2022年中考数学综合题专题复习【圆】专题解析 .pdf

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1、优秀教案欢迎下载中考数学综合题专题复习【圆】专题解析一. 教学内容： 1. 圆的内容包括： 圆的有关概念和基本性质，直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，正多边形和圆。 2. 主要定理：（1）垂径定理及其推论。（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理。（3）圆周角定理、弦切角定理及其推论。（4）圆内接四边形的性质定理及其推论。（5）切线的性质及判定。（6）切线长定理。（7）相交弦、切割线、割线定理。（8）两圆连心线的性质，两圆的公切线性质。（9）圆周长、弧长；圆、扇形，弓形面积。（10）圆柱、圆锥侧面展开图及面积计算。（11）正 n 边形的有关计算。二. 中考聚焦：圆这一章知识在中考试题中所

2、占的分数比例大约如下表：内容圆的有关性质直线和圆的位置关系圆与圆的位置关系正多边形和圆所占分数百分比5%15% 8% 16% 3%12% 2%8% 圆的知识在中考中所占的比例大，题型多， 常见的有填空题、 选择题、 计算题或证明题，近年还出现了一些圆的应用题及开放型问题、设计型问题， 中考的压轴题都综合了圆的知识。三. 知识框图：圆圆的有关性质直线和圆的位置关系圆和圆的位置关系正多边形和圆精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 27 页优秀教案欢迎下载圆的有关性质圆的定义点和圆的位置关系（这是重点）不在同一直线上的三点确定一个圆

3、圆的有关性质轴对称性垂径定理（这是重点）旋转不变性圆心角、弧、弦、弦心距间的关系圆心角定理圆周角定理（这是重点）圆内接四边形（这是重点）直线和圆的位置关系相离相交相切切线的性质（这是重点）切线的判定（这是重点）弦切角（这是重点）和圆有关的比例线段（这是重点难点）圆和圆的位置关系外离内含相交相切内切（这是重点）外切（这是重点）两圆的公切线正多边形和圆正多边形和圆正多边形定义正多边形和圆正多边形的判定及性质正多边形的有关计算（这是重点）圆的有关计算圆周长、弧长（这是重点）圆、扇形、弓形面积（这是重点）圆柱、圆锥侧面展开图（这是重点）【典型例题】【例 1】 . 爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9c

4、m， 点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域。这个导火索的长度为18cm ，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m 是否安全？分析： 爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，以120m为半径的圆的外部，如图所示：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 27 页优秀教案欢迎下载O 120m 爆破中心安全区域解：导火索燃烧的时间为180920.( ) s相同时间内，人跑的路程为2065130.()m人跑的路程 130120mm点导火索的人非常安全【例 2】. 已知梯形ABCD内接于 O，AB CD ， O的半径为4，AB 6，CD

5、2，求梯形ABCD的面积。分析： 要求梯形面积必须先求梯形的高，即弦AB 、CD间距离，为此要构造直角三角形利用勾股定理求高。为了便于运用垂径定理，故作OE CD于 E，延长 EO交 AB于 F，证 OFAB。此题容易出现丢解的情况，要注意分情况讨论。解： 分两种情况讨论：（1）当弦 AB 、CD分别在圆心O的两侧时，如图（1） ：过 O作 OE CD于 E，延长 EO交 AB于 F 连 OC 、OB ，则 CE DE AB CD ，OE CD OF AB ，即 EF为梯形 ABCD的高在 RtOEC中， EC 1，OC 4 OEOCEC22224115同理， OF7EFOEOF157SABC

6、D梯形122615741574 154 7（2）当弦 AB 、CD在圆心 O的同侧时，如图（2） ：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 27 页优秀教案欢迎下载过 O作 OE CD于 E，交 AB于 F 以下证法同（1） ，略。EF157SABCD梯形122615741574 154 7梯形的面积为或ABCD41574157【例 3】. 如图，已知AB为 O的直径， P是 OB的中点，求tanCtanD 的值。分析： 为了求 tanCtanD 的值，需要分别构造出含有C和 D的两个直角三角形。而AB是直径，为我们寻找直角创造

7、了条件。连BC 、BD ，则得到RtACB和 RtADB 。可以发现 ACD ABD ， ADC ABC ，于是，可以把tanCtanD 转化为tantan，则可求。ABDABCADBDACBCADACBDBC解： 连结 BC、BD AB是 O的直径， ACB ADB 90 ACD ABD ， ADC ABC tantantantanCDABDABCADBDACBCADACBDBC作 AE CD于 E，作 BF CD于 F 则 AEC ADB ACAEABADAC AD AEAB 同理， BD BCBFAB 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

8、 -第 4 页，共 27 页优秀教案欢迎下载tantanCDAEABBFABAEBF APE BPF AEBFAPBPP为半径 OB的中点，APBPAEBF313tanCtanD 3 【例 4】.如图，是等边三角形，是上任一点，求证：ABCDBCDBDCDA分析： 由已知条件，等边ABC可得 60角，根据圆的性质，可得ADB 60，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC 。证明： 延长 DB至点 E，使 BE DC ，连结 AE ABC是等边三角形 ACB ABC 60， AB AC ADB ACB 60四边形 ABDC 是圆内接四边形 ABE ACD

9、在 AEB和 ADC中，BECDABEACDABACAEBADCAE AD ADB 60 AED是等边三角形AD DE DBBE BE DC DB DC DA 说明：本例也可以用其他方法证明。如：（1）延长 DC至 F，使 CF BD ，连结 AF ，再证 ACF ABD ，得出 AD DF，从而 DBCD DA 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 27 页优秀教案欢迎下载（2）在 DA上截取 DG DC ，连结CG ，再证 BDC AGC ，得出BD AG ，从而DB CDDA。【例 5】 .如图，已知四边形ABCD内接

10、于 O ，AB 是直径， AD DC ，分别延长BA 、 CD交于点 E，BFEC交 EC的延长线于F，若 EA AO ，BC 12，求 CF的长。分析： 在 Rt CFB中，已知BC 12，求 CF，故可寻找与之相似的直角三角形，列比例式求解。解： 连结 OD ，BD ADDCADDC， ABC AOD OD BC ODBCEOEBEA AO ， EA AO BO BCODOD1212238，AB 16，BE24 四边形 ABCD 内接于 O EDA EBC E是公共角 EDA EBC ADBCEAECEDEB设 AD DC x，ED y，则有xyxy12248解方程组，得：x42AD4 2

11、AB为 O的直径 ADB F90又 DAB FCB RtADB RtCFB ADCFABBCCF，即4 21612精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 27 页优秀教案欢迎下载CF3 2说明：与圆有关的问题，大都与相似三角形联系在一起。此题运用了两次相似三角形，找到线段之间的关系， 并且运用了方程的思想解几何问题，这是解几何问题的一种重要方法。【例6】.如图，已知等腰ABC 中， AB AC ，以AB 为直径的 O 分别交AC、BC 于点 、，过作的切线交于 ，若 ，求的长。FDDOFCEAF7cosBCE35解： 连结 FD

12、 AB是直径， AD BC AB AC ， BD DC ， FAD DAB 四边形 ABDF是圆内接四边形 CFD B C是公共角 ABC DFC CDACDFABAB AC CD DF （也可以证CFD B， ABAC ， B C， C CFD ， CD DF。 ）DE切 O于 D FAD EDF 又 CDE EDF FAD DAB CDE DAB CDE EDF CD FD CE EF，DECF cosBBC35，cosC35在中，Rt ACDCCDACcos35设 CD 3x，AC 5x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页

13、，共 27 页优秀教案欢迎下载在中，即Rt CDECECCDECxcos353ECx95ACAFCE257185xxx5EC 9 【例 7】.如图， 相交两圆的公共弦长为120cm ，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边。求两圆相交弧间阴影部分的面积。解： 公共弦 AB 120 aR46120rRa662422221206060 3OaRABo144601202260 2，rRaOo442422222602606090，SSSRa rAmBAO BAO B弓形扇形229036012180036004244SSSRa rAnBAO BAO B弓形扇形1160360122400360

14、0 3626 6SSSAmBAnB阴影弓形弓形42003600 13两圆相交弧间阴影部分的面积为42003600 132cm【例 8】. 一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20 支香烟。打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图（1）所示。经测量， 一支香烟的 直径 约为 0.75cm， 长约为 8.4cm。（1）试计算烟盒顶盖ABCD 的面积（本小题计算结果不取近似值）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 27 页优秀教案欢迎下载（2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，计算结果精确到，取）0.

15、1cm3173.解题点拨： 四边形 ABCD中， AD长为 7 支香烟的直径之和，易求；求AB长，只要计算出如图（ 2）中的 O1E长即可。解： （1）如图（ 2） ，作 O1EO2O3O OO OO O12233107534.O E134323 38ABcm23 38343 333ADcm734214四边形 ABCD 的面积是：2143 33463 363162cm（2）制作一个烟盒至少需要纸张：263 363163 334842148414409614412. cm【例 9】.在直径为20cm的圆中，有一弦长为16cm，求它所对的弓形的高。解： 一小于直径的弦所对的弓形有两个：劣弧弓形与优

16、弧弓形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 27 页优秀教案欢迎下载H A B C O G 如图， HG为 O的直径，且HG AB ，AB 16cm ，HG 20cm OHcmBCABcm10128，OCOBBCcm22221086CHOHOCcm1064CGOCOGcm61016故所求弓形的高为4cm或 16cm 【例 10】.，点有两条弦，过的直径cm3ADcm2=ACA2cmABO求： CAD所夹圆内部分的面积。解： 符合题设条件的图形有两种情况：（1）圆心 O在 CAD的内部，如图（1） ，连结 OC 、OD ，过

17、O作 OE AD于点 E OAOCAC12，OC AB SSSAOCBOC11211901360124扇形OAAEAD11232，OEOEOA132121222，即SSSAODBOD212123601360346扇形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 27 页优秀教案欢迎下载SSScm122124346234512（2）圆心 O在 DAC的外部时，如图（2） ，有：SSScm12212434623412所夹圆的内部的面积为：或CADcmcm2345122341222【例 11】.已知圆中，、为两条弦，的度数为，的度数为OA

18、BCDACBDoo13090,MNABCDMON、分别为、的中点，求的度数。分析： 由已知条件可知AB、CD弦的位置不确定，所以要分多种情况讨论，可分为四种情况。解： （1）当 AB 、CD不相交时，且AB、CD在圆心的两侧，如图（1）连结 OD 、OB 。M 、N分别是弦AB 、CD的中点， OD 、OB过圆心 O OMONABCD、的延长线平分、BOMmABDONmCD1212，BOMDONmABCD12()ACBD的度数为，的度数为13090CDAB 的度数为 36013090140BOMDON70BODmBD90MON9070160精选学习资料 - - - - - - - - - 名师

19、归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 27 页优秀教案欢迎下载图（ 1）（2）当 AB 、CD不相交，且在圆心O的同侧时，如图（2） ，连结 OB 、OC 同理可证，BOMmABCONmCD1212而MONBOMCONBOCmADCDBC121212()ADDCBCDCBC12121309020()()ACBD图（ 2）（3）当 AB 、CD相交于点 P，且圆心O在 DPA的内部时，如图（3） ， DPA是圆内角，则DPAmADBCACBD121236070()()OMPONPMON9018070110图（ 3）（4）当 AB 、CD相交于点 P，且圆心O在 DPA的外部时，如

20、图（4）DPAmADBCACBDONP12122090()()，又NQPMQOMON90207020，综上所述，的度数为或或。MON20110160精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 27 页优秀教案欢迎下载图（ 4）【例 12】. 已知： 如图， 圆心 A （0，-3 ） ，圆 A与 x 轴相切， 圆 B的圆心 B在 x 正半轴上，且圆 B与圆 A外切于点P。两圆内公切线MP交 y 轴于点 M ，交 x 轴于点 N： （1）求证 AOB NPB ； （2）设圆 A半径为 r1，圆 B半径为 r2，若 r1：r23：2，求

21、点 M 、N的坐标及公切线 MP的函数解析式； （3）设点 B（x1，0） ，点 B关于 y 轴的对称点B（ x2，0） ，若 x1x2-6 ，求过 B、 A、B三点的抛物线解析式； （4）若圆 A的位置大小不变，圆心B在 x 正半轴上移动，并始终有圆B与圆 A外切，过点M作圆 B的切线 MC ， C为切点， MC 3 3时， B点在 x 轴的什么位置？从你的解答中能获得什么猜想？解： （1）AO xMPABABONBP轴，AOBNPB（），2033AOAAP()又r rAP PB1232:PBABBO2553422，ABNBBOBPNBABBPBO52452ON45232点 的坐标为（， ）

22、N320由Rt APMRt AOB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 27 页优秀教案欢迎下载AMABM502，点的坐标为（，）设直线 MP的解析式为ykx b，则有，解得，20032432kbkbkbMPyx的函数解析式为432（3）设抛物线为yax2bxc（a 0）令 y0，则有 ax2 bxc 0 B与 B关于 y 轴对称，x1x20，即 b 0，又点 A（0， -3） ， C=-3 xxcaa1236a12抛物线的解析式为 yx1232（4） MC MP 可证 APM AOB MCMPBO3 3点的坐标为（， ）B

23、3 30猜想：圆心B在 x 轴的正半轴上任一位置时，都有切线MP的长等于点B的横坐标或四边形 MOBC 是长方形。【模拟试题】一. 选择题：（本题共 24 分，每小题4 分，每道题只有一个正确答案） 1. 已知 AB是 O的直径， 半径 EO AB于 O，弦 CD EO于 F点，若 CDB 120，则CD的度数为（） A. 10B. 15 C. 30 D. 60 2. 如图， 已知 O中， M是弦 CD的中点，N为弦 AB的中点，并且ACBD、的度数为 130、90，则 MON 的度数为（） A. 70B. 90 C. 130 D. 160 精选学习资料 - - - - - - - - - 名

24、师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 27 页优秀教案欢迎下载C M D B O N A 3. 已知 ABC中， a、 b、c 是 A、 B、 C的对边，若r 是内切圆半径，则ABC的面积可以表示为（） A. 14abc rB. 12abc r C. abc rD. 2 abc r 4. 已知两圆的半径分别为R、r ，且圆心距为d，若RdrRd2222，则这两圆的位置关系为（） A. 外离或外切B. 相交或内切 C. 外切或内切D. 内切或内含 5. 已知正多边形的边长为a 与外接圆半径R 之间满足12aR，则这个多边形是（） A. 正三边形B. 正四边形C. 正五边形D.

25、正六边形 6. 已知正方形ABCD 边长为 5，剪去四个角后成正八边形，则正八边形的边长为（） A. 522B. 522C. 5221D. 521二. 填空题：（本题共 16 分，每小题4 分） 7. 已知 ABC ，C90，B28，以 C为圆心， 以 CA为半径的圆交AB于 D，则AD的度数为 _。 8. 已知 ABC 内接于O， F、 E 是AB的三分之一点，若AFE 130，则C_度。 9. 已知PA 切 O 于 A， APO 30，若PA12 3，OP 交于 O 于 C，则PC_。 10. 两圆半径之比为2：1，大圆内接正六边形与小圆外切正六边形的面积比为_。三. 求解下列各题： （本

26、题共 18 分，每小题6 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 27 页优秀教案欢迎下载 11. 已知 AB是 O的直径，弦 CD AB于 E， 若弦 CD把 O分为 2： 1的两部分，且CD4 3，求 O的直径及AE长。 12. 已知等边 ABC内接于 O，E是BC上一点， AE交 BC于 D，若 BD ：DC 2：1，且 AB6，求 DE长。 13. 如图所示， AB是 O的弦， EF切 O于 B，AC EF于 C。求证：ABACAO22四. 解答题：（本题共 24 分，每小题8 分） 14. 如图所示， AB切 O

27、于 B，AE过 O点交 O于 E、C，过 C作 O切线交 AB于 D ，若ADBD2。求证：AEAB3 15. 如图所示， ABC中， A90， O是 BC上一点，以O为圆心的圆切AB 、AC于 D、E，若 AB3，AC4，求阴影部分的面积。 16. 如图所示， O与 O交于 A、B，过 A点任意作两圆的割线CAD ，若连结 CB 、DB ，问因割线 CAD的位置不确定，CBD的大小是否改变？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 27 页优秀教案欢迎下载五. 解答题：（本题共 18 分，每小题9 分） 17. 如图所示， P

28、A切 O于 A，PO交 O于 B、C，若ACCE，AE交 BC于 D，且 BEA30， DB 1，求 AP及 PB长。 18. 已知一块直径为30cm的圆形铁板， 已经截去直径分别为20cm，10cm的圆形铁板各一块。现在剩余的铁板中再截出两块同样大小的圆形，问这两个圆形的最大半径是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 27 页优秀教案欢迎下载 参考答案 一. 选择题。 1. D 2. D 3. B 提示：设 ABC的内切圆的圆心为O 连结 OA 、OB 、OC ，则 ABC可分割成三个三角形：ABO ， BCO ，

29、ACO 则SSSSABCABOBCOACO12121212a rb rc rabc r应选 B 4. C 提示：依题意，有：RRddr22220Rdr220RdrRdr0所以，Rdr0或Rdr0即Rrd，或Rrd两圆内切或外切 5. C 提示：正多边形的边数越多，则边长越小，而有RaR2因为aR6，aR42，所以aaa64则aaa654，是正五边形，应选C。 6. D 提示：如图所示，所截的四个角是全等的等腰三角形，且GE EFFH 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 27 页优秀教案欢迎下载A E F D G H B C

30、 设 EF x，则根据勾股定理，AEDFx22则有ADAEEFFD即xx2225x521521应选 D 二. 填空题。 7. 56 8. 75或 105提示：如图所示： AFE 130，ABE的度数为260则AE的度数为360260100oooF、E是AFB的三分之一点AFFEEBAFFEEBo50精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 27 页优秀教案欢迎下载CmAFBo150或Co105 9. 12 10. 3：1 如图所示，设大圆与小圆的半径为2r 和 r 则大圆内接正六边形的边长为2r ，小圆外切正六边形的边长为2 3

31、3r因为这两个正六边形相似，所以面积比等于边长比的平方即22 333122rr：三. 求解下列各题： 11. 解：如图，分两种情况：（1）点 E在 OA上； （2）点 E在 OB上（1）直径AB 弦 CD于 E，CD4 3根据垂径定理，有：CEED2 3 A、B分别为CAD和CBD的中点CD把 O分成 2： 1两部分CD的度数为120，CBD的度数为240精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 27 页优秀教案欢迎下载连结 BC ，则BmACoo12601230在Rt BCE中，BECEocot 303 236CEAE EBA

32、ECEEBABAEEB2222 3628（2）当点 E在 OB上时， AE 6 直径为 8，AE 6 或 2 12. 解法一：如图（1） ， ABC是等边三角形，AB6 图（ 1）BC AB AC6， B ACB 60BD ：DC 2：1 BD 4，CD 2 AD DE BDCD 8 连结 CE ， B E60 ACB E CAD是公共角 ACD AEC ACADAEAD ADDEADADDE2236ADADDEBD CDAD2282 782 7477，解法二：如图（2） ，过 A作 AG BC于 G 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

33、 21 页，共 27 页优秀教案欢迎下载图（ 2） ABC是等边三角形，BC 6 CG GB 3 由解法一得：CD 2，BD4 DG 1 在Rt AGB中，AGABBG2222633 3在Rt ADG中，ADAGDG22223 312 7根据相交弦定理，有：DE ADCD BDDECD BDAD282 74 77 13. 证明一：延长AD交 O于 D，连结 BD ，如图（ 1）AD是直径，ABD 90， 2AO AD EF切 O于 B 1 D AC EF于 C C ABD 90精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 27 页优

34、秀教案欢迎下载 ABC ADB ACABABAD即ABAC ADAC AO22证明二：延长AC至 M ，使 CM AC ，连结 BM 、OB 图（ 2）BC AC ，ACCM MB AB M 2 OA OB 3 4 EF切 O于 B OB EF AC OB 2 3 2 3 4 M MBOBABOAMBABOAMBABOAABAOAMABABAM AOAC AO，22四. 解答题。 14. 证明：如图，依题意，设BD x，则 AD 2x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 27 页优秀教案欢迎下载AB 、CD切 O于 B、C

35、点BD CD x，OC CD ACD 90ACADCDxxx222223AB是切线， ACE是割线ABAC AE2即3332xxxCECExAEACCExABxAEAB2 33 333， 15. 解：如图，连结OD ，OE AB 、AC切 O于 D、E OD AB ，OE AC ，AD AE A 90四边形 ADOE 是正方形 DOE 90设 AD OE x DE AD ，AB3，AC 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 27 页优秀教案欢迎下载OEABECACACAEACxx344解得：x127SSSADOEDOE阴

36、影正方形扇形12790127360144364922 16. 解：大小不改变 C所对的弧为AmBD所对的弧为AnB C 、 D的度数不变在 BCD中，BCDo180不变五. 解答题。 17. 解：如图，连结AB ACCE，BC是直径根据垂径定理的推论，可知：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 27 页优秀教案欢迎下载 ADBC ，AD DE ，ABBE BEA 30 DAB E BAP 30在Rt ADBBD，1ABBDADABBD22322，AD BC ，BC为直径ADBD CD2，即312CDCDBCDAPADPAPA

37、DPBAPPBABAPPBoooo346090603122 33022 32，cos 18. 解：如图（ 1） ：图（ 1）依题意有：O1的直径为10cm ，则半径为5cm O2的直径为20cm ，则半径为10cm O的直径为30cm ，则半径为15cm 设 O与 O1， O2， O3相切，半径为r 延长 OO3交 O于 B，则：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 27 页优秀教案欢迎下载OOrOOOOO OrO OrO O31213231215155101510551010515，则此题转化为解三角形问题，如图（2） ：图（ 2）设O Aa1，则OAOOO Aa1110O AOAa2515在Rt O AO13和Rt OAO3中，有：O OO AO OOA13212322在Rt O AO13和Rt O AO23中，有：O OO AO OO A1321223222rararara515105101522222222整理得：rrarra51510020151022530222221322得：140600rr307答：这两个圆形的最大半径是307cm。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 27 页