若有边集E1E，使图 G 删除了 E1 的所有边后，所得的子图是不连通图，而删除了E1的任何真子集后，所得的子图仍是连通图，则称E1是 G 的一个边割集若边割集为单元集 e ，则称边e 为割边（或桥）解 割边首先是一条边，因为答案A 中的是边集，不可能是割边，因此答案A 是错误的删除答案B 或 C 中的边后，得到的图是还是连通图，因此答案B、C 也是错误的在图一中，删去 (d, e)边，图就不连通了，所以答案D 正确答 D 注：如果该题只给出图的结点和边，没有图示，大家也应该会做如：若图 G=，其中 V=

4、 a, b, c,d, e ，E= ( a, b), (a,c) , ( a, e) , ( b,c) , ( b, e) , ( c, e) , (e,d) ，则该图中的割边是什么？5图 G 如图二所示，以下说法正确的是 ( )Aa是割点Bb, c是点割集Cb, d是点割集Dc是点割集定义 3.2.7设无向图 G=为连通图，若有点集V1V，使图 G删除了 V1的所有结点后，所得的子图是不连通图，而删除了V1的任何真子集后，所得的子图仍是连通a b c d 图一e a b c d 图二精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16

5、 页3 / 16 图，则称 V1是 G 的一个 点割集 若点割集为单元集 v ，则称结点 v为割点解 在图二中，删去结点a 或删去结点c 或删去结点 b 和 d 图还是连通的，所以答案A、C、D 是错误的在图二中删除结点b 和 c，得到的子图是不连通图，而只删除结点 b 或结点 c，得到的子图仍然是连通的，由定义可以知道， b,c是点割集所以答案 B 是正确的答 B 6图 G 如图三所示，以下说法正确的是( ) A(a, d) 是割边B(a, d) 是边割集C(a, d) ,(b, d)是边割集D(b, d) 是边割集解 割边首先是一条边， (a, d)是边集，不可能是割边在图三中，删除答案B

6、 或 D中的边后，得到的图是还是连通图因此答案A、B、D 是错误的在图三中，删去(a, d)边和(b, d)边，图就不连通了，而只是删除(a, d)边或(b, d)边，图还是连通的，所以答案 C 正确7设有向图（ a）、（b）、（ c）与（ d）如图四所示，则下列结论成立的是( )图四A（a）是强连通的 B（b）是强连通的C（c）是强连通的 D（d）是强连通的复习：定义3.2.5 在简单有向图中，若在任何结点偶对中，至少从一个结点到另一个结点可达的，则称图G 是单向（侧）连通 的；若在任何结点偶对中，两结点对互相可达，则称图G 是强连通 的；a b c d 图三精选学习资料 - - - - -

7、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页4 / 16 若图 G 的底图，即在图G 中略去边的方向，得到的无向图是连通的，则称图G 是弱连通的显然，强连通的一定是单向连通和弱连通的，单向连通的一定是弱连通，但其逆均不真定理 3.2.1 一个有向图是强连通的，当且仅当G 中有一个回路，其至少包含每个结点一次单侧连通图判别法： 若有向图 G 中存在一条经过每个结点至少一次的路，则G 是单侧连通的。答 A（有一条经过每个结点的回路）问：上面的图中，哪个仅为弱连通的？答：图(d)是仅为弱连通的请大家要复习“弱连通”的概念8设完全图 Kn有 n 个结点 (n 2)

8、，m 条边，当（）时， Kn中存在欧拉回路Am为奇数 Bn 为偶数Cn 为奇数 Dm为偶数解 完全图 Kn每个结点都是 n 1度的，由 定理 4.1.1的推论 知 Kn中存在欧拉回路的条件是 n 1 是偶数，从而 n 为奇数。答 C 提示： 前面提到 n 阶无向完全图Kn的每个结点的度数是n-1，现在要问 ：无向完全图 Kn的边数是多少？答：n(n1)/2 9若 G 是一个汉密尔顿图，则G 一定是 ( )A平面图 B对偶图C欧拉图 D连通图定义4.2.1 给定图 G，若存在一条路经过图G的每个结点一次且仅一次，则该路称为汉密尔顿路；若存在一条回路经过图G的每个结点一次且仅一次，则该回路称为汉密

9、尔顿回路；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页5 / 16 具有汉密尔顿回路的图称为汉密尔顿图由定义可知，汉密尔顿图是连通图答 D 10若 G 是一个欧拉图，则G 一定是 ( )A平面图 B汉密尔顿图C连通图 D对偶图定义 4.1.1 给定无孤立结点图G，若存在一条路经过图G的每条边一次且仅一次，则该路称为 欧拉路 （即，欧拉路中没有重复的边，并且包含了图中的每条边）若存在一条回路经过图G 的每条边一次且仅一次，则该回路称为欧拉回路 具有欧拉回路的图就称为欧拉图 由定义可知，欧拉图是连通图答 C 11设 G是连通平面

10、图，有v个结点， e条边，r 个面，则 r= ( )Aev2 Bve2 Cev2 Dev2 答 A（定理 4.3.2：欧拉公式 v e r 2）问：如果连通平面图G有 4个结点， 7 条边，那么图 G 有几个面？12无向树 T 有 8 个结点，则 T的边数为 ( )A6 B7 C8 D9答 B 13无向简单图 G 是棵树，当且仅当 ( )AG 连通且边数比结点数少1 BG连通且结点数比边数少1 CG的边数比结点数少1 DG中没有回路答 A（定理 5.1.1（树的等价定义）14已知一棵无向树T 中有 8 个顶点， 4 度、3 度、2 度的分支点各一个， T 的树叶数为( )精选学习资料 - -

11、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页6 / 16 A8 B5 C4 D3 解 这棵无向树 T 有 7 条边，所有结点的度数之和为14，而 4度、3 度、2 度的分支点各一个共 3 个结点占用了9 度，所以剩下的5 个结点占用 5 度，即这 5 个结点每个都是 1 度结点，故有 5 片树叶答 B 15设 G 是有 n 个结点， m条边的连通图，必须删去G 的( )条边，才能确定 G 的一棵生成树A1mnB mnC1mnD1nm答 A（n 个结点的连通图的生成树有1n条边，必须删去(1)mn条边）16设无向图 G 的邻接矩阵为01011100

12、11000011100111110，则 G 的边数为 ( )A1 B6 C7D14答 C 17如图二（下图）所示，以下说法正确的是 ( )Ae是割点 Ba,e 是点割集Cb, e 是点割集 D d是点割集图二答 A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页7 / 16 18设有向图（ a）、（ b）、（ c）与（ d）如图六（下图）所示，则下列结论成立的是( )图六A（a）只是弱连通的 B（b）只是弱连通的C（c）只是弱连通的 D（ d）只是弱连通的 答 D 19无向完全图 K4是（）A欧拉图 B汉密尔顿图 C非平面图

13、D树答 B 20以下结论正确 的是( )A无向完全图都是欧拉图B有 n 个结点 n1 条边的无向图都是树C无向完全图都是平面图D树的每条边都是割边 答 D 二、填空题1已知图 G中有 1 个 1 度结点， 2 个 2 度结点， 3 个 3 度结点， 4 个 4 度结点，则 G的边数是解 设 G 有 x 条边，则由握手定理，1 12233442x，15x答 152设给定图 G(如右由图所示 )，则图 G 的点割集是解 从图 G 中删除结点f，得到的子图是不连通精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页8 / 16 图，即结点

14、集 f是点割集；从图G 中删除结点c 和 e，得到的子图是不连通图，而只删除 c 或 e，得到的子图仍然是连通的，所以结点集c, e 也是点割集而其他结点集都不满足点割集的定义的集合，所以应该填写： f、 c, e 答f、c,e提示： 若 f 是图 G 的割点，则 f是图 G的点割集，删除f点后图 G 是连通吗？3设 G 是一个图，结点集合为V，边集合为 E，则 G 的结点等于边数的两倍答 的度数之和4无向图 G 存在欧拉回路，当且仅当G 连通且答 G 的结点度数都是偶数 （定理 4.1.1 的推论 ）5设 G=是具有 n 个结点的简单图，若在G 中每一对结点度数之和大于等于，则在 G 中存在

15、一条汉密尔顿路答 n 1（定理 4.2.2 ）6若图 G=中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V 的每个非空子集S，在G 中删除 S中的所有结点得到的连通分支数为W，则 S中结点数 |S|与 W 满足的关系式为 答 W |S| （定理 4.2.1 ）7设完全图 Kn有 n 个结点 (n 2)，m 条边，当时， Kn中存在欧拉回路答 n为奇数 （同一、 8题）8结点数 v与边数 e满足关系的无向连通图就是树答 e v 1（定理 5.1.1（树的等价定义）9设图 G 是有 6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从 G 中删去条边后使之变成树解 由握手定理（ 定理 3.1.1）知道图 G 有 1

16、8 2=9 条边，又由 定理 5.1.1中给出的图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页9 / 16 T为树的等价定义之一是“图T连通且 e=v- 1”，可以知道图 G 的生成树有 5条边，从而要删去 4 条边答 410设正则 5 叉树的树叶数为 17，则分支数为 i =答 4（定理 5.2.1：(m-1)i=t-1）三、判断说明题 （判断下列各题，并说明理由）1如果图 G 是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G 存在一条欧拉回路解 错误只有当 G 是连通图且其结点度数均为偶数时，图G 才存在一条欧拉回路2如下图所示的

17、图G 存在一条欧拉回路解 错误因为图 G 有两个奇数度（ 3 度）结点，所以不存在欧拉回路注：这是一个汉密尔顿图，但不是欧拉图。可见汉密尔顿图不一定是欧拉图其实，欧拉图也不一定是汉密尔顿图如下图所示，图（1）是欧拉图又是汉密尔顿图，图（2）是欧拉图但不是汉密尔顿图，图（ 3）不是欧拉图但它是汉密尔顿图，图（4）不是欧拉图也不是汉密尔顿图。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页10 / 16 3如下图所示的图G 不是欧拉图而是汉密尔顿图图 G 解 正确图 G 有 4 个 3 度结点 a，b，d，f，所以图G 不是欧拉图图

18、G 有汉密尔顿回路abefgdca ，所以图 G 是汉密尔顿图4设 G 是一个有 7 个结点 16条边的连通 简单图，则 G为平面图解 错误由定理 4.3.3 知，若 G 有 v 个结点 e 条边，且 v 3，则 e 3v 6但本题中， 16 37 6 不成立5设 G 是一个连通平面图，且有6 个结点 11条边，则 G有 7 个面解 正确由欧拉定理，连通平面图G 的结点数为v，边数为 e，面数为 r，则 v e+r=2于是有 r=2 v+e=2 6+11=7问：“完全图 K6是平面图”是否正确？答 不正确因为完全图 K6有 6个结点 15条边，且 15 3 6- 6=12，即 e 3v-6 对

19、 K6不成立，所以K6不是平面图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页11 / 16 四、计算题1设G=，V= v1，v2，v3，v4，v5，E= (v1,v3)，(v2,v3)，(v2,v4)，(v3,v4)，(v3,v5)，(v4,v5) ，试(1) 给出 G的图形表示； (2) 写出其邻接矩阵；(3) 求出每个结点的度数； (4) 画出其补图的图形解 （1）G 的图形为：（2）图 G 的邻接矩阵为：0010000110110110110100110A（3）图 G 的每个结点的度数为：1deg( )1v，2deg

20、( )2v，3deg( )4v，4deg( )3v，5deg( )2v（4）由关于补图的 定义 3.1.9可知，先在图 G 补充边画出完全图（见下面左图），然后去掉原图的边，可得图G 补图（见下面右图）：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页12 / 16 注意：补图中，如果没有标出结点v3，则是错的 2图 G=，其中 V= a, b, c,d,e，E= ( a, b), (a, c), (a, e), (b, d),(b, e), (c, e), (c, d), (d, e) ，对应边的权值依次为2、1、2、3、6

21、、1、4及 5，试（1）画出 G 的图形；（2）写出 G 的邻接矩阵；（3）求出 G 权最小的生成树及其权值解 （1）G 的图形如左下图：（2）G 的邻接矩阵为：0110110011100110110111110A（3）图 G 有 5 个结点，其生成树有4 条边，用 Kruskal 算法求其权最小的生成树T：第 1 步，取具最小权 1 的边(a,c)；第 2 步，取剩余边中具最小权1的边(c,e)；第 3 步，取剩余边中不与前2条边构成回路的具最小权2 的边(a,b)；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页13 /

22、16 第 4 步，取剩余边中不与前3条边构成回路的具最小权3 的边(b,d)所求最小生成树T 如下图，其权为( )1 1237W T注意：在用避圈法求最小的生成树的关键是：“取图中权数最小的边，且与前面取到的边不构成圈”，很多学生只注意到取权数最小的边了，而忽略了“不构成圈”的要求。如果题目给出如解 (1) 中所示赋权图，要求用Kruskal 算法（避圈法）求出该赋权图的最小生成树，大家应该会吧3已知带权图 G 如右图所示(1) 求图 G的最小生成树；(2)计算该生成树的权值解 （1）图 G 有 6 个结点，其生成树有5 条边，用 Kruskal 算法求其权最小的生成树T：第 1 步，取具最小

23、权 1 的边；第 2 步，取剩余边中具最小权2的边；第 3 步，取剩余边中不与前2条边构成回路的具最小权3 的边；第 4 步，取剩余边中不与前3条边构成回路的具最小权5 的边；第 5 步，取剩余边中不与前4 条边构成回路的具最小权 7的边所求最小生成树T 如右图（2）该最小生成树的权为( )1235718W T精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页14 / 16 4设有一组权为 2,3,5,7,17,31，试画出相应的最优二叉树，计算该最优二叉树的权解 （Huffman 算法）：首先组合 2+3，求带权 5,5,7,

24、17,31的最优二叉树；再组合 5+5，求带权 7, 10,17,31的最优二叉树；然后组合 7+10，求带权 17, 17,31的最优二叉树；继续组合 17+17，求带权 31, 34的最优二叉树；最后组合 31+34，得 65，这是树根所带的权。可从树根开始往下画，即得所求最优二叉树T 如下图：所求最优二叉树T 的权为：( )(23)5547317231 1131w T讲评：作业中最优二叉树往往都能画对了，但计算总权值时可能会把有些权的层数计算错了，导致总权值计算错误，大家一定要细心。注意：这 4个计算题的解题方法大家一定要掌握。补充： 教材第 101页例3给定如 图3.3.3所示有向图，

25、其邻接矩阵以及邻接矩阵的乘积如下：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页15 / 16 0100010000000100010100010A，10000010000010100020001012A01000100000002000202000203A，10000010000020200040002024A从上面的矩阵中可以得到一些结论，如：（1）从A2中第1行第3列的为 1可知，结点 v1与v3之间有一条长度为 2的路；（2）从A3中第1行第2列的为 2可知， v1与v2之间有 2条长度为 3的路；（3）从A4中第2

26、行第2列的为 4可知，在结点 v2有4条长度为 4的回路如果改成问题：试求：（1）图G中结点 v1与v3之间长度为 2的路径条数； 1条（2）图G中v1与v2之间长度为 3的路径条数； 2条（3）图G中经过 v2的长度为 4的回路条数 4条精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页16 / 16 五、证明题证明题同学一般都做不好，原因是对证明题方法没有掌握，也是对一些概念不清楚所造成的。因此，希望大家认真学习教材和老师讲课中的证明方法，并通过作业逐步掌握做证明题的方法。1设 G 是一个 n 阶无向简单图， n 是大于等于

27、 3 的奇数证明图G 与它的补图 G 中的奇数度顶点个数相等证明 设,GV E，,GV E则E是由 n 阶无向完全图nK的边删去 E 所得到的所以对于任意结点uV，u 在 G 和G中的度数之和等于u 在nK中的度数由于 n 是大于等于3 的奇数，从而nK的每个结点都是偶数度的（1 (2)n度），于是若uV在 G 中是奇数度结点，则它在G中也是奇数度结点故图G 与它的补图G中的奇数度结点个数相等2设连通图 G 有 k 个奇数度的结点，证明在图G 中至少要添加2k条边才能使其成为欧拉图证明 由定理 3.1.2 知，k 必为偶数要使这k 个奇数度结点变成偶数度结点，从而使图 G 变成欧拉图，可在每两个奇数度结点间添加一条边故在图G 中至少要添加2k条边才能使其成为欧拉图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页