2022年中考数学第一轮复习第16讲《直角三角形》专题训练含答案 .pdf

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1、第 16 讲直角三角形考纲要求命题趋势1 了解直角三角形的有关概念，掌握其性质与判定2掌握勾股定理与逆定理，并能用来解决有关问题.直角三角形是中考考查的热点之一， 题型多样， 多以简单题和中档难度题出现，主要考查直角三角形的判定和性质的应用， 以及运用勾股定理及其逆定理来解决实际问题的能力. 知识梳理一、直角三角形的性质1直角三角形的两锐角_2直角三角形中，30 角所对的边等于斜边的_3直角三角形斜边上的中线等于斜边的_4勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方二、直角三角形的判定1有一个角等于_的三角形是直角三角形2有两角 _的三角形是直角三角形3如果三角形一边上的中线等于这边的_

2、，则该三角形是直角三角形4勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的_，那么这个三角形是直角三角形自主测试1在 ABC 中，若三边BC，CA，AB 满足 BC: CA: AB5: 12: 13，则 cos B() A512B125C513D12132如图，在ABC 中， DE 是中位线，ABC 的平分线交DE 于 F，则 ABF 一定是 () A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等边三角形3下列各组数据分别为三角形的三边长：2,3,4； 5,12,13；2，3，4； m2n2，m2n2， 2mn.其中是直角三角形的有() ABCD考点一、直角三角形的判定【例 1】如图，在 AB

3、C 中， ABAC， BAC90 ，点 D 为边 BC 上的任一点，DFAB于 F，DEAC 于 E，M 为 BC 的中点，试判断MEF 的形状，并证明你的结论分析： 连接 AM，可得 AM BM，然后证明 BFM AEM，得到 FM ME，EMF 90 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页解： MEF 是等腰直角三角形连接 AM ， BAC90 ，AM 是斜边 BC 的中线， MA MB MC，MA BC. ABAC， BBAMMAE45 . DF AB，DEAC， AFD AEDFAE90 ，四边形 DFAE

4、是矩形， FD EA. 又FBFD，FBEA， BFM AEM (SAS)， FM EM，BMF AME . AMF BMF 90 ， EMF AMF AME 90 ， MEF 是等腰直角三角形方法总结证明一个三角形是直角三角形的方法比较多，最简捷的方法就是求出一个角等于 90 ，也可以利用三角形一边上的中线等于这边的一半，或者利用勾股定理的逆定理证得触类旁通1 具备下列条件的ABC 中，不能成为直角三角形的是() A A B12CB A90 CC A B CD A C90考点二、直角三角形的性质【例 2】两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1 所示放置，图2 是由它抽象出的几何图形， B，

5、C，E 在同一条直线上，连接DC. (1)请找出图2 中的全等三角形，并给予证明(说明：结论中不得含有未标识的字母)；(2)证明： DCBE. (1)解： 图 2 中ABE ACD. 证明如下： ABC 与AED 均为等腰直角三角形， ABAC，AEAD，BACEAD90 . BACCAEE ADCAE，即BAECAD. 又ABAC，AEAD，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页 ABE ACD. (2)证明： 由(1) ABE ACD 知ACD ABE 45 . 又ACB45 ， BCD ACBACD90 ， DCB

6、E. 方法总结直角三角形除具有两锐角互余、两直角边的平方和等于斜边的平方、斜边的中线等于斜边的一半这些性质外，还具有外接圆半径等于斜边的一半，内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半，它的外心是斜边的中点，垂心是直角顶点等性质考点三、勾股定理及其逆定理【例 3】 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC6 cm， BC8 cm，现将直角边AC沿直线 AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求 CD 的长解： 设 CD 长 为 x cm，由折叠得 ACD AED. AEAC6 cm，AEDC90 ， DECDx cm. 在 RtABC 中， AC6 cm，BC8 cm， ABAC2BC

7、26282 10(cm) EBABAE 1064(cm) ，BDBCCD(8x) cm，在 RtDEB 中，由勾股定理得DE2BE2DB2. x242(8x)2，解得 x 3. CD 的长为 3 cm. 方法总结1勾股定理主要的用途是已知直角三角形的两边求第三边，当我们只知道直角三角形的一边时，如果可以找到另外两边的关系，也可通过列方程的方法求出另外两条边2勾股定理逆定理主要是已知一个三角形的三边，判断三角形是否为直角三角形触类旁通2 如图，在四边形ABCD 中， A90 ，AB3，AD 4，CD13，CB12，求四边形ABCD 的面积考点四、勾股定理及其逆定理的实际应用【例 4】 如图所示，

8、铁路上A，B 两站 (视为直线上两点)相距 14 km ，C， D 为两村庄 (可视为两个点 )，DA AB 于 A，CBAB 于 B，已知 DA8 km ，CB6 km ，现要在铁路上建一个土特产品收购站E，使 C，D 两村到 E 站的距离相等，则E 站应建在距A 站多少千米处？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页分析： 因为 DAAB 于 A，CBAB 于 B，在 AB 上找一点可构成两个直角三角形，我们可想到通过勾股定理列方程进行求解解： 设 E 站应建在距A 站 x km 处，根据勾股定理有82x262(14x

9、)2，解得 x6. 所以 E 站应建在距A 站 6 km 处方法总结勾股定理及其逆定理的实际应用，是把实际问题转化为数学问题，建立勾股定理或逆定理的数学模型通过解决数学问题，使实际问题得以解决触类旁通3 有一块直角三角形的绿地，量得两直角边的长分别为6 m，8 m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8 m 为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长1(2012 广东广州 )在 RtABC 中， C90 ， AC9，BC12，则点C 到 AB 的距离是() A365B1225C94D3342(2012 浙江湖州 )如图，在 RtABC 中， ACB90 ，AB10，CD 是 A

10、B 边上的中线，则 CD 的长是 () A20 B10 C5 D523(2012 浙江宁波 )勾股定理是几何中的一个重要定理在我国古算书周髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载如图1 是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理图2 是由图1 放入矩形内得到的，BAC90 ，AB 3，AC4，点 D，E，F，G，H，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为 () 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页A90 B100 C110 D121 4(2012 山东烟台 )一副三角板叠在

11、一起如图放置，最小锐角的顶点D 恰好放在等腰直角三角板的斜边AB 上， BC 与 DE 交于点 M.如果 ADF 100 ，那么 BMD 为_ . 5(2012 四川巴中 )已知 a，b，c 是 ABC 的三边长，且满足关系式c2a2b2|ab|0，则 ABC 的形状为 _6(2012 重庆 )如图，在RtABC 中， BAC90 ，点 D 在 BC 边上，且 ABD 是等边三角形若AB2，求 ABC 的周长 (结果保留根号) 1如图所示，将一个有45 度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm 的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30 度角，则

12、三角板的最大边的长为() A3 cm B6 cm C32cm D62cm 2在 ABC 中，三边长分别为a，b，c，且 a c2b，ca12b，则 ABC 是() A直角三角形B等边三角形C等腰三角形D等腰直角三角形3一个直角三角形两边的长分别为15,20，则第三边的长是() A57 B25 C57或 25 D无法确定4如图，在RtABC 中，以三边AB，BC，CA 为直径向外作半圆，设直线AB 左边阴影部分的面积为S1，右边阴影部分的面积和为S2，则 () AS1S2BS1S2CS1S2D无法确定5直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8，现将 ABC 如图那样折叠，使点A 与点 B 重合，折

13、痕为DE，则CEBC的值是 () 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页A247B73C724D136如图，在RtABC 中， ACB90 ，点 D 是斜边 AB 的中点， DEAC，垂足为E，若DE2，CD25，则 BE 的长为 _ 7如图，已知等腰RtABC 的直角边长为1，以 RtABC 的斜边 AC 为直角边，画第二个等腰 RtACD，再以 RtACD 的斜边 AD 为直角边，画第三个等腰RtADE ，依此类推直到第五个等腰RtAFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为_8如图，已知点D 为等腰RtAB

14、C 内一点， CAD CBD15 ，E 为 AD 延长线上的一点，且CECA. (1)求证： DE 平分 BDC；(2)若点 M 在 DE 上，且 DCDM，求证： MEBD. 参考答案导学必备知识自主测试1C BC2 CA2AB2， C 90 ，cos BBCAB513. 2B3D 探究考点方法触类旁通1 D 触类旁通2解： 在 RtABD 中， BDAD2AB242 32 5，在BCD 中， CD13，CB 12，BD5， CB2BD2CD2. DBC 90 . S四边形ABCDSABDSDBC12AB AD12BC BD123412125 63036. 触类旁通3 解： 在 RtA BC

15、 中， AC8，BC 6，由勾股定理得，ABAC2BC210，扩充部分为RtACD ，扩成等腰三角形ABD，应分以下三种情况：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页(1)如图 1，当 ABAD10 时，可求得CDCB6，故 ABD 的周长为32 m. (2)如图 2，当 AB BD10 时，可求得CD4，由勾股定理得ADAC2CD245，故ABD 的周长为 (2045) m. (3)如图 3，当 AB 为底时，设ADBDx，则 CDx6，由 勾股定理得 (x6)282x2，则 x253，故 ABD 的周长为803m. 品

16、鉴经典考题1A根据题意画出相应的图形，如图所示：在 RtABC 中， AC9，BC12，根据勾股定理得：ABAC2 BC215. 过点 C 作 CDAB，交 AB 于点 D，又 SABC12AC BC12AB CD， CDAC BCAB91215365，则点 C 到 AB 的距离是365. 2C在 Rt ABC 中，ACB90 ，AB10，CD 是 AB 边上的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，则CD 的长是 5. 3C如图，延长AB 交 KF 于点 O，延长 AC 交 GM 于点 P，所以，四边形AOLP 是正方形，边长 AOABAC347，精选学习资料 - - - - - - -

17、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页所以， KL3710，LM47 11，因此，矩形KLMJ 的面积为1011110. 故选 C. 485 ADF 100 ，EDF 30 ，MDB 180 ADF EDF 180 100 3050 ， BMD 180 BMDB 180 45 50 85 . 5等腰直角三角形由题意得：c2a2 b2 0，ab0，c2a2b2，ab，则 ABC的形状为等腰直角三角形6解： ABD 是等边三角形， B60 . BAC90 ， C180 90 60 30 ， BC2AB4. 在 RtABC 中，由勾股定理得：ACBC2 AB2422

18、2 23，ABC 的周长为ACBCAB2342 623. 研习预测试题1D 2A由 ac2b，ca12b，可得 c54b，a34b，于是得a2b2c2，所以 ABC 是直角三角形3C4 A 5C由折叠性质可知，AEBE，设 CE 为 x，则 BE8x. 在 RtBCE 中， 62x2 (8 x)2，所以 x74. 故CEBC746724. 642点 D 是 AB 的中点， ACB 90 ，DEAC， CD12AB，DE12BC，AB 45， BC4. 在 RtACB 中， ACAB2BC28，CE12AC4. CEBC4，ACB90 ，BE42. 7312根据题意易知CDAC2，ADDE(2)

19、22，EFAE22，AFFG2224，AG42，所以所求图形的面积SSABCS梯形 ACDES梯形 AEFG121112(222)212(2242) 2212312312. 8证明： (1) 在等腰 RtABC 中， CADCBD15 ， BAD ABD45 15 30 . BDAD. BDC ADC. DCA DCB45 . 由BDM ABDBAD30 30 60 ， EDCDAC DCA 15 45 60 ， BDM EDC. DE 平分BDC. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页(2)如图，连接MC. DCDM ，且MDC 60 ， MDC 是等边三角形，即CMCD. 又 EMC 180 DMC 180 60 120 ，ADC180 MDC 180 60 120 ， EMC ADC. 又CECA， DAC CEM 15 . ADC EMC . MEADDB. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页