最新向量法求异面直线的夹角、线面角和二面角的平面角及距离[1]精品课件.ppt

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1、向量法求异面直线的夹角、向量法求异面直线的夹角、线面角和二面角的平面角线面角和二面角的平面角及距离及距离112、求直线和求直线和平面所平面所成的角成的角CBn设直线设直线BA与平面与平面的夹角为的夹角为，n 为平面为平面的的法向量法向量,Ag g1 1n 与向量与向量BA 的夹角为锐角的夹角为锐角g g1 1当当12g=CBAng g2 2n 与向量与向量BA 的夹角为钝角的夹角为钝角g g2 2当当22g=ababAB只需在两条异面直线只需在两条异面直线a 、 b上上分别任取一点分别任取一点A、B。 设与设与a 、 b的方向向量都垂直的的方向向量都垂直的向量为向量为n 则则nn a =0n

2、b =0 a、b之间的距离之间的距离| |AB n| |nd=3、求两条异面直线的距离、求两条异面直线的距离1GKFEAB1C1D1CDBAzyx例例1：棱长为：棱长为1的正方形的正方形ABCDA1B1C1D1中中,E,F,G,K分别是分别是棱棱AD,AA1,A1B1 , D1D的中点，的中点，求求A1D与与CK的夹角；的夹角；求点求点B到平面到平面EFG的距离；的距离；二面角二面角GEFD1的大小的大小（用三角函数表示）（用三角函数表示） DD1与平面与平面EFG所成的角；所成的角； （用三角函数表示）（用三角函数表示）求求A1D与与CK之间的距离。之间的距离。解：以解：以D为坐标原点为坐标

3、原点DA , DC , DD1 为单位正为单位正交基底建立直角坐标系。交基底建立直角坐标系。GKFEA1B1C1D1CDBAzyxA1(1,0,1)D(0,0,0)C(0,1,0)21, 0 , 0KDA1=(1,0,1)21, 1, 0CK , CKcosDA1=| |CK| |DA1CKDA14112211010 DA1 与与CK的夹角为的夹角为1010arccos求点求点B到平面到平面EFG的距离；的距离；zyxGKFEA1B1C1D1CDBA，0 , 0 ,21E，21, 0 , 1F.1 ,21, 1G，21, 0 ,21EF1 ,21,21EG设面设面EGF的的法向量法向量=(x,

4、 y, z)nn EG=0n EF=00212102121zyxzx即令令x=1,得得=(1, 1,1)n0 , 1,21BE而点点B到平面到平面EFG| |BE n| |nd=312123二面角二面角GEFD1的大小的大小（用三角函数表示）（用三角函数表示）zyxGKFEA1B1C1D1CDBA由知面由知面GEF的法向量的法向量=(1, 1,1)n而面而面DAD1A1法向量法向量DC =(0, 1,0), , cosDCnDCnDCn3331在二面角在二面角GEFD1内内是指向面是指向面GEFnDC 是背离平面是背离平面DAD1A1二面角二面角GEFD1为为33arccos DD1与平面与平

5、面EFG所成的角；所成的角； （用三角函数表示）（用三角函数表示）zyxGKFEA1B1C1D1CDBA由知面由知面GEF的法向量的法向量=(1, 1,1)nDD1=(0,0,1) , cosDD1n11DDnDDn31 , DD1n33arccos DD1与平面与平面EFG所成的角为所成的角为33arccos233arccos2求求A1D与与CK之间的距离。之间的距离。GKFEA1B1C1D1CDBAzyx2110，CKA1D=(1,0 ,1)DAn1令CKn =(x, y, z)n且设且设001DAnCKn由0021zxzy得令令x=2,得得=(2, 1, 2)nGKFEA1B1C1D1C

6、DBAzyx=(2, 1, 2)n2100 ，DKA1D与与CK之间的距离之间的距离| |DK n| |nd=9131例例2 正四棱柱正四棱柱ABCDA1B1C1D1中底面边长为中底面边长为4,侧棱长为侧棱长为5,P为为CC1上的任意一点上的任意一点.求证求证:BDAPC1P=2,求二面角求二面角AB1PB的正切值。的正切值。zyxA1B1C1D1CDBAP证明：以证明：以D为坐标原点建立如图所示为坐标原点建立如图所示坐标系。坐标系。A(4,0,0) ,B(4,4,0) D(0,0,0)由已知可知由已知可知P(0,4,z)APBD=(4, 4, z ),=(4,4, 0 ),AP BD=161

7、6=0 AP BD AP BDC1P=2,求二面角求二面角AB1PB的正切值。的正切值。解：解：P(0, 4,3) B1(4,4,5)zyxA1B1C1D1CDBAPAP=(4, 4,3)PB1=(4, 0,2)令平面令平面APB1的法向量为的法向量为=(x, y, z)n0240344zxzyx得n n AP=0PB1=0由由令令x =2 得得=(2, 5, 4 )n而面而面BCPB1的法向量为的法向量为CD的方向向量的方向向量=(0, 1, 0 )m , cosmn45535在二面角在二面角AB1PB内是指向平面内是指向平面APB1nzyxA1B1C1D1CDBAP在二面角在二面角AB1P

8、B内是指向平面内是指向平面APB1nm在二面角在二面角AB1PB内是背离平面内是背离平面BCPB1故二面角故二面角AB1PB的平面角为的平面角为 , mn不妨令二面角不妨令二面角AB1PB的平面角为的平面角为tan1,cos12mn552二面角二面角AB1PB的正切值为的正切值为552例例3 在三棱锥在三棱锥DABC中中,底面底面ABC是等腰直角三角形是等腰直角三角形,侧面侧面DBC是等边三角形是等边三角形,平面平面DBC平面平面ABC,AB=AC=4,E,F分别为分别为 BD,AD中点。中点。求二面角求二面角FCED的大小；的大小；求点求点B到平面到平面CEF的距离；的距离；直线直线CE与平

9、面与平面ABC所成的角；所成的角；O解：找解：找BC的中点的中点O,连连AO,DOABC是等腰三角形是等腰三角形AOBC于于ODOBC于于ODO面面ABC故可以以故可以以O为坐标原点为坐标原点OA、OC、OD分别为分别为x,y,z轴建立如图所示的直角坐标系轴建立如图所示的直角坐标系zyxBFEDACABCOxy0 , 0 ,22A0 ,22, 0,B0 ,22 , 0C62 , 0 , 0D6,2, 0 E6, 0 ,2FxOzyBFEDACABCOxy0 , 0 ,22A0 ,22, 0,B0 ,22 , 0C62 , 0 , 0D6,2, 0 E6, 0 ,2F0 ,2,2EF6,23,

10、oCE设面设面EFC的的法向量法向量=(x, y, z)nn CE=0n EF=0由由0623022zxyx得令令 x =13, 1, 1n得因因OA面面BCD,故故的方向向量OA=(1, 0, 0)为面为面BCD的一个法向量的一个法向量mmn,cos5155xOzyBFEDAC3, 1, 1nm =(1, 0, 0)mn,cos5155在二面角在二面角FCED内内3, 1, 1n指向面指向面EFC,nm 在二面角在二面角FCED内是背离面内是背离面BCD二面角二面角FCED的大小等于的大小等于mn,即二面角即二面角FCED的大小为的大小为55arccos求点求点B到平面到平面CEF的距离；的距离；xOzyBFEDAC解：由知平面解：由知平面CEF的法向量为的法向量为3, 1, 1nBC0 ,22, 0 B0 ,22 , 0C0 ,24 , 0点点B到平面到平面CEF的距离的距离nnBCd5245104直线直线CE与平面与平面ABC所成的角；所成的角；xOzyBFEDACm =(0, 0,1)平面平面ABC的法向量为的法向量为6,23, oCE又mCE,cos2262362160,mCE直线直线CE与平面与平面ABC所成的角所成的角3025结束语结束语