2022年中考复习多种函数交叉综合问题 .pdf

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1、学习必备欢迎下载中考数学专题5 多种函数交叉综合问题一、选择题1. （2011 四川凉山， 12，4 分）二次函数2yaxbxc的图象如图所示，反比列函数ayx与正比列函数ybx在同一坐标系内的大致图象是（）考点：二次函数的图象；正比例函数的图象；反比例函数的图象专题：数形结合分析：由已知二次函数yax2bxc的图象开口方向可以知道a 的取值范围， 对称轴可以确定 b 的取值范围，然后就可以确定反比例函数xay与正比例函数ybx 在同一坐标系内的大致图象解答： 解：二次函数yax2bxc 的图象开口方向向下，a0，对称轴在y 轴的左边， xab20， b0，反比例函数xay的图象在第二四象限，

2、正比例函数ybx 的图象在第二四象限故选 B点评： 此题主要考查了从图象上把握有用的条件，准确选择数量关系解得a 的值，简单的图象最少能反映出2 个条件：开口向下a0；对称轴的位置即可确定b 的值2、 （ 2011? 宜昌， 15，3 分）如图，直线y=x+2 与双曲线y=3mx在第二象限有两个交点，那么m 的取值范围在数轴上表示为（）考点 ：反比例函数与一次函数的交点问题；在数轴上表示不等式的解集。A、B、第 12 题O x y O y x A O y x B O y x D O y x C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页

3、，共 20 页学习必备欢迎下载C、D、分析： 因为直线 y=x+2 与双曲线y=3mx在第二象限有两个交点，联立两方程求出m 的取值范围即可，然后在数轴上表示出m 的取值范围解答： 解：根据题意知，直线y=x+2 与双曲线y=3mx在第二象限有两个交点，即 x+2=3mx有两根，即 x2+2x+3m=0 有两解，=44 （3m） 0，解得 m2，双曲线在二、四象限，m30，m3，m 的取值范围为：2m3故在数轴上表示为故选 B点评：本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题和在数轴上表示不等式的解集的知识点，解答本题的关键是联立两方程解得m 的取值范围3、（2011 贵州毕节， 9，3 分）一

4、次函数)0(kkkxy和反比例函数)0(kxky在同一直角坐标系中的图象大致是( ) 考点：反比例函数的图象；一次函数的图象。专题：探究型。分析：分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对各选项进行逐一分析即可解答：解： A、由反比例函数的图象在一、三象限可知k0，由一次函数的图象过二、四象限可知k0，两结论相矛盾，故本选项错误；B、由反比例函数的图象在二、四象限可知k0，由一次函数的图象与y 轴交点在y 轴的正半轴可知k0，两结论相矛盾，故本选项错误；C、由反比例函数的图象在二、四象限可知k0，由一次函数的图象过二、三、四象限可知k0，两结论一致，故本选项正确；D、由反比例函数的图象在一、三象

5、限可知k0，由一次函数的图象与y 轴交点在y 轴的负半轴可知k0，两结论相矛盾，故本选项错误故选C点评：本题考查的是一次函数与反比例函数图象的特点，熟知一次函数与反比例函数的性质是解答此题的关键精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 20 页学习必备欢迎下载4、 （ 2011? 贵阳 10，分）如图，反比例函数y1=xk1和正比例函数y2=k2x 的图象交于A（ 1，3） 、 B（1，3）两点，若xk1k2x，则 x 的取值范围是（）A、 1x0 B、 1x 1 C、x 1 或 0 x1 D、 1x0 或 x1 考点 ：反比例函

6、数与一次函数的交点问题。专题 ：数形结合。分析： 根据题意知反比例函数和正比例函数相交于A、B 两点，若要xk1k2x ，只须 y1 y2，在图象上找到反比例函数图象在正比例函数图象上方x 的取值范围解答： 解：根据题意知：若xk1k2x ，则只须 y1y2，又知反比例函数和正比例函数相交于A、B 两点，从图象上可以看出当x 1 或 0 x 1时 y1y2，故选 C点评： 本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数y=xk中 k 的几何意义这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k 的几何意义5、（20XX 年山东省东营市，10，3 分）如图，直线l 和双曲线(

7、0)kykx交于 A、 B 两点，P是线段 AB 上的点（不与A、B 重合）， 过点 A、B、P 分别向 x 轴作垂线， 垂足分别为C、D、E，连接 OA、 OB、0P，设 AOC 的面积为S1、 BOD 的面积为 S2、 POE 的面积为S3，则（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 20 页学习必备欢迎下载A、S1 S2 S3 B、S1S2S3C、S1=S2 S3 D、S1=S2 S3考点： 反比例函数系数k 的几何意义 ；反比例函数与一次函数的交点问题专题： 几何图形问题 分析：根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、

8、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 S 的关系即S= 12|k|解答：解：结合题意可得：AB 都在双曲线y= kx上，则有 S1=S2；而 AB 之间，直线在双曲线上方；故 S1=S2 S3故选 D点评：本题主要考查了反比例函数y=kx中 k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、 y 轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k 的几何意义6、 （ 2011 陕西， 8，3 分）如图，过y 轴正半轴上的任意一点P，作 x 轴的平行线，分别与反比例函数xyxy24和的图象交于点A 和点 B，若点 C 是 x 轴上任意一点

9、，连接AC、BC，则 ABC 的面积为（）A3 B4 C5 D6 考点 ：反比例函数综合题。专题 ：计算题。分析： 先设 P（0，b） ，由直线APBx 轴，则 A，B 两点的纵坐标都为b，而 A，B 分别在反比例函数xyxy24和的图象上，可得到A 点坐标为（，b） ，B 点坐标为（，b） ，从而求出AB 的长，然后根据三角形的面积公式计算即可解答： 解：设 P（0，b） ，直线APB x 轴， A，B 两点的纵坐标都为b，而点A 在反比例函数 y=的图象上，当y=b，x= ，即 A 点坐标为（，b） ，又点 B 在反比例函数y= 的图象上，当y=b ，x=，即B 点坐标为（， b） ， A

10、B=（） =，SABC= ?AB?OP=?b=3故选 A点评： 本题考查了点在函数图象上，点的横纵坐标满足函数图象的解析式也考查了与坐标轴平行的直线上的点的坐标特点以及三角形的面积公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 20 页学习必备欢迎下载7、 （ 2011 四川眉山， 12，3 分）如图，直线y=x+b（b0）与双曲线y=xk（x0）交于 A、B 两点，连接OA、OB，AM y 轴于 M，BNx 轴于 N；有以下结论：OA=OB ， AOM BON，若 AOB=45 ，则 SAOB=k，当 AB=2时， ONBN=1；

11、其中结论正确的个数为（）A1 B2 C 3 D4 考点 ：反比例函数综合题。专题 ：计算题。分析： 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，联立 y=x+b 与 y=xk，得 x2bx+k=0，则 x1?x2=k，又 x1?y1=k，比较可知x2=y1，同理可得x1=y2，即 ON=OM，AM=BN，可证结论；作 OHAB， 垂足为 H， 根据对称性可证OAM OAH OBH OBN， 可证 SAOB=k；延长 MA，NB 交于 G 点，可证 ABG 为等腰直角三角形，当AB=2时， GA=GB=1 ，则 ONBN=GNBN=GB=1；解答： 解：设 A（x1， y1） ，B（x2，y2）

12、 ，代入 y=xk中，得 x1? y1=x2?y2=k，联立xkybxy，得 x2bx+k=0 ，则 x1?x2=k，又 x1?y1=k， x2=y1，同理可得x1=y2， ON=OM，AM=BN， OA=OB， AOM BON，正确；作 OHAB，垂足为H，OA=OB， AOB=45 ， OAM OAH OBH OBN，SAOB=SAOH+SBOH=SAOM+SBON=21k+21k=k，正确；延长 MA，NB 交于 G 点， NG=OM=ON=MG，BN=AM ，GB=GA， ABG 为等腰直角三角形，当AB=2时， GA=GB=1，ONBN=GNBN=GB=1，正确精选学习资料 - -

13、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 20 页学习必备欢迎下载正确的结论有4 个故选 D点评： 本题考查了反比例函数的综合运用关键是明确反比例函数图象上点的坐标特点，反比例函数图象的对称性. 8、 （ 2011，四川乐山，,10,3 分）如图，直线y=6 x 交 x 轴、 y 轴于 A、B 两点， P 是反比例函数4(0)yxx图象上位于直线下方的一点，过点 P 作 x 轴的垂线， 垂足为点 M， 交 AB 于点 E，过点 P 作 y 轴的垂线，垂足为点N，交 AB 于点 F则 AF?BE=（）A.8 B.6 C.4 D.6 2考点 ： 反比例函数

14、综合题。专题 ： 代数综合题；数形结合。分析： 首先作辅助线：过点E 作 ECOB 于 C，过点 F 作 FDOA 于 D，然后由直线y=6x 交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，求得点 A 与 B 的坐标， 则可得 OA=OB ， 即可得 AOB ，BCE，ADF 是等腰直角三角形， 则可得 AF?BE=2CE?2DF=2CE?DF， 又由四边形CEPN 与 MDFP是矩形，可得CE=PN，DF=PM ，根据反比例函数的性质即可求得答案解答： 解：过点 E 作 ECOB 于 C，过点 F 作 FDOA 于 D，直线 y=6x 交 x 轴、 y 轴于 A、 B 两点， A（6，0） ，B（0，

15、6） ， OA=OB ， ABO= BAO=45 ， BC=CE，AD=DF ， PMOA ，PNOB，四边形CEPN 与 MDFP 是矩形， CE=PN，DF=PM ，P 是反比例函数4(0)yxx图象上的一点，PN?PM=4， CE?DF=4，在 RtBCE 中， BE=2sin45CECE，在 RtADE 中， AF=2sin45DFDF，AF?BE=2CE?2DF=2CE?DF=8 故选 A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 20 页学习必备欢迎下载点评： 此题考查了反比例函数的性质，以及矩形、等腰直角三角形的性质解

16、题的关键是注意数形结合与转化思想的应用二、填空题1. （2011江苏南京， 15，2 分）设函数y=2x与 y=x1 的图象的交点坐标为（a，B） ，则11ab的值为12考点 ：反比例函数与一次函数的交点问题。专题 ：计算题。分析： 把交点坐标代入2 个函数后，得到2 个方程，求得a，B 的解，整理求得的值即可解答： 解：函数y=2x与 y=x 1 的图象的交点坐标为（a， B） ，B=2a，B=a1，2a=a1， a2a2=0， （a2） （a+1）=0，解得 a=2 或 a=1， B=1 或 B=2，则11ab的值为12故答案为：12点评： 考查函数的交点问题；得到2 个方程判断出a， B

17、 的值是解决本题的关键2. （2011 江苏苏州， 18，3 分）如图，已知点A 的坐标为（3，3） ，AB 丄 x 轴，垂足为B，连接 OA ，反比例函数kyx（k0）的图象与线段OA 、AB 分别交于点C、D若 AB=3BD ，以点 C 为圆心，CA 的54倍的长为半径作圆，则该圆与x 轴的位置关系是_ （填 ” 相离 ” ，“ 相切 ” 或“ 相交 “ ） 考点：直线与圆的位置关系；反比例函数图象上点的坐标特征精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 20 页学习必备欢迎下载分析：根据 D 点的坐标为（3，1） ，得出反比例

18、函数kyx解析式，再根据A 点坐标得出AO直线解析式，进而得出两图象的交点坐标，进而得出AC 的长度，再利用直线与圆的位置关系得出答案解答：解：已知点A 的坐标为（3，3） ，AB=3BD ， AB=3 ，BD=1 ，D 点的坐标为（3， 1） ，反比例函数kyx解析式为： y= 3x，AO 直线解析式为：y=kx ，3= 3k， k= 3， y= 3x，直线 y= 3x 与反比例函数y=3x的交点坐标为：x= 1， C 点的横坐标为1，纵坐标为：3，CO=2， AC=23-2， CA 的54倍= 5(31)2，CE= ，5(31)2- 3= 353220，该圆与x 轴的位置关系是相交故答案为

19、：相交点评：此题主要考查了直线与圆的位置关系以及反比例函数的性质以及直线与反比例函数交点坐标的求法，综合性较强得出AC 的长是解决问题的关键3. （2011 湖北荆州， 16， 3 分）如图，双曲线 y=2x （x0）经过四边形OABC 的顶点 A、C，ABC=90 ， OC平分 OA与 x 轴正半轴的夹角，AB x 轴将 ABC沿 AC翻折后得AB C，B点落在 OA上，则四边形OABC 的面积是2考点 ：反比例函数综合题；翻折变换（折叠问题）专题 ：计算题 分析 ：延长 BC ，交 x 轴于点 D，设点 C（x，y）， AB=a，由角平分线的性质得，CD=CB ，则OCD OCB ，再由翻

20、折的性质得，BC=B C，根据反比例函数的性质，可得出SOCD= 12xy，则SOCB = 12xy ，由 AB x 轴，得点A（x-a ，2y），由题意得2y（x-a ）=2，从而得出三角形ABC的面积等于 12ay ，即可得出答案精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 20 页学习必备欢迎下载解答 ：解：延长BC ，交 x 轴于点 D，设点 C（x，y）， AB=a ，OC平分 OA与 x 轴正半轴的夹角， CD=CB ，OCD OCB ，再由翻折的性质得， BC=B C，双曲线 y=2x （x0）经过四边形OABC 的顶点

21、 A、C，S OCD= 12xy=1 ， SOCB = 12xy=1 ， AB x 轴，点A（x-a ， 2y）， 2y（x-a ）=2，ay=1， SABC= 12ay= 12 ， SOABC=SOCB +SABC+SABC=1+ 12+ 12=2 故答案为： 2点评 ：本题是一道反比例函数的综合题，考查了翻折的性质、反比例函数的性质以及角平分线的性质，是中考压轴题，难度偏大4.（2011 广西崇左， 8，2 分）若一次函数的图象经过反比例函数xy4图象上的两点（1，m）和（ n，2） ，则这个一次函数的解析式是考点： 待定系数法求一次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征分析： 一次函数

22、的图象经过反比例函数xy4图象上的两点（1，m）和（ n，2） ，先代入求出 m，n 的值，再用待定系数法可求出函数关系式解答： 解： （1，m）和（ n，2）在函数xy4图象上，因而满足函数解析式，代入就得到m=4，n=2，因而点的坐标是（1，4）和（ 2，2） ，设直线的解析式是y=kx+b，根据题意得到224bkbk，解得31432bk因而一次函数的解析式是31432xy点评： 本题主要考查了函数解析式与图象的关系，函数的图象上的点满足函数解析式，反之，满足解析式的点一定在函数的图象上5.（2011 湖北黄石， 15,3 分）若一次函数y=kx+1 的图象与反比例函数xy1的图象没有公共

23、点，则实数 k 的取值范围是041k考点 ：反比例函数与一次函数的交点问题。专题 ：计算题；数形结合。分析： 因为反比例函数xy1的图象在第一、三象限，故一次函数y=kx+b 中， k0，解方程组xybkxy1求出当直线与双曲线只有一个交点时，k 的值，再确定无公共点时k 的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 20 页学习必备欢迎下载解答： 解：由反比例函数的性质可知，xy1的图象在第一、三象限，当一次函数y=kx+1 与反比例函数图象无交点时，k0，解方程组xybkxy1，得 kx2+x1=0，当两函数图象只有一个

24、交点时， =0，即 1+4k=0，解得41k，两函数图象无公共点时，041k故答案为：041k点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题关键是根据形数结合，判断无交点时，图象的位置与系数的关系，找出只有一个交点时k 的值，再确定k 的取值范围6.（2011 成都， 25，4 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知反比例函数xky2(0k)满足：当 x0 时， y随 x 的增大而减小若该反比例函数的图象与直线kxy3都经过点P，且7OP，则实数37k考点 ：反比例函数与一次函数的交点问题。专题 ：计算题。分析： 由反比例函数yxk2当 x0 时， y随 x 的增大而减小，可判断k0，设 P（

25、x，y） ，则 P点坐标满足反比例函数与一次函数解析式，即xy 2k，xy3k，又 OP2x2y2，将已知条件代入，列方程求解解答： 解：反比例函数yxk2当 x0 时， y 随 x 的增大而减小，k0，设 P（x，y） ，则 xy2k，xy3k，又 OP2 x2 y2， x2y27，即（ x y）22xy7，（3k）2 4k7，解得 k37或 1，而 k0， k37故答案为：37点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题关键是根据交点坐标满足反比例函数一次函数解析式，列方程组求解7.（2011?包头， 18，3 分）如图，已知A（ 1，m）与 B（2，m+33）是反比例函数y= 的图象上

26、的两个点，点C 是直线 AB 与 x 轴的交点，则点C 的坐标是（1，0）A B C O x y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 20 页学习必备欢迎下载考点 ：反比例函数与一次函数的交点问题。专题 ：计算题。分析： 根据反比例函数的性质，横纵坐标的乘积为定值，可得出关于k、m 的两个方程，即可得出反比例函数的解析式，从而得出点C 的坐标解答： 解： A（ 1，m）与 B（2，m+33）是反比例函数y= 的图象上的两个点，kmkm)33(2，解得 k=23，m=23， A（ 1， 23）与 B（2，3）设直线 AB 的

27、解析式为y=ax+b ，3232baba，33ba，直线 AB 的解析式为y=3x3，令 y=0，解得 x=1，点 C 的坐标是（ 1，0） 故答案为（ 1，0） 点评： 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，能够熟练运用待定系数法求得函数的解析式；求一次函数和x 轴的交点坐标8. （2011 浙江宁波， 18， 3）正方形的A1B1P1P2顶点 P1、 P2在反比例函数yx2（x0）的图象上，顶点A1、B1分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点 P3在反比例函数yx2（x0）的图象上， 顶点 A2在 x 轴的正半轴上， 则点 P3的坐标为（3+1，3

28、1） 考点：反比例函数综合题。专题：综合题。分析：作 P1y 轴于 C，P2x 轴于 D，P3x 轴于 E，P3P2D 于 F，设 P1（a，a2） ，则 CP1a，OCa2，易得RtP1B1CRtB1A1ORtA1P2D，则 OB1P1CA1Da，所以OA1B1CP2Da2a，则 P2的坐标为（a2，a2a） ，然后把P2的坐标代入反比例函数yx2，得到 a 的方程，解方程求出a， 得到 P2的坐标；设 P3的坐标为（ b，b2） ， 易得 RtP2P3FRtA2P3E，则 P3EP3FDEb2，通过 OEOD+DE 2+b2b，这样得到关于b 的方程，解方程求出b，得到 P3的坐标解答：解

29、：作P1y 轴于 C，P2 x 轴于 D，P3x 轴于 E，P3 P2D 于 F，如图，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 20 页学习必备欢迎下载设P1（ a ，a2）， 则CP1 a ， OC a2， 四 边 形A1B1P1P2为 正 方 形 ，RtP1B1CRtB1A1ORt A1P2D， OB1P1CA1Da，OA1 B1CP2Da2a， ODa+a2aa2， P2的坐标为（a2，a2a） ，把 P2的坐标代入yx2（x0） ，得到（a2a） ?a22，解得 a 1（舍）或a1，P2（ 2，1） ，设 P3的坐标为

30、（ b，b2） ，又四边形P2P3A2B2为正方形，RtP2P3FRtA2P3E， P3EP3FDEb2， OEOD+DE 2+b2， 2+b2b，解得 b13（舍） ，b1+3，b23123 1，点 P3的坐标为（3+1，31） 故答案为： （3+1，31） 点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点为横纵坐标之积为定值；也考查了正方形的性质和三角形全等的判定与性质以及解分式方程的方法9. （2011 浙江衢州， 15， 4 分）在直角坐标系中，有如图所示的RtABO，ABx 轴于点 B，斜边 AO=10，sinAOB=35，反比例函数(0)kykx的图象经过AO 的中点 C，且与 AB

31、交于点 D，则点 D 的坐标为（8，32）考点： 反比例函数综合题。专题： 综合题。分析： 由斜边AO=10，sinAOB=35，根据三角函数的定义可得到AB=6，再由勾股定理得到OB=8，即得到A 点坐标为（ 8， 6） ，从而得到AO 的中点 C 的坐标，代入反比例函数解析式确定 k，然后令x=8，即可得到D 点的纵坐标解答： 解：斜边AO=10，sinAOB=35， sin AOB=3105ABABOA， AB=6，OB=22106=8， A 点坐标为（ 8，6） ，而 C 点为 OA 的中点， C 点坐标为（ 4，3） ，又反比例函数(0)kykx的图象经过点C，精选学习资料 - -

32、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 20 页学习必备欢迎下载k=43=12，即反比例函数的解析式为y=12x，D 点在反比例函数的图象上，且它的横坐标为8，当 x=8，y=128=32，所以 D 点坐标为（ 8，32） 故答案为（ 8，32） 点评： 本题考查了用待定系数法确定反比例的解析式；也考查了正弦的定义和勾股定理以及求线段中点坐标10、 （2011 湖北武汉， 16，3 分）如图， ABCD的顶点 AB 的坐标分别是A（1，0） ，B（ 0，2） ，顶点 CD 在双曲线y=kx上，边 AD 交 y 轴于点 E，且四边形BCDE 的面积是

33、 ABE 面积的 5 倍，则 k=12考点： 反比例函数综合题。专题： 综合题。分析：分别过 CD 作 x 轴的垂线， 垂足为 FG， 过 C 点作 CHDG，垂足为 H， 根据 CDAB，CD=AB 可证 CDH ABO，则 CH=AO=1，DH =OB=2，由此设C（m+1，n） ，D（ m，n+2） ，CD 两点在双曲线y=kx上，则（ m+1）n=m（n+2） ，解得 n=2m，设直线 AD 解析式为y=ax+b，将 A D 两点坐标代入求解析式，确定E 点坐标，求SABE，根据 S四边形BCDE=5SABE，列方程求 mn 的值，根据k=（m+1）n 求解解答： 解：如图，过CD 两

34、点作x 轴的垂线，垂足为FG，DG 交 BC 于 M 点，过C 点作CHDG，垂足为H，CDAB，CD=AB， CDH ABO， CH=AO=1，DH=OB=2，设 C（m+1，n） ，D（m，n+2） ，则（ m+1）n=m（ n+2）=k，解得 n=2m，设直线 AD 解析式为y=ax+b，将 A D 两点坐标代入得022abmabm，解得22ab， y=2x+2，E（0，2） ，BE=4， SABE=12 BE AO=2，S四边形BCDE=5SABE， SABE+S四边形BEDM=10，即 2+4 m=10，解得 m=2，n=2m=4， k=（m+1）n=3 4=12故答案为：12精选学

35、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 20 页学习必备欢迎下载点评： 本题考查了反比例函数的综合运用关键是通过作辅助线，将图形分割，寻找全等三角形，利用边的关系设双曲线上点的坐标，根据面积关系，列方程求解【例1】 将直线4yx 沿y轴向下平移后，得到的直线与x 轴交于点904，A，与双曲线(0)kyxx交于点B求直线AB的解析式；若点B的纵标为 m ，求k的值（用含有m 的式子表示） 【思路分析】这种平移一个一次函数与反比例函数交与某一点的题目非常常见，一模中有多套题都是这样考法。题目一般不难，设元以后计算就可以了。本题先设平移后

36、的直线，然后联立即可。比较简单,看看就行 . 【解析】 将直线xy4沿y轴向下平移后经过x 轴上点 A（0,49） ，设直线 AB 的解析式为bxy4 则0494b解得9b直线 AB 的解析式为94xy- 8- 6- 4- 2- 2642642OBAyx图 3 （2）设点B的坐标为,Bxm ，直线AB经过点B，94Bxm49mxBB点的坐标为9,4mm ， 点B在双曲线kyx0 x上， 49mkm492mmk【例 2】 如图，一次函数1ykxb 的图象与反比例函数2myx的图象相交于A、B 两点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14

37、页，共 20 页学习必备欢迎下载（1）求出这两个函数的解析式；（2）结合函数的图象回答：当自变量x 的取值范围满足什么条件时，12yyBAOyx-2-6413【思路分析】第一问直接看图写出A，B 点的坐标（ -6,-2）(4,3)，直接代入反比例函数中求m，建立二元一次方程组求k,b。继而求出解析式。第二问通过图像可以直接得出结论。本题虽然简单，但是事实上却有很多变化。比如不给图像，直接给出解析式求12yy 的区间，考生是否依然能反映到用图像来看区间。数形结合是初中数学当中非常重要的一个思想，希望大家要活用这方面的意识去解题。【解析】解： （1）由图象知反比例函数2myx的图象经过点B(4，3

38、)， 34mm=12反比例函数解析式为212yx由图象知一次函数1ykxb 的图象经过点A(6， 2) ， B(4，3)，6243.kbkb，解得121kb，一次函数解析式为1112yx（2）当 0 x4 或 x6 时，12yy 【例 3】 已知：如图，正比例函数yax的图象与反比例函数kyx的图象交于点3 2A， （1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3） Mmn，是反比例函数图象上的一动点，其中03m，过点M作直线MBx轴，交y轴于点B；过点A作直线ACy轴交x轴于点C，交直线MB于点D当四边形O

39、ADM的面积为 6 时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由【思路分析】第一问由于给出了一个定点，所以直接代点即可求出表达式。第二问则是利用图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 20 页学习必备欢迎下载像去分析两个函数的大小关系，考生需要对坐标系有直观的认识。第三问略有难度，一方面需要分析给出四边形OADM 的面积是何用意, 另一方面也要去看BM,DM 和图中图形面积有何关系. 视野放开就发现四边形其实就是整个矩形减去两个三角形的剩余部分,直接求出矩形面积即可. 部分同学会太在意四边形的面积如何求解而没能拉出来看,

40、从而没有想到思路, 失分可惜 . 【解析】解： （1）将3, 2 分别代入yax中kyx，得23a， 23k，23a，6k反比例函数的表达式为：6yx；正比例函数的表达式为23ya （2）观察图象得，在第一象限内，当03x时，反比例函数的值大于正比例函数的值（3）BMDM 理由： 6nm，132m n，即3BMOSACOC，13232AOCS33612OCDBS （很巧妙的利用了和的关系求出矩形面积）1243BO632BMBO332DMBMBM【例 4】 已知：yax与3byx两个函数图象交点为P m n，且 mn ， mn、是关于 x的一元二次方程22730kxkxk的两个不等实根，其中k为

41、非负整数（1）求k的值；（2）求ab、的值；（ 3）如果0yc c与函数yax和3byx交于AB、两点（点A在点B的左侧），线段32AB，求 c 的值【思路分析】本题看似有一个一元二次方程，但是本质上依然是正反比例函数交点的问题。第一问直接用判别式求出k 的范围，加上非负整数这一条件得出k 的具体取值。代入方程即可求出 m，n，继而求得解析式。注意题中已经给定mn,否则仍然注意要分类讨论。第三问联立方程代入以后将A,B 表示出来，然后利用32AB构建方程即可。【解析】（ 1）227430kk k, 4940k,k为非负整数，0 1k，22730kxkxk为一元二次方程,1k(2)把1k代入方程

42、得2540 xx, 解得1214xx，, mn ,14mn，把14mn，代入yax与3byx,可得41ab，(3)把yc代入4yx 与4yx,可得4cAc，4Bcc，由32AB，可得4342cc解得1228cc，经检验1228cc，为方程的根。 1228cc，【例5】已知：如图，一次函数33yxm与反比例函数3yx的图象在第一象限的交点为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 20 页学习必备欢迎下载(1)An，（1）求 m 与 n 的值；（2）设一次函数的图像与x轴交于点B，连接OA，求BAO的度数-2-1-2-132121

43、yxBAO【思路分析】如果一道题单纯考正反比例函数是不会太难的，所以在中考中经常会综合一些其他方面的知识点。比如本题求角度就牵扯到了勾股定理和特定角的三角函数方面，需要考生思维转换要迅速。第一问比较简单，不说了。第二问先求出A,B 具体点以后本题就变化成了一道三角形内线段角的计算问题，利用勾股定理发现OB=OA, 从而 BAO= ABO, 然后求出 BAO即可。解： （1）点(1, )An 在双曲线3yx上，3n,又(1, 3)A在直线33yxm 上，2 33m. （2）过点 A 作 AMx 轴于点 M. M-2-1-2-132121yxBAO 直线32 333yx与 x 轴交于点B，32 3

44、033x.解得2x. 点B的坐标为-2 0（，）.2OB. 点A的坐标为 (1, 3) ， 3,1AMOM. 在 RtAOM中，90AMO,tan3AMAOMOM.60AOM.- 由勾股定理，得2OA.OAOBOBABAO.1302BAOAOM.- 【总结】中考中有关一次函数与反比例函数的问题一般都是成对出现的。无非也就一下这么几个考点： 1、给交点求解析式；2， y的比较， 3，夹杂进其他几何问题。除了注意计算方面的问题以外，还需要考生对数形结合，分类讨论的思想掌握熟练。例如y 的比较这种问题，纯用代精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

45、 17 页，共 20 页学习必备欢迎下载数方式通常需要去解一个一元二次不等式，但是如果用图像去做就会比较简单了。总体来说这类问题不难，做好细节就可以取得全分。第二部分发散思考【思考 1】如图， A、B 两点在函数0myxx的图象上 .（1）求m的值及直线AB 的解析式；（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点.请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数。【思路分析】由于已经给出了点，第一问没有难度。第二问在于要分析有哪些格点在双曲线的边界上，哪些格点在其中。保险起见直接用1-6 的整数挨个去试，由于数量较少，所以可以很明显看出。【思考 2】如图，一次函数ykxb的图

46、象与反比例函数myx的图象交3,1(2)ABn、，于两点，直线AB分别交x轴、y轴于DC、两点（1）求上述反比例函数和一次函数的解析式；（2）求ADCD的值【思路分析】第一问一样是用代点以及列二元一次方程组去求解析式。第二问看到比例关系，考生需要第一时间想到是否可以用相似三角形去分析。但是图中并未直接给出可能的三角形，所以需要从A 引一条垂线来构成一对相似三角形，从而求解。【思考 3】已知：关于x 的一元二次方程kx2+（2k3)x+k 3 = 0 有两个不相等实数根（k0） （I）用含 k 的式子表示方程的两实数根；（II ）设方程的两实数根分别是1x，2x（其中21xx） ，若一次函数y=

47、(3k1)x+b 与反比例函数 y =xb的图像都经过点（x1，kx2） ，求一次函数与反比例函数的解析式【思路分析】本题是一道多种函数交叉的典型例题，一方面要解方程，另一方面还要求函数解析式。第一问求根，直接求根公式去做。第二问通过代点可以建立一个比较繁琐的二元一次方程组，认真计算就可以。x y A B O D C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 20 页学习必备欢迎下载【思考 4】如图，反比例函数8yx的图象过矩形OABC 的顶点 B，OA 、0C分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上， OA ：0C=2：1（1）设矩

48、形OABC 的对角线交于点E，求出 E点的坐标；（2）若直线2yxm平分矩形OABC 面积，求m的值【思路分析】 本题看似麻烦，夹杂了一次函数与反比例函数以及图形问题。但是实际上画出图，通过比例可以很轻易发现B 点的横纵坐标关系，巧妙设点就可以轻松求解。第二问更不是难题，平分面积意味着一定过B 点，代入即可。第三部分思考题解析【思考 1 解析】（1）由图象可知，函数myx（0 x）的图象经过点(16)A ，可得6m设直线AB的解析式为ykxb(16)A ，(6 1)B，两点在函数ykxb的图象上，661.kbkb，解得17.kb，直线AB的解析式为7yx（2）图中阴影部分（不包括边界）所含格点

49、的个数是3 【思考 2 解析】（1）把3x，1y代入myx，得：3m反比例函数的解析式为3yx把2x，yn代入3yx得32n把3x，1y；2x，32y分别代入ykxb得31322kbkb，（第 16 题答图）解得1212kb，一次函数的解析式为1122yxy x 6 B A O 1 1 6 x y A B O E D C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 20 页学习必备欢迎下载（2）过点A作AEx轴于点EA点的纵坐标为1，1AE由一次函数的解析式为1122yx得C点的坐标为102，12OC在RtOCD和RtEAD中，R

50、tCODAED，CDOADE，RtRtOCDEAD2ADAECDCO【思考 3 解析】解： （I）kx2+ （2k3)x+k 3 = 0 是关于 x 的一元二次方程 9)3(4)32(2kkk由求根公式，得,kkx23)23(1x或13kx（II ）0k，113k 而21xx，11x，132kx由题意，有.1)13(,31)13(bkkbkkk,解之，得85bk一次函数的解析式为816xy，反比例函数的解析式为xy8【思考 4 解析】（）由题意，设B(2 , )(0)a aa，则82aa2.aB 在第一象限，2.aB(, )矩形 OABC 对角线的交点为(2,1)（）直线2yxm平分矩形 OA