2022年用Mathematica求偏导数与多元函数的极值 .pdf

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1、 10 用 Mathematica 求偏导数与多元函数的极值10.1 用 Mathematica 作三维函数图在多元函数微积分中，作图可以使得问题更为直观，易于理解。这里首先给大家介绍“用 Mathematica作三维函数图”。1 常用的三维绘图函数Plot3Dfx,y,x,a,b,y,c,d,可选项 : 作),(yxf的图形。ParametricPlot3Dxu,v,yu,v,zu,v,u,a,bv,c,d: 作三维参数方程的图形。Showf1,f2,f3,: 将多个图形组合重新显示。2 常用的可选项Plot3D 函数有许多可选项可以用来修饰三维图形的外观。可以借助于可选项改变图形的外观，以

2、便于观察。表 10-1 常用的可选项可选项默认值说明Axes True 是否绘制坐标轴Axeslable None 坐标轴的名称。 zlabel 为 z 轴的 label,即 z 轴的标注， labelxlabel,ylabel,zlabel分别为x轴，y轴 ,z轴的标注AspectRatio 1 作图高、宽比例，可以说明为任意值Boxed True 绘制外框。定义False则不绘制外框Displayfunction $Displayfunction 显示图形模式，定义Identity 不显示图形PlotRange Automatic z方向的绘图范围Shading True 表面不上色或留白

3、ViewPoint 1.3,-2.4,2 观测点 (眼睛观测的位置) 选择合适的观测点在也有助于观察图形，下面是典型的ViewPoint 值：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页表 10-2 典型的 ViewPoint 值ViewPoint 值观测点的位置1.3,-2.4,2 默认观测点0,-2,0 从前方看0,0,2 从上往下看0,-2,2 从前方上面往下看0,-2,-2 从前方下面往上看-2,-2,0 从左前方看2,-2,0 从右前方看例 10.1 画出函数22sinyxz图形，并使图形表面不上色。解In1:=

4、Plot3DSinSqrtx2+y2,x,0,2Pi,y,0,2Pi 0246-1-0.500.510246Out1= -SurfaceGraphics- In2:= Show%,Shading-False精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页0246-1-0.500.510246Out2= -SurfaceGraphics- 例 10.2 画出函数yxzcossin图形，并使调整图形观测点观察图形是否对称。解In1:= Plot3DSinx*y,x,0,2Pi,y,0,2Pi,AxesLabel-“ x” , “ y

5、” , “ z” 0246y-1-0.500.51z0246xOut1= -SurfaceGraphics- In2:= Show%,ViewPoint- 1,-1,2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页0246y-1-0.500.51z0246xOut2= -SurfaceGraphics- 例 10.3 画一单位双曲面。解首先，写出单位双曲面的参数方程x=Coshu*Cosv y=Coshu*Sinv z=uIn1:= ParametricPlot3DCoshu*Cosv,Coshu*Sinv,u,u,0,Pi

6、, v,-Pi,Pi,AxesLabel- “ x” , “ y” , “ z” -202y-2-1012z-202xOut1= -Graphics3D- 例 10.4 画出函数11634222zyx图形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页解In1:= ParametricPlot3D2Sinu*Cosv,3Sinu*Sinv,4Cosu,u,0,Pi, v,-Pi,Pi,AxesLabel-x, y, z -2-1012x-4-2024z-202yOut1= -Graphics3D- In2=: Show%,Vi

7、ewVertical-1,0,0 -2-1012x-4-2024z-202yOut2=-Graphics3D- 例 10.5 画出由02yx与1) 1(22yx所围的立体图形。解In1:= a1=Plot3Dx+2y,x,0,2,y,0,2,DisplayFunction-Identity; a2=ParametricPlot3D1+Cosu,Sinu,v,u,0,2Pi,v,0,3.5, DisplayFunction-Identity; a3=Plot3D0,x,-1,2,y,-1,2,DisplayFunction-Identity; Showa1,a2,a3,AxesLabel-x,

8、y,AspectRatio-Automatic, PlotRange-0,4,DisplayFunction-$DisplayFunction 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页-1012y01234z-1012xOut1= -Graphics3D- 9.2 用 Mathematica 求偏导数与多元函数的极值函数xnxDt,实际上给出了 偏导数 ，在这个表达式中，假设n 个不是 x 的函数，在Mathematica 中，它有一个函数Dt ，它代表的是全微分，在这个函数中，所以的变量都有联系。在 Mathemati

9、ca 的说明中，xfD,代表了xf，而xfDt,则代表了dxdf。可以认为 Dt 表示了“全微分”。例如：1. 下面给出了一个全微分，其中n 是 x 的函数，xfDt,则代表了dxdf。)log,( 1 ,: 1xxnDtxnxOutxnxDtInn2. 下面是一个全微分。其中xfDt,代表了 dx。)log(2: 2xnDtxxnDtxOutnxDtInn注：在 Mathematica 中，还是有些微分函数用于直接计算的，如下表所示：表 10-3 部分的微分函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页函数及其表达式函数

10、功能说明xfD,关于x的偏微分, 1, 2,D f xx L或, 2, 1,xxfDt关于2, 1 xx等的混合偏微分(),D fx n轾臌或nxfDt,关于x的n阶偏微分fDt函数的全微分xfDt,关于变量x的全微分例 10.6 求下列函数对 x 的偏导数1. 22lnyxxu；2. xyyxarctgu1；3. xyeusin；4. u=zyx。解 In1:= DLogx+Sqrtx2+y2 ,x; Simplify% (*通常 Mathematica 不自动化简微分结果，要借助于 Simplify 函数*) Out1=221yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总

11、结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页In2: = DArcTanh(x+y)/(1-x*y),x; Simplify% Out2= )22221(411yxyxyyIn3: = DESiny/x,x; Simplify% Out3= 2xxyyCosexySinIn4: = D(x/y)z,x; Simplify% Out4= xzyxz例 10.7 设xyyxzsinsin33，求yz，1, 1yxyz，22xz，336yxz。解In1:= Clearz,x,y; zx,y:=x3*Siny+y3Sinx; /*定义二元函数 .*/Dzx,y,yOut1= 323xSiny

12、yCosxIn2:=Dzx,y,y/.x-1,y-1 /*给函数的变量赋值 .*/ Out2= 13 1SinCosIn3:= Dzx,y,x,2Out3= 63yxSinxSinyIn4:= Dzx,y,x,3,y,3Out4= 66yCosxCos例 10.8设vuyyuxyxz23,ln2，求uz，vz，22vz。解In1:= xu_,v_:=u/v; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页yu_,v_:=3u-2v; zx_,y_:=xu,v2*Logyu,v; Dzx,y,u; Simplify%Out1=

13、2)232233(vvuLogvuuuIn2:= Dzx,y,v;Simplify%Out2= 3)2323(22vvuLogvuvuIn3:= Dzx,y,v,2;Simplify%Out3= 4222)23()23)23(3)56(2vvuvuLogvuvvuu例 10.9 设),()2(xyxgyxfz，其中函数( )f t二阶可导，( , )g u v具有二阶连续的偏导数，求xz，22xz，yxz2。解In1:= Df2x-y+gx,x*y,xOut1= ,2 2)1 ,0()1,0(xyxgxyxygyxfIn2:= Df2x-y+gx,x*y,x,2 Out2=,),(,2 4)0

14、,2()1, 1()2,0()1, 1(xyxgxyxgxyxygyxyxygyxfIn3:= Df2x-y+gx,x*y,x,y Out3= ),2 2)1 , 1()2,0()1 ,0(xyxxgxyxxygxyxgyxf其中ugvug为,)0, 1(，vgvug为,)1 ,0(，vugvug为,)1 ,1(，2)0,2(,ugvug为，2)2,0(,vgvug为。例 10.10 已知函数)(xyxFxyz，证明xyzyzyxzx。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页解In1:= z=x*y+x*Fy/x; Dz

15、,x*x+y*Dz,y-z-x*y; Simplify%Out1= 0 例 10.11 求由下列方程所确定的隐函数和导数或偏导数：1xyarctgyx22ln， 求dydx。2uvuyuvuxsin,cos，求xu，yu，xv，yv。解In1:= eq1=LogSqrtx2+yx2= = ArcTanhyx/x; Deq1,x; Solve%,y x;Simplify% Out1= 32233223 xyxxyxyxxxyxxyxyxxxyIn2:= Dx=ux*Cosvx/ux,y=ux*Sinvx/ux,x; SimplifySolve%, u x ,v x Out2= , xuxvxux

16、vCosxuxvSinxvxuxvCosxuIn3:= Dx=uy*Cosvy/uy,y=uy*Sinvy/uy,y; SimplifySolve%, u y,v y Out3= , yuyvyuyvSinyuyvCosyvxuxvSinyu例 10.12 求下列极值问题：1函数yxxyxyxf12153),(3. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页2求函数yyxyxf1612),(22，在2522yx上的最大最小值 . 解1 In1:= Clearx,y,z,a,b,c,d,t; fx_,y_:=x3+3*x*

17、y2-15x-12y; a=Dfx,y,x,2; b=Dfx,y,x,y; c=Dfx,y,y,2; d=a*c-b2; t=SloveDfx,y= =0,x,Dfx,y= =0,y,x,y; l=Lengthtl Fori=1,i0&a10&a10,Print“ fmin= ” ,z, d1= =0,Print “No Sure ”,z, d1= =0,PrintNo Out1= x-2,y-1 fmax=28 x-1,y-2 No x-1,y-2 No x-2,y-1 fmin=-28 2 先求( , )f x y在圆域内2522yx的最大最小值 : 精选学习资料 - - - - - -

18、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页In2:= fx_,y_:=x2+y2-12x+16y; t=SolveDfx,y= =0,x,Dfx,y= =0,y,x,yOut2= x-6,y-8 (*驻点*)In3:= x2+y2-25/.t1 Out3= 75 该驻点在圆外，圆内无驻点，故不取极值。下面考虑圆2522yx上的最值。这是在约束条2522yx下的条件极值 ,用 Lagrange乘数法求解。In4:= Clearx,y,F,t; Fx_,y_,t_:=fx,y+t(x2+y2-25); s=SolveDfx,y,t=0,Dfx,y,t=0,y,D

19、Fx,y,t= =0,t,x,y,t Out4= t-3,x-3,y-4,t-1,x-3,y-4In5:= Fx,y/.s1 Out5= 25In6:= Fx,y/.s2Out6= -75 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页练习 10.11 求下列函数的偏导数。(1) 221yxz(2) xyez(3) zxxzxyu(4) zxyu)(2 求下列函数的偏导数或导数。(1) 设xeyxyarctgz),(，求dxdz。(2) 设),ln( xyxz求yxz23，23xyz(3) 设,23,ln2vuyvuxyxz求uz，vz。(4) 设),(zyyxfu，求zu，yu，xu。(5) 设),(yxxyyxfz，求xyxxxzzz,。3 求下列方程所确定的隐函数的导数。(1) 043322yxyx，求dxdy。(2) 02zxyeze，求xz，yz。(3) ),(xyzzyxfz求xz，yx，yz。(4) axyxazyx222222,，求dxdy，dxdz。4 求函数61065),(22yxyxyxf的极值。5 求函数22yxz，在 4|),(22yxyx范围内的最大最小值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页