2022年中考压轴题因动点产生的直角三角形问题 .pdf

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1、学习必备欢迎下载一解答题（共7 小题）1如图所示，矩形ABCD 中， AB=6 ，BC=4 ，点 F 在 DC 上， DF=2动点 M、 N 分别从点D、B 同时出发，沿射线 DA 、线段 BA 向点 A 的方向运动（点M 可运动到DA 的延长线上） ，当动点 N 运动到点A 时， M、N 两点同时停止运动连接FM、MN 、FN，过 FMN 三边的中点作 PQW设动点M、N 的速度都是1 个单位 /秒， M、N运动的时间为x 秒试解答下列问题：（1）说明 FMN QWP；（2）设 0 x 4试问 x 为何值时， PQW 为直角三角形？（3）试用含的代数式表示MN2，并求当x 为何值时， MN2

2、最小？求此时MN2的值2已知， ABC 是边长 3cm 的等边三角形动点P 以 1cm/s 的速度从点A 出发，沿线段AB 向点 B 运动（1）如图 1，设点 P 的运动时间为t（s） ，那么 t=_（s）时， PBC 是直角三角形；（2）如图 2，若另一动点Q 从点 B 出发，沿线段BC 向点 C 运动，如果动点P、Q 都以 1cm/s 的速度同时出发设运动时间为t（s） ，那么 t 为何值时， PBQ 是直角三角形？（3）如图 3，若另一动点Q 从点 C 出发，沿射线BC 方向运动连接PQ 交 AC 于 D如果动点P、Q 都以 1cm/s的速度同时出发设运动时间为t（s） ，那么 t 为何

3、值时， DCQ 是等腰三角形？（4）如图 4，若另一动点Q 从点 C 出发，沿射线BC 方向运动连接PQ 交 AC 于 D，连接 PC如果动点P、Q都以 1cm/s 的速度同时出发请你猜想：在点P、Q 的运动过程中，PCD 和QCD 的面积有什么关系？并说明理由3将一个直角三角形纸片OAB 放置在平面直角坐标系中（如图），若斜边所在的直线为y=2x+4 点 B是 OA 上的动点，折叠直角三角形纸片OAB ，使折叠后点B 与点 B重合，折痕与边OB 交于点 C，与边 AB 交于点 D（1）若 B与点 O 重合，直接写出点C、D 的坐标；（2）若 B与点 A 重合，求点C、D 的坐标；（3）若 B

4、D OB，求点 C、D 的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页学习必备欢迎下载4如图，在平面直角坐标系中，A（ 3，0） ，点 C 在 y 轴的正半轴上，BCx 轴，且 BC=5 ，AB 交 y 轴于点 D，（1）求出 C 的坐标（2）过 A，C， B 三点的抛物线与x 轴交于点E，连接 BE，若动点M 从点 A 出发沿 x 轴正方向运动，同时动点N从点 E 出发，在直线EB 上作匀速运动，运动速度为每秒1 个单位长度，当运动时间t 为多少时， MON 为直角三角形5 （2009?衡阳）如图， AB 是 O 的直

5、径，弦BC=2cm ， ABC=60 度（1）求 O 的直径；（2）若 D 是 AB 延长线上一点，连接CD，当 BD 长为多少时，CD 与 O 相切；（3）若动点E 以 2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以 1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为t（s） （0t2） ，连接 EF，当 t 为何值时， BEF 为直角三角形6如图，在平面直角坐标系xOy 中， O 交 x 轴于 A、B 两点，直线FAx 轴于点 A，点 D 在 FA 上，且 DO 平行于 O 的弦 MB，连 DM 并延长交x 轴于点 C（1）判断直线DC 与 O 的位置关系，并给

6、出证明；（2）设点 D 的坐标为（ 2， 4） ， 求 MC 的长； 若动点 P从点 A 出发向点D 匀速运动，速度是每秒1 个单位长；同时点Q 从点 D 出发向点C 匀速运动，速度是每秒2 个单位长；其中一个点到达终点时运动即结束连接PQ 交 OD 于点 H，当 PDH 为直角三角形时，求点P 的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页学习必备欢迎下载7 已知点 M， N 的坐标分别为 （0， 1） ， （0， 1） ， 点 P是抛物线y=上的一个动点（1）求证：以点P为圆心， PM 为半径的圆与直线y= 1的相切

7、；（2）设直线PM 与抛物线的另一个交点为点Q，连接 NP，NQ，求证： PNM= QNM ；（3）是否存在这样的点P，使得 PMN 为等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页学习必备欢迎下载答案与评分标准一解答题（共7 小题）1如图所示，矩形ABCD 中， AB=6 ，BC=4 ，点 F 在 DC 上， DF=2动点 M、 N 分别从点D、B 同时出发，沿射线 DA 、线段 BA 向点 A 的方向运动（点M 可运动到DA 的延长线上） ，当动点 N 运动到点

8、A 时， M、N 两点同时停止运动连接FM、MN 、FN，过 FMN 三边的中点作 PQW设动点M、N 的速度都是1 个单位 /秒， M、N运动的时间为x 秒试解答下列问题：（1）说明 FMN QWP；（2）设 0 x 4试问 x 为何值时， PQW 为直角三角形？（3）试用含的代数式表示MN2，并求当x 为何值时， MN2最小？求此时MN2的值考点 ：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；勾股定理的逆定理；三角形中位线定理。专题 ：计算题；证明题。分析： （1）由根据题意可知P、W、Q 分别是 FMN 三边的中点，可得PW 是FMN 的中位线，然后即可证明FMN QWP；（2）由（ 1）得

9、， FMN QWP，当 QWP 为直角三角形时， FMN 为直角三角形，根据DM=BN=x ，AN=6x， AM=4 x， 利用勾股定理求得FM2=4+x2， MN2= （4x）2+ （6x）2， FN2= （4x）2+16， 然后分 当 MN2=FM2+FN2时， 当 FN2=FM2+MN2时， FM2=MN2+FN2时三种情况讨论即可（3）根据 当 0 x 4，即 M 从 D 到 A 运动时， MN AN ，AN=6 x，故只有当x=4 时， MN 的值最小即可求得答案， 当 4x 6 时， MN2=AM2+AN2=（x4）2+（6x）2，解得 x 即可解答： 解： （1）由题意可知P、W

10、、Q 分别是 FMN 三边的中点，PW 是FMN 的中位线，即PWMN ，=， FMN QWP；（2）由（ 1）得， FMN QWP，当 QWP 为直角三角形时，FMN 为直角三角形，反之亦然由题意可得DM=BN=x ，AN=6 x， AM=4 x，由勾股定理分别得FM2=4+x2，MN2=（4x）2+（6x）2，FN2=（4x）2+16， 当 MN2=FM2+FN2时， （4x）2+（6x）2=4+x2+（4x）2+16，解得， 当 FN2=FM2+MN2时， （4x）2+16=4+x2+（4x）2+（6x）2此方程无实数根， FM2=MN2+FN2时， 4+x2=（4x）2+（6x）2+（

11、4x）2+16，解得 x1=10（不合题意，舍去） ，x2=4，综上，当或 x=4 时， PQW 为直角三角形（3） 当 0 x 4，即 M 从 D 到 A 运动时， MN AN ，AN=6 x，故只有当x=4 时， MN 的值最小， MN2的值也最小，此时MN=2 ，MN2=4， （10 分） 当 4x 6 时， MN2=AM2+AN2=（x4）2+（6x）2，=2（x 5）2+2，当 x=5 时， MN2取得最小值2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页学习必备欢迎下载当 x=5 时， MN2的值最小，此时MN2

12、=2点评： 此题涉及到相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，勾股定理的逆定理，三角形中位线定理等知识点的理解和掌握，难度较大，综合性较强，利于学生系统地掌握所学知识2已知， ABC 是边长 3cm 的等边三角形动点P 以 1cm/s 的速度从点A 出发，沿线段AB 向点 B 运动（1）如图 1，设点 P 的运动时间为t（s） ，那么 t=（s）时， PBC 是直角三角形；（2）如图 2，若另一动点Q 从点 B 出发，沿线段BC 向点 C 运动，如果动点P、Q 都以 1cm/s 的速度同时出发设运动时间为t（s） ，那么 t 为何值时， PBQ 是直角三角形？（3）如图 3，若另一动点Q 从点

13、 C 出发，沿射线BC 方向运动连接PQ 交 AC 于 D如果动点P、Q 都以 1cm/s的速度同时出发设运动时间为t（s） ，那么 t 为何值时， DCQ 是等腰三角形？（4）如图 4，若另一动点Q 从点 C 出发，沿射线BC 方向运动连接PQ 交 AC 于 D，连接 PC如果动点P、Q都以 1cm/s 的速度同时出发请你猜想：在点P、Q 的运动过程中，PCD 和QCD 的面积有什么关系？并说明理由考点 ：勾股定理的应用；三角形的面积；等腰三角形的判定。专题 ：动点型。分析： （1）当 PBC 是直角三角形时，B=60 ，所以 BP=1.5cm，即可算出t 的值；（2）因为 B=60 ，可选

14、取 BPQ=90 或 BQP=90 ，然后根据勾股定理计算出BP 长，即可算出t 的大小；（3）因为 DCQ=120 ，当 DCQ 是等腰三角形时，CD=CQ ，然后可证明 APD 是直角三角形，即可根据题意求出 t 的值；（4）面积相等可通过同底等高验证解答： 解： （1）当 PBC 是直角三角形时，B=60 ，BPC=90 ，所以 BP=1.5cm，所以 t=（2 分）（2）当 BPQ=90 时， BP=0.5BQ，3t=0.5t ，所以 t=2；当 BQP=90 时， BP=2BQ ，3t=2t，所以 t=1；所以 t=1 或 2（s） （4 分）（3）因为 DCQ=120 ，当 DCQ

15、 是等腰三角形时，CD=CQ ，所以 PDA= CDQ=CQD=30 ，又因为 A=60 ，所以 AD=2AP ， 2t+t=3，解得 t=1（s） ； （2 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页学习必备欢迎下载（4）相等，如图所示：作 PE 垂直 AD ，QF 垂直 AD 延长线，因为AP=CQ ，F=AEP， QCF=APE，所以 EAP FCQ，所以 PE=QF，所以， PCD 和QCD 同底等高，所以面积相等点评： 本题主要考查对于勾股定理的应用和等腰三角形的判定，还要注意三角形面积的求法3将一个直角三角

16、形纸片OAB 放置在平面直角坐标系中（如图），若斜边所在的直线为y=2x+4 点 B是 OA 上的动点，折叠直角三角形纸片OAB ，使折叠后点B 与点 B重合，折痕与边OB 交于点 C，与边 AB 交于点 D（1）若 B与点 O 重合，直接写出点C、D 的坐标；（2）若 B与点 A 重合，求点C、D 的坐标；（3）若 BD OB，求点 C、D 的坐标考点 ：一次函数综合题。分析： （1）B与点 O 重合，则CD 是AOB 的中位线，根据中点定义进行解答写出；（2）B与点 A 重合，则CD 是 AB 的垂直平分线，点D 坐标可以根据（1）求解，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可

17、得BC=AC ，然后设点C 坐标为（ 0，m） ，分别用m 表示出 OC、AC 的长度，再利用勾股定理列式求解即可求出m 的值，从而点C 的坐标便可求出；（3）若 BD OB，根据两直线平行，内错角相等以及折叠前后两个图形能够完全重合的性质可以得到OCB=CBD ，再根据同位角相等两直线平行得到CBBA，从而证明 COB BOA ，根据相似三角形对应边成比例，设OB=x0，然后表示出OC，在 Rt BOC 中，利用勾股定理列式计算即可求出x0的值，再求出OC 得到点 C 的坐标，利用直线AB 的解析式求出点D 的坐标解答： 解： （1）C（0，2） ，D（1，2） ；（2）由 y=2x+4 求

18、得 B（0，4） ，A（0，2） 如图 ，折叠后点B 与点 A 重合，则ACD BCD ，BD=DA 由（ 1）得 D 的坐标为（ 1，2）设点 C 的坐标为（ 0，m） （m0） 则 BC=OB OC=4m于是 AC=BC=4 m在 RtAOC 中，由勾股定理，得AC2=OC2+OA2，即（ 4m）2=m2+22，解得点 C 的坐标为， D 的坐标为（ 1，2） （3）如图 ，折叠后点B 落在 OA 边上的点为B，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页学习必备欢迎下载且 BD OB则BCD BCD， OCB=CBD

19、又 CBD= CBD ， OCB=CBD，有 CBBARtCOBRtBOA 有，得 OC=2OB 在 RtBOC 中，设 OB=x0（x0） ，则 OC=2x0则 BC=BC=OB OC=42x0，在 RtBOC 中，由勾股定理，得BC2=OC2+OB2（ 42x0）2=（2x0）2+x02，得 x20+16x016=0，解得x00，点 C 的坐标为BD OB 则可得点 D 的横坐标为设点 D 的纵坐标为n点 D 在直线 y=2x+4 上，点 D 的坐标为点评： 本题综合考查了一次函数的知识，翻折对称的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与相似三角形对应边成比例的性质，综合性较强，并且运算量

20、较大，希望通过学们在解答是要仔细分析，小心计算，以避免出错4如图，在平面直角坐标系中，A（ 3，0） ，点 C 在 y 轴的正半轴上，BCx 轴，且 BC=5 ，AB 交 y 轴于点 D，（1）求出 C 的坐标（2）过 A，C， B 三点的抛物线与x 轴交于点E，连接 BE，若动点M 从点 A 出发沿 x 轴正方向运动，同时动点N从点 E 出发，在直线EB 上作匀速运动，运动速度为每秒1 个单位长度，当运动时间t 为多少时， MON 为直角三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页学习必备欢迎下载考点 ：二次函数综合

21、题。专题 ：数形结合；分类讨论。分析： （1）根据题意首先判断出 BCD AOD ，根据相似比求出CD 的长，进而确定C 点的坐标（2）首先作BF x 轴于点 F，则 BF=4根据抛物线的对称性及A、C、O 点的坐标和勾股定理得到BE、OE、AE的值再分两类情况进行讨论： 点 N 在射线 EB 上：若 NMO=90 ，若 NOM=90 ， ONM=90 ； 点 N 在射线 EB 的方向延长线上：若NMO=90 ，若 NOM=90 ， ONM=90 最终得到结论解答： 解： （1） BCx 轴， BCD AOD ，CD=，CO=，C 点的坐标为（ 0，4） （2）如图 1，作 BF x 轴于点

22、F，则 BF=4，由抛物线的对称性知EF=3，BE=5，OE=8，AE=11 ，根据点 N 运动方向，分以下两种情况讨论： 点 N 在射线 EB 上，若 NMO=90 ，如图 1，则 cosBEF=，解得 t=若 NOM=90 ，如图 2，则点 N 和 G 重合，cosBEF=，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页学习必备欢迎下载，解得 t=，ONM=90 的情况不存在 点 N 在射线 EB 的方向延长线上，若 NMO=90 ，如图 3，则 cosNEM=cos BEF，解得 t=，而 NOM=90 和 ONM=90

23、 的情况不存在综上，当t=、t=或 t=时， MON 为直角三角形点评： 此题考查了抛物线解析式的图象性质、勾股定理等重要知识点，其中（2）小题中用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏5 （2009?衡阳）如图， AB 是 O 的直径，弦BC=2cm ， ABC=60 度（1）求 O 的直径；（2）若 D 是 AB 延长线上一点，连接CD，当 BD 长为多少时，CD 与 O 相切；（3）若动点E 以 2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以 1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为t（s） （0t2） ，连接 EF，当 t 为

24、何值时， BEF 为直角三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页学习必备欢迎下载考点 ：切线的性质；含30 度角的直角三角形；圆周角定理；相似三角形的判定与性质。专题 ：代数几何综合题。分析： （1）根据已知条件知：BAC=30 ，已知 AB 的长，根据直角三角形中，30 锐角所对的直角边等于斜边的一半可得 AB 的长，即 O 的直径；（2）根据切线的性质知：OCCD，根据 OC 的长和 COD 的度数可将OD 的长求出，进而可将BD 的长求出；（3）应分两种情况进行讨论，当EFBC 时， BEF 为直角三角形，根

25、据BEF BAC ，可将时间t 求出；当 EFBA 时， BEF 为直角三角形，根据 BEF BCA ，可将时间t 求出解答： 解： （1） AB 是 O 的直径， ACB=90 ； ABC=60 ， BAC=180 ACB ABC=30 ；AB=2BC=4cm ，即 O 的直径为4cm（2）如图（ 1）CD 切 O 于点 C，连接 OC，则 OC=OB= AB=2cm CDCO； OCD=90 ； BAC=30 ， COD=2BAC=60 ； D=180 COD OCD=30 ；OD=2OC=4cm ；BD=OD OB=4 2=2（cm） ；当 BD 长为 2cm， CD 与 O 相切（3）

26、根据题意得：BE= （42t）cm，BF=tcm ；如图（ 2）当 EFBC 时， BEF 为直角三角形，此时 BEF BAC ；BE：BA=BF ：BC；即： （42t） ： 4=t：2；解得： t=1；如图（ 3）当 EFBA 时， BEF 为直角三角形，此时BEF BCA ；BE：BC=BF ：BA；即： （42t） ： 2=t：4；解得： t=1.6；当 t=1s 或 t=1.6s 时， BEF 为直角三角形点评： 本题考查圆周角定理、切线的性质、相似三角形的性质、直角三角形的性质等知识的综合应用能力在求时间 t 时应分情况进行讨论，防止漏解6如图，在平面直角坐标系xOy 中， O 交

27、 x 轴于 A、B 两点，直线FAx 轴于点 A，点 D 在 FA 上，且 DO 平行于 O 的弦 MB，连 DM 并延长交x 轴于点 C（1）判断直线DC 与 O 的位置关系，并给出证明；（2）设点 D 的坐标为（ 2， 4） ， 求 MC 的长； 若动点 P从点 A 出发向点D 匀速运动，速度是每秒1 个单位长；同时点Q 从点 D 出发向点C 匀速运动，速度是每秒2 个单位长；其中一个点到达终点时运动即结束连接PQ 交 OD 于点 H，当 PDH 为直角三角形时，求点P 的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13

28、页学习必备欢迎下载考点 ：切线的判定；全等三角形的判定与性质；切割线定理；相似三角形的判定与性质。专题 ：动点型；探究型。分析： （1）连 OM，根据全等三角形的判定方法得到DAO DMO ，根据全等三角形的性质可得到OMDC，根据切线的判定定理就可以判定DC 切 O 于 M；（2） 根据已知条件容易证明OMC DAC ，根据相似比即可求得MC 的长； 分两种情况：当PHD=90 时；当 DPH=90 时；解答： 证明： （1）连 OM ，DOMB ， 1=2， 3=4OB=OM ， 1=3 2=4在DAO 与 DMO 中， DAO DMO OMD= OAD FAx 轴于点 A， OAD=90

29、 OMD=90 即 OM DCDC 切 O 于 M （4 分）解： （2） D（ 2，4） ，OA=2 （即 O 的半径），AD=4 由（ 1）知 DM=AD=4 ， OMC DAC ，=AC=2MC 在 RtACD 中， CD=MC+4 ，（ 2MC）2+42=（MC+4 ）2MC=或 MC=0 （不合，舍去） ，MC 的长为 （ 8 分）（3）由（ 2）知 CD=当 PHD=90 时，由切线长性质定理知PO 平分 PDQ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页学习必备欢迎下载PD=QD4t=2t，（符合题意）P（

30、 2，） （10 分）当 DPH=90 时， PQAC ， DPQ DAC 即，（符合题意） P（ 2，） （12 分）点评： 此题把全等三角形，相似三角形， 平行线等知识和圆结合起来，综合性比较强，要求学生有较高的分析问题、解决问题的能力7 已知点 M， N 的坐标分别为 （0， 1） ， （0， 1） ， 点 P是抛物线y=上的一个动点（1）求证：以点P为圆心， PM 为半径的圆与直线y= 1的相切；（2）设直线PM 与抛物线的另一个交点为点Q，连接 NP，NQ，求证： PNM= QNM ；（3）是否存在这样的点P，使得 PMN 为等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明

31、理由考点 ：二次函数综合题。专题 ：代数几何综合题。分析： （1）设出点 P 的坐标，分别表示出PM、P 到直线 y=1 的距离，然后判断它们是否相等即可；（2）分别过P、Q 作直线 y=1 的垂线，设垂足为H、R，那么 PHMN QR，根据平行线分线段成比例定理，可得： PM：HN=QM ：RN，而 PM=PH ，QM=QR ，等量代换后即可证得PNH QNR，由此可得 QNR= PNH，进而可证得所求的结论；（3）显然 PNM、 NPM 都不可能是直角，当PMN=90 时，若 PMN 是等腰直角三角形，那么PM=MN=2 ，由此可求出点P 的坐标（另一种解法：若PNM 是等腰 Rt ，那么

32、 PNM= PNH=45 ，由此可得PH=NH ，可列方程求出点P 的坐标）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页学习必备欢迎下载解答： 解： （1）设点 P 的坐标为（ x0，x02） ，则PM=； （2 分）又因为点 P 到直线 y=1 的距离为，所以，以点P 为圆心， PM 为半径的圆与直线y=1 相切； （ 2 分）（2）如图，分别过点P，Q 作直线 y=1 的垂线，垂足分别为H，R；由（ 1）知， PH=PM，同理可得， QM=QR （2 分）因为 PH， MN， QR 都垂直于直线y=1，所以 PH MN QR， （1 分）于是，所以，因此， RtPHN RtQRN， （2 分）于是 HNP=RNQ，从而 PNM= QNM ； （ 1分）（3）显然， MNP 90 ， NPM 90 ，所以，只能 PMN=90 ， （2 分）要使 PMN 为等腰直角三角形，则有：PMMN 且 PM=MN ， （ 1 分）所以， P（2，1） （1 分）点评： 此题是二次函数的综合题，考查了切线的判定、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定等知识，难度适中精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页