山东省实验中学2020届高三第二次诊断考试数学试题.pdf

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1、山东省实验中学 2020 届高三第二次诊断考试数学试题数学试题本试卷共 5 页，23 题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题纸上。2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号3非选择题的作答： 用 0.5mm 黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效第 I 卷(共 52 分)一、选择题(本题包括 13 小题，每小题 4 分，其 52 分，1-10 小题为单选题，每小题只有一个选项符合题意； 11

2、-13 小题为多选题， 每小题至少有两个选项符合题意。 全对得 4 分，漏选得 2 分，选错不得分)1命题： “x,0,3 4”的否定为xxAx00,30 40 xxBx00,30 40 xxCx0,0,30 40 xxDx0,0,30 40 xx2i 是虚数单位，若复数z A1B02，则 z 的虚部为i1CiD1o3在ABC中，若AB 13, BC 3,C 120 ，则AC=A1B2C3D44若a,b是任意实数，且a b，则Aa b22bB1aC1gab011D22ab15设集合A x x28x15 0 ,B x ax1 0，若AB B，则由实数a的值组成的集合子集个数为A.2B3C4D86

3、己知cosA71 2cos，且tan，则tan 的值为32B7C1D17古代数学著作九章算术有如下的问题： “今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”意思是： “一女子善于织布，每天织的布都是前一天的 2 倍，己知她 5 天共织布 5 尺，问这女子每天分别织布多少?”根据上述己知条件，若要使织布的总尺数不少于 30 尺，则至少需要A6 天B7 天C8 天D9 天8已知定义在 R 上的函数fx满足f2 x f2x，且当x 2时，有xfx fx 2f x,若f11，则不等式fxA(2，3)B,11的解集是x2C1,22,3D,13,9 已 知 函 数fx asin2x 3cos2x的 图

4、象 关 于 直 线x 12对 称 ， 若fx1 fx2 4，则a x1x2的最小值为CD222x1,x 010已知函数fx，若方程fx a有四个不同的解x1,x2,x3,x4，log2x ,x 0AB且x1 x2 x3 x4，则x1 x2x3A1,1241的取值范围是2x3x4D1,1B1,1C1,111关于平面向量a,b,c，下列说法中不正确的是。A若a / /b且b/ /c，则a / /cBabc acbcDabc abcC若ab ac，且a 0，则 b=c12 己知函数fx sinx 0,0 ，-为fx的一个零点，x 236为fx图象的一条对称轴，且fx在0，上有且仅有 7 个零点，下述

5、结论正确的是A.=6B. =5D.fx在0，上单调递增Cfx在0，上有且仅有 4 个极大值点4213 设定义在 R 上的函数fx满足fx fx x， 且当x 0时，f x x 己2知存在x0 x fx1212xx f1 x1 x， 且x0为函数gx e ex a22（aR,e为自然对数的底数)的一个零点，则实数a的取值可能是A12Be2Ce2De第 II 卷(非选择题，共 98 分)二、填空题(本题包括 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，第 17 题做对一空得 2 分)14已知向量a,b满足a 3,b 2 ab 4，则ab _15设命题p:2x1 ，命题q:x22a1xaa1 0，若p是

6、q的充分不必x13，5要条件，则实数a的取值范围是_16 在ABC中，B， C 的对边， 若2sin B sin AsinC,cos B a,b,c分别为内角A，3且SABC 6，则b _17现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为9 的圆锥和底面半径为3，高为8 的圆柱各一个若将它们重新制作成总体积与各自的高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为_；若新圆锥的内接正三棱柱表面积取到最大值，则此正三棱柱的底面边长为_三、解答题(本题包括 6 小题，共 82 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)18(10 分)己知函数fx 2 3sinx(1)求实数a的值；(2)若将

7、fx的图象向左平移cos xsin2xa的最大值为 144个单位，得到函数gx的图象，求函数gx在区间60,上的最大值和最小值219(14 分)在等差数列an中，a2 4,a4 a715(1)求数列an的通项公式；(2)设bn 2an25，求数列bn的前n项和20(14 分)“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说除了我 ” 麦田里的守望者中的主人公霍尔顿将白己4 的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田假设霍尔顿在一块平面四边形ABCD 的麦田里成为守望者。如图所示，为了分割麦田，他将BD 连接，设ABD中边 BD 所对的角为 A，BCD

8、中边 BD 所对的角为 C，经测量己知AB BC CD 2, AD 2 3(1)霍尔顿发现无论 BD 多长，3cos AcosC为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；(2)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记ABD与BCD的面积分别为S1和S2，为了更好地规划麦22田，请你帮助霍尔顿求出S1 S2的最大值21(14 分)已知函数fx 2ax24x ln xax24xaR且a 0(1)求曲线y fx在点1, f1处的切线方程：(2)若函数fx的极小值为22(15 分)设正项数列an的前n项和为Sn，已知4Sn an2annN21，试求a的值a(1)求证：数列an是等差数列

9、，并求其通项公式；(2)设数列bn的前n项和为Tn， 且bn成立，求实数的取值范围54n， 若Tn n12对任意nN都anan123(15 分)已知函数fx axsin x330,，且在上的最大值为aR222(1)求函数fx的解析式；(2)判断函数fx在0,内的零点个数，并加以证明6山东省实验中学 2020 届高三第二次诊断考试数学参考答案一、选择题(本题包括 13 小题，每小题 4 分，共 52 分，1-10 小题为单选题，每小题只有一个选项符合题意； 11-13 小题为多选题， 每小题至少有两个选项符合题意， 全对得 4 分，漏选得 2 分，选错不得分)1-10 CAADDBCABB11.

10、ACD12 CD13.BCD二、填空题(本题包括 4 小题，共 16 分，第 17 题做对一空得 2 分)14.1015.0,2116. 417.3，9 35三、解答题(本题包括 6 小题，共 82 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)18(10 分)解： （1）Q fx3sin2xsin2xa 3cos2xsin2xa2 2sin2xa3 分32a 1,a 15 分(2)Q将fx的图象向左平移个单位，得到函数gx的图象，6 2gx fx 2sin2x 2sin2x6633 225x0,2x,8 分2333当2x222时， sin2x3333,gx取最大值3 19 分27当2x223时，

11、sin2x332 1,gx取最小值3.10 分19.（14 分）解： （1）由题意得：a1d 4a 33 分1，a 3d a 6d 15d 111an3n11 n2.5 分（2）bn 2n225 2n21，7 分当n 10时，bn 0,n 11时，bn 09 分当n 10时，Sn b1b2 bn1917 2n21n2n40 n2220n，当n 11时，Snb1b2 b10b11b12 bn，12 分即Sn b1b2 bn2b1b2 b10 n2n40101912 n220n200，222n 20nn 10综上所述：Sn214 分n 20n200n 1120.（14 分）解： （1）在ABD中，

12、 由余弦定理得BD 4128 3cos A 168 3cos A，2 分在BCD中，由余弦定理得BD 448cosC，4 分22168 3cos A 88cos C，则83cos AcosC 8, 3cos AcosC 1；6 分8（2）Q S11122 3sin A 2 3sin A,S222sin C 2sin C，8 分22则S12S2212sin2A4sin2C 16 12cos2A4cos2C，9 分由（1）知：3cos A 1cosC，代入上式得：S12 S221612cos2A43cos A1 24cos2A8 3cos A12，10 分22322配方得：S1 S2 24cos

13、A14，12 分6当cos A 21.（14 分）解： （1）函数fx 2ax24x lnxax24xaR，且a 0.由题意可知f x 4ax1lnx,x0,.2分322时，S1 S2取到最大值 14.14 分6f 1 0, f1 a44 分曲线y fx在点1, f1处的切线方程为y a4.5 分（2）当a 1时，x变化时f x，fx变化情况如下表：此时f111 32ln a ，解得a 1，故不成立.7 分aeaaa当a 1时，f x 0在0， 上恒成立，所以fx在0， 单调递减.此时fx无极小值，故不成立.9 分当1 a 0时，x变化时f x, fx变化情况如下表：9此时极小值fx a4，由

14、题意可得a4 解得a 23或a 23.因为1 a 0，所以a 1，a3 2.11 分当a 0时，x变化时f x, fx变化情况如下表：此时极小值f1 a4，由题意可得a4 1，a解得a 23或a 23，故不成立.13 分综上所述a 23.14 分22.（15 分）2解： （1）证明：Q 4Sn an 2an，且an n，4a1 a12 2a1，解得a1 2.1 分当n 1时，2当n 2时，有4Sn1 an1 2an1，2 分22即4Sn4Sn1 anan1 2an2an1，22即4an anan1 2an2an14 分于是anan1 2an2an1,即anan1anan1 2anan1.221

15、0Q anan10,anan1 2n 2为常数，数列an是 2 为首项，2 为公差的等差数列，an 2n.6 分（2）由（1）可得bn111，7 分nn1nn111n1 11 1Tn1 1，9 分223nn1n1n1Tn n12，即nn n12对任意nN都成立n1nn11n2n110 分 nN，nminn当n为偶数时，n2n1恒成立，令fnnn2n1 n23，nnQ fn1 fnnn12 0, fn在nN上为增函数，nn1 fnmin f2 6；12 分当n为奇数时，n2n1n恒成立，又n2n1 n21nn，易知：fn n2在nN为增函数，nfnmin f1 2，14 分由可知： 2，综上所述

16、的取值范围为,2.15 分23.（15 分）解： （1）由已知得f x asinx xcosx，1 分11对于任意x0,，有sin x xcosx 0.2当a 0时，fx 当a 0,x0,3，不合题意.2 分2时，fx 0，从而f x 在 0，内单调递减.22又fx在0，上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 ， 故fx在0，上 的 最 大 值 为223f0 ，不合题意；4 分2当a 0,x0,从而fx在0，内单调递增， 又fx在0，时，fx 0，222，上的图象是连续不断的，故fx在0，上的最大值为f，即a2222332解得a 1.6 分综上所述，函数fx的解析式fx xsin x3.7 分

17、2（2）fx在0，内有且只有两个零点.8 分证明如下： 由 （1）知，fx xsin x333 0.，从而有f0 0，f2222又fx在0，上的图象是连续不断的，所以fx在0，内至少存在一个零点.22又由（1）知fx在0，上单调递增，故fx在0，内有且仅有一个零点 .10 分22当x,时，令gx f xsinx xcosx.2由g121 0,g 0，且g x 在，上的图象是连续不断的， 22故存在m,，使得gm0.11 分2,时，有gx 0，2由gx 2cos x xsin x,知x从而gx在，内单调递减.2当x,m时，gx gm 0，即f x 0，从而fx在，m内单调递增 ，223,m时 ，

18、fx f 0，故fx在，m上 无 零2222故 当x点；13 分当xm,时，有gx gm0，即f x 0，从而fx在m,内单调递减.又fm 0, f0，且fx在m,上的图象是连续不断的，从而fx在m,内有且仅有一个零点.综上所述，fx在0，内有且只有两个零点.15 分13绝密启用并使用完毕前山东省实验中学 2020 届高三第二次诊断考试数学参考答案一、选择题（本题包括 13 小题，每小题 4，共 52 分，1-10 小题为单选题单选题，每小题只有一个选项符合题意；11-1311-13 小题为多选题小题为多选题，每小题至少有两个选项符合题意，全对得 4分，漏选得 2 分，选错不得分）1-10 C

19、AADDBCABB11ACD12CD13BCD二、填空题（本题包括 4 小题，共 16 分，第 17 题做对一空得 2 分）1410150,29 31164173，5三、解答题（本题包括 6 小题，共 82 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18（10 分）解： （1） fx3sin2xsin 2xa 3cos2xsin 2x a2 2sin2x a-33分2a 1，a 1-5分（2）将fx的图象向左平移个单位，得到函数gx的图象，6 2gx f x 2sin2x 2sin2x6633 14225 x0,2x,-83332分当2x2223时，sin2x，gx取最大值3 1-9 3332

20、分当2x23时，sin2x2323 1，gx取最小值-3.分15-1019（14 分）解： （1） 由题意得:,-3分.-5 分（2）,-7 分当时,时,-9 分当时,当时,-12 分即,综上所述:.-14 分20（14 分）2BD 4128 3cos A 168 3cos A，2ABD解： （1）在中，由余弦定理得分在BCD中，由余弦定理得BD2 448cos C，4分16 8 3cos A 88cos C，16则8分3cos AcosC 8，6 3cos AcosC 1；（2）Q S1分1122 3sin A 2 3sin A，S222sin C 2sin C， 8229则S1 S212s

21、in A4sin C 16 12cos A4cos C，分由（1）知：3cos A 1cosC，代入上式得：222222S S21612cos A410 分21223cos A1 24cos2A8 3cos A12， 2312S12S22 24cos A14，配方得：6分2当cos A 36时，2S12 S2取到最大值14.14 分21（14 分）解： （1）函数 f（x）=（2ax2+4x）lnx-ax2-4x（aR，且 a0） 由题意可知f (x) 4(ax 1)ln x,x(0,)-2 分f (1) 0, f (1) -a-4-4 分曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为

22、y -a-4-5分（2）当 a-1 时，x 变化时f (x), f (x)变化情况如下表：x1 0， a1a11，a1（1，+）17f (x)f（x）此时f分-0极小值+0极大值-111 32ln(a) a 1，-7， 解得故不成立aaaae当 a=-1 时，f (x)0 在（0，+）上恒成立，所以 f（x）在（0，+）单调递减此时 f （x）无极小值， 故不成立-9分当-1a0 时，x 变化时f (x), f (x)变化情况如下表：x（0，1）11 1， a+01a1，a-f (x)f（x）-0极小值极大值此时极小值 f（1）=-a-4，由题意可得a4 解得a 23或a 23因为-1a0，

23、所以a 分1，a-113 2当 a0 时，x 变化时f (x), f (x)变化情况如下表：x（0，1）-10极小值（1，+）+f (x)f（x）此时极小值 f（1）=-a-4，由题意可得a4 1，a-13解得a 23或a 23， 故不成立分18综上所述a 23-14 分1922（15 分）解： （1）证明：当分当分即即-4分于是数列分（2）由（1）可得bn分-9 分，即，即为常数，-6，时， 有，-2时， 解得，且，-1是 为首项， 为公差的等差数列，111，-7nn1nn111n1 11 1Tn1L 1n1n1223nn1，nn n12对任意n1都成立nn11n2n1 nN N* *nmi

24、n-10 分当 为偶数时，20，n2n1n恒成立，令fnn2n1 n23nn，nn12Q fn1 fn 0，nn1在上为增函数，；-12 分当 为奇数时，n2n1n恒成立，又n2n1 n21nn，易知：fn n2在n为增函数，-14 分由可知：综上所，述的取值范围为-15 分23（15 分）解： (1)由已知得 f(x)a(sin xxcosx)，-1分对于任意 x(0， )，有 sin xxcosx0.23当 a0 时， f(x) ， 不合题意-22分当 a0，x(0， )时，f(x)0，x(0， )时，f(x)0，从而 f(x)在(0， )内单调递增，又 f(x)在0， 上的图象是2223

25、3连续不断的，故 f(x)在0， 上的最大值为 f( )，即 a ，解得 a1.22222-6 分213综上所述， 函数f(x)的解析式f(x)xsinx .-72分(2)f(x)在(0， )内有且只有两个零点-8分333证明如下：由(1)知，f(x)xsinx ，从而有 f(0) 0.2222又 f(x)在0， 上的图象是连续不断的，所以f(x)在(0， )内至少存在一个零点22又由(1)知 f(x)在0， 上单调递增， 故 f(x)在(0， )内有且仅有一个零点 -1022分当 x ，时，令 g(x)f(x)sin xxcosx.2由 g( )10，g()0，且 g(x)在 ，上的图象是连续不断的，22故存在 m( ， )， 使得 g(m)0. -112分由 g(x)2cos xxsinx，知 x( ，)时，有 g(x)g(m)0，即 f(x)0，从而 f(x)在( ，m)内单调递增，223故当 x ， m时， f(x)f( )0， 故 f(x)在 ， m上无零点；-132222分当 x(m，)时，有 g(x)g(m)0，即 f(x)0，f()0，且 f(x)在m，上的图象是连续不断的，从而 f(x)在(m，)内有且仅有一个零点综上所述， f(x)在(0， )内有且只有两个零点-15分22