2022年中考数学压轴题动点与函数问题精选解析 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载中考压轴题动态几何与函数典型例题例题1(圆与三角形类)如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1 分别与两坐标轴交于B，A 两点， C 为该直线上的一动点，以每秒1 个单位长度的速度从点A 开始沿直线BA 向上移动，作等边 CDE，点 D 和点 E 都在 x 轴上，以点C 为顶点的抛物线y=a（x m）2+n 经过点 E M 与 x 轴、直线AB 都相切，其半径为3（1）a（1）求点 A 的坐标和 ABO 的度数；（2）当点 C 与点 A 重合时，求a 的值；（3）点 C 移动多少秒时，等边CDE 的边 CE 第一次与 M 相切？解：（1） 当 x=0 时， y=1； 当 y=

2、0 时， x=， OA=1， OB=， A 的坐标是（0， 1） , ABO=30 （2） CDE 为等边，点A（0，1） ， tan30 =，D 的坐标是（，0） ， E 的坐标是（，0） ，把点 A（0，1） ，D（，0） ，E（，0）代入y=a（xm）2+n，解得： a=3（3）如图，设切点分别是Q，N， P，连接 MQ，MN，MP，ME，过点 C 作 CHx 轴， H为垂足，过A 作 AFCH，F 为垂足 CDE 是等边三角形，ABO=30 BCE=90 ， ECN=90CE，AB 分别与 M 相切， MPC =CNM=90 ，四边形MPCN 为矩形， MP=MN四边形MPCN 为正方

3、形 6 分 MP=MN=CP=CN=3（1）a（a0） EC 和 x 轴都与 M 相切， EP=EQ NBQ+NMQ =180 ， PMQ=60 EMQ，=30 ，在 RtMEP 中， tan30 =， PE=（3）aCE=CP+PE=3（1）a+（3）a=2a DH =HE=a，CH=3a，BH=3a， OH=3a，OE=4a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页学习好资料欢迎下载E（ 4a，0） C（ 3a， 3a）设二次函数的解析式为：y=a（x+3a+）23aE 在该抛物线上a（ 4a+3a+）23a=0 得：

4、 a2=1，解之得 a1=1，a2=1 a0， a=1AF=2， CF=2， AC=4 点 C 移动到 4 秒时，等边 CDE 的边 CE 第一次与 M 相切例 2（圆与三角形类）如图（ 1）, 在ABC中，A90，AB4，AC3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MNBC交AC于点N以MN为直径作O，并在O内作 内接矩形AMPN令AMx（ 1）用含x的代数式表示NP的面积S；（2）当x为何值时，O与直线BC相切？（3）在动点M的运动过程中，记NP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？图（ 1）图（ 2）图（ 3）解析 （1

5、）MNBC，AMN=B，ANMC AMN ABC AMANABAC，即43xAN AN43x S=21 332 48MNPAMNSSx xx（ 0 x4）（2）如图（ 2），设直线BC与O相切于点D，连结AO，OD，则AO=OD =21MN在 RtABC中，BC 22ABAC=5由（ 1）知AMN ABCA B C M N D 图（2）O Q A B C M N D O A B C M N P O A B C M N P O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页学习好资料欢迎下载 AMMNABBC，即45xMN 54

6、MNx， 58ODx过M点作MQBC于Q，则58MQODx在 RtBMQ与 RtBCA中，B是公共角， BMQBCABMQMBCAC 55258324xBMx，25424ABBMMAxx x4996 当x4996时，O与直线BC相切（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点 MNBC， AMN=B，AOMAPC AMO ABP 12AMAOABAPAMMB2故以下分两种情况讨论： 当 0 x2 时，283xSyPMN 当x2 时，2332.82y最大 当 2x4 时，设PM，PN分别交BC于E，F 四边形AMPN是矩形， PNAM，PNAMx又 MNBC， 四边形

7、MBFN是平行四边形 FNBM4x 424PFxxx又PEF ACB 2PEFABCSPFABS 2322PEFSxMNPPEFySS222339266828xxxx当 2x4 时，29668yxx298283x 当83x时，满足2x4，2y最大综上所述，当83x时，y值最大，最大值是2例 4（梯形类）如图，在梯形ABCD中，AB CD ，AB 7，CD 1，AD BC 5点M，N分别A B C M N P 图（ 4）O E F A B C M N P 图（3）O A B C M N P 图（1）O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

8、3 页，共 11 页学习好资料欢迎下载在边AD ，BC上运动，并保持MN AB ，ME AB ，NF AB ，垂足分别为E，F（1）求梯形ABCD的面积；（2）求四边形MEFN面积的最大值（3）试判 断四边形MEFN能否为正方形，若能，求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由解析 （1）分别过D，C两点作DGAB于点G，CHAB于点H ABCD， DGCH，DGCH 四边形DGHC为矩形，GHCD1 DGCH，ADBC，AGDBHC90， AGDBHC（HL） AGBH2172GHAB3 在 RtAGD中，AG3，AD5， DG 4 174162ABCDS梯形（2） MNAB，MEAB，N

9、FAB， MENF，MENF 四边形MEFN为矩形 ABCD，ADBC， AB MENF，MEANFB90 MEANFB（AAS ） AEBF设AEx，则EF7 2x AA，MEADGA90 MEADGA DGMEAGAE MEx34 6494738)2(7342xxxEFMESMEFN矩形当x47时，ME374，四边形MEFN面积的最大值为649（3）能。由（ 2）可知，设AEx，则EF72x，MEx34若四边形MEFN为正方形，则MEEF即34x72x解，得1021x EF21147272105x4 四边形MEFN能为正方形，其面积为251965142MEFNS正方形例 5（一元二次曲线类

10、）如图 1，抛物线经过点A(4 ，0) 、B（ 1，0) 、C（0， 2）三点（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得DCA的面积最大，求出点D的坐标C D A B E F N M C D A B E F N M G H C D A B E F N M G H 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页学习好资料欢迎下载,解

11、析（1）因为抛物线与x 轴交于A(4 ，0) 、B（ 1， 0) 两点，设抛物线的解析式为)4)(1(xxay，代入点C的 坐标（ 0，2），解得21a所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212xxxxy（2）设点P的坐标为)4)(1(21,(xxx如图 2，当点P在x轴上方时， 1x4，)4)(1(21xxPM，xAM4如果2COAOPMAM，那么24) 4)(1(21xxx解得5x不合题意如果21COAOPMAM，那么214)4)(1(21xxx解得2x此时点P的坐标为（ 2，1）如图 3，当点P在点A的右侧时，x4，)4)(1(21xxPM，4xAM解方程24)4)(1(21xxx

12、，得5x此时点P的坐标为)2, 5(解方程214)4)(1(21xxx，得2x不合题意如图 4，当点P在点B的左侧时，x1，)4)(1(21xxPM，xAM4解方程24)4)(1(21xxx，得3x此时点P的坐标为)14,3(解方程214)4)(1(21xxx，得0 x此时点P与点O重合，不合题意综上所述，符合条件的点 P的坐标为（ 2，1）或)14, 3(或)2,5(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页学习好资料欢迎下载图 2 图 3 图 4 （3）如图 5，过点D作x轴的垂线交AC于E直线AC的解析式为221xy

13、设点D的横坐标为m)41(m，那么点D的坐标为)22521,(2mmm，点 E的坐标为)221,(mm所以)221()22521(2mmmDEmm2212因此4)221(212mmSDACmm424)2(2m当2m时，DCA的面积最大，此时点D的坐标为（ 2，1）图 5 图 6 第（ 3）题解法二：如图 6，过D点构造矩形OAMN，那么DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去CDN和ADM的面积设点D的横坐标为（m，n）)41 (m，那么42)4(21)2(214)22(21nmmnnmnS由于225212mmn，所以mmS42例 6（三角形类） 如图 1，ABC中，AB5，AC3，cosA

14、310D为射线BA上的点（点D不与点B重合），作DE/BC交射线CA于点E. (1) 若CEx，BDy，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域；(2) 当分别以线段BD，CE为直径的两圆相切时，求DE的长度；(3) 当点D在 AB边上时，BC边上是否存在点F，使ABC与DEF相似？若存在， 请求精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页学习好资料欢迎下载出线段BF的长；若不存在，请说明理由图 1 备用图备用图解析（1）如图 2，作BHAC，垂足为点H在 RtABH中，AB5，cosA310AHAB，所以AH3212AC所

15、以BH垂直平分AC，ABC 为等腰三角形，ABCB5因为DE/BC，所以ABACDBEC，即53yx于是得到53yx，（0 x）（2）如图 3，图 4，因为DE/BC，所以DEAEBCAC，MNANBCAC，即| 3|53DEx，1|3|253xMN因此5|3|3xDE，圆心距5|6|6xMN图 2 图 3 图 4 在M中，115226MrBDyx，在N中，1122NrCEx当两圆外切时，5162xx5|6|6x解得3013x或者10 x如图 5，符合题意的解为3013x，此时5(3)15313xDE当两圆内切时，5162xx5|6|6x当 x6 时，解得307x，如图 6，此时E在CA的延长

16、线上，5(3)1537xDE；当 x6 时，解得10 x，如图 7，此时E在CA的延长线上，5(3)3533xDE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页学习好资料欢迎下载图 5 图 6 图 7 （3）因为ABC是等腰三角形， 因此当ABC与DEF相似时， DEF也是等腰三角形如图 8，当D、E、F为ABC的三边的中点时，DE为等腰三角形DEF的腰，符合题意，此时BF2.5 根据对称性，当F在BC边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF4.1 如图 9， 当DE为等腰三角形DEF的底边时，四边形DECF是平行四边形， 此时

17、12534BF图 8 图 9 图 10 图 11 例 7 （一元二次曲线与三角形类）如图 1，在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点 Q（t，b）平移二次函数2txy的图象，得到的抛物线F满足两个条件：顶点为Q；与x轴相交于B、C两点（OBOC），连结A，B（1）是否存在这样的抛物线F，使得OCOBOA2？请你作出判断，并说明理由；（2）如果AQBC，且 tan ABO23，求抛物线F对应的二次函数的解析式解析（1）因为平移2txy的图象得到的抛物线F的顶点为Q（t ，b），所以抛物线F对应的解析式为btxty2)(因为抛物线与x 轴有两个交点，因此0bt令0y，得tOBtb，tOCtb所

18、以tOCOB(|tb)( ttb)|2|t22|OAttb即22bttt所以当32tb时，存在抛物线F使得|2OCOBOA（ 2 ） 因 为AQ/BC， 所 以tb， 于 是 抛 物 线F为ttxty2)( 解 得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页学习好资料欢迎下载1, 121txtx当0t时，由|OCOB，得)0, 1(tB如图 2，当01t时，由ABOtan23|OBOA1tt，解得3t此时二次函数的解析式为241832xxy如图3，当01t时，由ABOtan23|OBOA1tt，解得t53此时二次函数的解析式

19、为y532x2518x12548图 2 图 3 如图 4，如图 5，当0t时，由|OCOB，将t代t, 可得t53，3t此时二次函数的解析式为y532x2518x12548或241832xxy图 4 图 5 例 8 （三角形与矩形） 如图，正方形 ABCD 中，点 A、B的坐标分别为 （0，10），（8，4），点 C在第一象限动点P在正方形ABCD 的边上，从点 A出发沿 ABCD匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒(1) 当 P点在边 AB上运动时，点 Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图所示，请

20、写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度； (2)求正方形边长及顶点C的坐标；(3) 在（1）中当 t 为何值时， OPQ 的面积最大，并求此时P点的坐标；(4) 如果点 P、Q保持原速度不变，当点P沿 ABCD匀速运动时， OP与精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页学习好资料欢迎下载PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由 解：（ 1） Q （1，0）点 P 运动速度每秒钟1 个单位长度 2 分（2） 过点B作 BFy 轴于点F，BEx轴于点E，则BF8，4OFBE1046AF在 Rt AFB

21、 中，228610AB3 分过点 C 作 CG x轴于点 G ，与FB的延长线交于点H90 ,ABCABBC ABF BCH6,8BHAFCHBF8614,8412OGFHCG所求 C 点的坐标为（14，12）4 分（3） 过点 P 作 PM y 轴于点 M，PNx轴于点 N，则 APM ABFAPAMMPABAFBF1 068tA MM P3455AMtPMt，3410,55PNOMtONPMt设 OPQ 的面积为 S（平方单位）213473(10)(1)5251010Stttt （0t 10 ） 5 分说明 :未注明自变量的取值范围不扣分310a0 当474710362 ()10t时，OP

22、Q 的面积最大 6 分此时 P 的坐标为（9415，5310） 7 分（4）当53t或29513t时，OP 与 PQ 相等 9 分例9 （ 折 叠 ） 已 知 一 个 直 角 三 角 形 纸 片OAB， 其 中9024AOBOAOB ，如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边 OB 交于点 C，与边 AB交于点 D （）若折叠后使点B与点 A重合，求点 C 的坐标；ABCDEFGHMNPQOxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页学习好资料欢迎下载（）若折叠后点B落在边 OA上的点为 B ，设 O

23、Bx，OCy，试写出 y 关于x的函数解析式，并确定y 的取值范围；（）若折叠后点B 落在边 OA上的点为 B ，且使 B DOB，求此时点 C 的坐标解（）如图，折叠后点B与点A重合，则ACDBCD. 设点C的坐标为00mm，.则4BCOBOCm. 于是4ACBCm. 在RtAOC中，由勾股定理，得222ACOCOA，即22242mm，解得32m.点C的坐标为302，. 4 分（）如图，折叠后点B落在OA边上的点为B,则B CDBCD. 由题设OBxOCy，则4B CBCOBOCy，在RtBOC中，由勾股定理，得222B COCOB.2224yyx，即2128yx 6 分由点B在边OA上，有02x，解析式2128yx02x为所求 . 当02x时，y随x的增大而减小，y的取值范围为322y. 7 分（） 如图，折叠后点B落在OA边上的点为B，且B DOB.则OCBCB D. CBDCB DOCBCBD，有CBBARtRtCOBBOA有OBOCOAOB，得2OCOB. 9 分在RtB OC中，设00OBxx，则02OCx. 由（） 的结论， 得2001228xx，解得00084 5084 5xxx，. 点C的坐标为0 8 516，. 10 分x y B O A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页