最新向量的坐标表示和空间向量精品课件.ppt

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1、iA(a,0,0)B(0,b,0)ijkxy坐標空間中，設， ，分別為軸、 軸、(0,1,0)(0,0,1)jk，。OQQOPP此時，OA OB OC a ib jc k 。vPvOP 空間中，對於任一向量，必有點 ，使得。( , , )a b cva ib jc k 即存在唯一序對，使得。( , , )va b cabc此時記作，並稱 、 、 分別為OxyzP(a,b,c)C(0,0,c)Q(a,b,0)jk空間向量的坐標表示法則點 P在 x 軸、y 軸、z 軸上的投影點分別為A(a,0,0)、B(0,b,0)、C(0,0,c)。一、空間向量的坐標1. 向量坐標：z 軸上的單位向量xzvy向

2、量的、量分量、分分量。(1,0,0)i 即，設點 P(a,b,c)，1111(2)(,)r vrx ry rz。1111()vx iz kryrj 111x iyjzrrkr111(,)xyrrzr。證明：3420DADBDC 且滿足，3( 1,6,)4(3, 1, 2)xyzxyz 33124820183448203841020 xxxyyyzzz ( , , )( 7,30,18)x y z 。8. 範例：令A(1,6,0)，B(3,1,2)，C(4,4,5)為坐標空間中三點，若 D 為空間中一點，解：令 D(x,y,z)2(4,4,5)(0,0,0)xyz求點 D 的坐標。1111222

3、2( ,)(,)rvx y zvxyz設為實數，若，111222122220/ /xyzx y zvvxyz 且，則。2121/ /ttvvvv，為實數。212112(,)(,)x y zxytz221112ttxyxzzty ，221121xytzxyz 。9. 向量的平行：證明：(1)(1,3,5)(4, 4,2)23ababab 設， ，求與。(2)(1,2, 2)6ababb ，的長度為，且和同方向，求 。(1)ab 1,3,54, 4,2(5, 1,7) 。23ab 2(1,3,5)3(4, 4,2)222(2)12( 2)36ab ，又2ba 是的倍，ab 又和同方向22(1,2,

4、 2)(2,4, 4)ba 。10. 範例：解：(2,6,10)(12, 12,6)( 10,18,4) 。(1)(3, 2,5) ,( 2,1,3)234ababab 設 ，求與。(2)(2,1, 2)9ababb ，的長度為，且和反方向，求。(1)2( 1,0,11)34(17, 10,3)abab ，(1)2ab (3, 2,5)( 4,2,6)( 1,0,11) 。34ab (9, 6,15)( 8,4,12)(17, 10,3) 。222(2)21( 2)39ab ，又3ba 是的倍，ab 又和反方向33(2,1, 2)( 6, 3,6)ba 。解：馬上練習：Ans：(2)( 6,

5、3,6)b 。( 2,1,1)(5, 5,2)2abcak b 設，cabc 且平分和的夾角，求向量 。 6 ,a cab 欲使平分和的夾角，2=2 6ak b則必23k 。223cab 故224 102( 2,1,1)(5, 5,2)(,)3333 。ook b2 ac11. 範例：解：( 菱形的對角線即為分角線 )3 6b ，223ab ( 4,0,3)(2,2,1)abcat b 設， ，cabc 且平分和的夾角，求向量 。2 10 14(,)333c 。5 ,a cab 欲使平分和的夾角，5 ()at b 則必菱形的對角線即為分角線53t 。53cab 故52 10 14( 4,0,3

6、)(2,2,1)(,)3333 。oot bac馬上練習：Ans：解：3b ，53ab 122211(,)( ,)B xy zA x y z設與為坐標空間中的兩點，OPmnA(x1,y1,z1)B(x2,y2,z2)證明：設原點O(0,0,0)，P(x,y,z)，二、分點公式：1. 分點公式：:AP PBm n且，OAnmOOPmBn 則112212( ,(,),)nm xyzmznx y111222( , , ),nmnmxyznmx y zmnmyznmxn即 。PAB若點在線段上，221211,xynmnmnmPmnmxyzznmn則點的坐標為 。(1)PAB當為的中點ABCG則重心的坐

7、標注意：(2)設ABC三頂點為 A(x1 , y1 , z1)、B(x2 , y2 , z2)、C(x3 , y3 , z3)，222221111112,1 11 11 1222xyzxyzxyzPxyz 。123123123,333xxxyyyzzz為 。ABCDD若的平分線交於，求點坐標。( 2, 2,1)AB ，:BD CD又21201( 3)( 2)7(121,1)211 262D 2(,3, 4)3 。C(2,7,6)B(0,1,3)DA362. 範例：ABC中，A(2,3,4)，B(0,1,3)，C(2,7,6)，解：( 4,4, 2)AC ，:3:61:2AB AC。ABCE若之

8、外角平分線交直線於，11( ,2, )22E 。(4,1,1)AB ，:3 2 :23:1BE ECAB AC又。:2:1BC CE 。( , , )E x y z令5212121(2,2,1),1 221 2221xyzC 11( , , )( ,2, )22E x y z 。C(2,2,1)B(5,2,2)AEook3k3 22馬上練習：ABC中，A(1,1,1)，B(5,2,2)，C(2,2,1)，Ans：解：求 E 點的坐標。(1,1,0)AC ，20PEFEPFP 在上，且( , , )DPaDA bDC cDHa b c 若，求數對 。:2:1EP PF ，12()()33DA D

9、HDBDH 12()()33DA DHDA DCDH 23DADCDH 2( , , )(1,1)3a b c 。DEFGBHCAP3. 範例：一正立方體如圖，解：DP1233DEDF ( , , )AJa AB b AD c AEa b c 若，求數對 。1 1(1, )2 2 。1122AGAABJ 11()22AFFGAB 11()22ABAEFGAB 1122ABAEFG 1122ABADAE 1 1( , , )(1, )2 2a b c 。JAHFGBDEC馬上練習：一平行六面體如圖，J 為 BCGF 的中心，Ans：解：22121121(),()xvzyvxyz若，(1,0,0)

10、(0,1,0)(0,0,1)ijk坐標空間中，1ijkijjkki ； ，000ijjijkkjikki 且，。11121222() ()vvijkixxzjyzky 則22122221()()xyzxyziijkkxyjij 2212()xzkijkyz 221211xyiijjkkzzxy 121221xyzxyz 。三、空間向量的內積：1.說明：分別是x、y、z軸上的單位向量，2212111221vvvvyzxyzx 則與的內積 。121212121 20vvvvx xy yz z 則 。(2)( , , )vx y z若向量，注意：11112222(1)(,)(,)vx y zvxyz

11、若，2222( , , ) ( , , )vvvx y zx y zxyz 則 。ABAC 求與的夾角。(1,1,2)(1, 2, 1)ABAC，1 1 1 ( 2)2( 1)3AB AC 。cosAB ACAB AC 又366cos 1cos2 23 所求夾角為 。解：2. 範例：設A(1,2,3)，B(2,3,5)，C(2,0,2)，PQPR 求與的夾角。2 。(2,3,1)(5, 3, 1)PQPR，2 53 ( 3)1 ( 1)0PQ PR 2 所求夾角為 。馬上練習：設P(2,1,4)，Q(4,4,5)，R(7,2,3)，Ans：解：(1,3,0)(0,0,1)(1,3,1)31AB

12、BCCG如圖，長方體中，BHDFP設兩對角線 與相交於點，(1,3,1)DF，cosDF HBDF HB 2222221 9 191113113( 1) 。HFBxzyCGAPED3. 範例：且FPB=，求cos之值。解：將長方體放在坐標空間中，以D為原點。(1,3, 1)HB (0,1,1)63 。( 1, 1,1)BH ，BHBG 即為與的夾角，cosBH BGBH BG 所以10 1633 2 。DxyzEFGBHCA以D為原點。馬上練習：右圖是一個邊長為 1 的正立方體，且HBG=，求cos之值。Ans：解：將正方體放在坐標空間中，( 1,0,1)BG (1,1,0)(0,0,1)(1

13、) ABAC 在方向上的正射影。(2) BAC點在方向上的投影點坐標。( 8,1, 1)(1) AB ，2AB ACACAC 所求為8224 88()(1, 2,2)(,)93 33 。(2)( , , )H x y z令投影點4 88(2,1,2)(, ,)3 33AHxyz 2 112( , , )( ,)3 33H x y z 。ACBH4. 範例：設A(2,1,2)，B(6,2,1)，C(3,1,4)，求：解：(1, 2,2)AC ，CAB求點在上的投影點坐標。32 23 16(,)999H 。( 2, 1,4)AC ，ACAB 在上的正射影為2424442()( 2, 2, 1)(,

14、)9999AB ACABAB 。( , , )H x y z令投影點442(4,3,2)(,)999AHxyx 32 23 16( , , )(,)999H x y z 所求 。ABCH馬上練習：設A(4,3,2)，B(2,1,1)，C(2,2,6)，Ans：解：( 2, 2, 1)AB ，ababab 任意兩非零向量與，不等式恆成立，ab 設兩向量與的夾角為 ，coscos1abab 由，且cosababab abab 即，cos1且當等號成立時，0180/ /ab 或。一、柯西不等式：1./ /ab 且等號成立於時。證明：111222(,)(,)ax y zbxyz若，abab 由注意：2

15、22222121212111222x xy yz zxyzxyz222222212121 2111222()()()x xy yz zxyzxyz即，111222xyzxyz且等號成立於 111222( , )(0,0,0)( ,)(0,0,0)x y zx y z或或 。( ,2 ,3 )(1,1,1)axyzb令， ，abab 由柯西不等式，2222222(23 )(49)(111 )xyzxyz得2(23 )3 3xyz 3233xyz 23(/ /)111xyzab 故23323111xyzxyz解111 , 23xyz此時， 。2. 範例：已知三實數 x，y，z 滿足 x2+4y2+

16、9z2=3，求 x+2y+3z 的最大值，及此時的 x，y，z 的值。解：所以 x+2y+3z 有最大值 3，此時等號成立，( , 2 , 3 )(1, 2, 3)axyzb令， ，abab 由柯西不等式，2222222(23 )(23) 1( 2)( 3)xyzxyz得2(23 )6 6xyz6236xyz 23123xyz故，236xyzxyz 解1 1 , 1xyz 此時， 。解：馬上練習：已知三實數 x，y，z 滿足 x2+2y2+3z2=6，求 x+2y+3z 的最小值，及此時的 x，y，z 的值。Ans：最小值6，此時 x= 1，y = 1，z = 1。所以 x+2y+3z 有最小

17、值 6，此時等號成立，( , , )(1,1,1)ax y zb令， ，abab 由，2222222()()(111 )xyzxyz得222212() 3xyz22248xyz 。111xyz故。12111xyzxyz解xyz3. 範例：由周長12之三角形的三邊分別向外作正方形，如圖。問當三角形為何種三角形時，三個正方形的面積和會有最小值？又其值是多少？解：設三角形的三邊長為 x，y，z，所求面積和=x2+y2+z2，且x+y+z=12，故 x2+y2+z2 有最小值 48，此時等號成立， 此時 x = y = z = 4，即為正三角形。22210029520 , 9999xyzxyz有最小值

18、，此時， 。1(1,2 , )(1,1)2axy zb令，abab 由，22222221(1)(1)41( )12xyzxyz得22229(6 1)(1)44xyz222100(1)49xyz，222100(1)49xyz故最小值，121112xyz此時等號成立，故。614xyzxyz 解29520 , 999xyz此時 ， 。馬上練習：已知三實數 x，y，z 滿足 x+y+z=6，Ans：求 (x1)2+4y2+z2 的最小值，及求此時的 x，y，z 的值。解：xyz653ABCABBCCA設的三邊長分別為，PABBCCAxyz從到，的垂直距離依序為 ， ， ，6537(76)(75)(73)222xyz6534 14xyz 。ACBP653若 P 是 ABC 內部的動點，(1) 求 6x+5y+3z 之值。 (2) 求 x2+y2+z2 的最小值。解：(1) 因為 ABC=PAB+PBC+PCA，4. 範例：由海龍公式得xyz( , , )(6,5,3)ax y zb令，abab 由，2222222(653 )()(653 )xyzxyz得2222(4 14)() 70 xyz222165xyz 。222165xyz所以有最小值 。ACBP653(2)(1)6534 14xyz由知： 。36 结束语结束语