最新同济大学第五版高等数学下课件D84复合求导ppt课件.ppt

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1、)(),(ttfz一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则定理定理. 若函数,)(, )(可导在点ttvtu),(vufz 处偏导连续, ),(vu在点在点 t 可导, tvvztuuztzddddddz则复合函数证证: 设 t 取增量t ,vvzuuzz)()(22vu)(o则相应中间变量且有链式法则vutt机动 目录 上页 下页 返回 结束 有增量u ,v ,例例3. 设 ,sintvuz.ddtzztvutttzddtevtttetcos)sin(costuuzddtvvzddtz求全导数,teu ,costv 解解:tusintcos注意：多元抽象复合函数求导在偏微

2、分方程变形与机动 目录 上页 下页 返回 结束 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.为简便起见 , 引入记号,2121vuffuff ),(1zyxzyxf例例4. 设 f 具有二阶连续偏导数, ),(zyxzyxfw求.,2zxwxw解解: 令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy则zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 2221,ff机动 目录 上页 下页 返回 结束 (当 在二、三象限时, )xyarctan例例5.

3、 设二阶偏导数连续,求下列表达式在),(yxfu 222222)2(,)()() 1 (yuxuyuxu解解: 已知sin,cosryrxuryxyx极坐标系下的形式xrruxu(1), 则xyyxrarctan,22rxru,rxxr x2xy2)(1xy22yxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 xu2ryururusincosyuyrru2221)(1,yxxyryyrxyxrurucossinyu22222)(1)()()(urruyuxu题目 目录 上页 下页 返回 结束 ryru2rxuuryxyx 已知rsin) (rurusincos)(xux 22)2(xururuxusi

4、ncosuryxyx) (rxu) (xururusincos222cosru2cossinrucosrsinxurrucossin22222sinru2rru2sin2cos) (r注意利用注意利用已有公式已有公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 22yu2222yuxu21r22xu22222222sincossin2cosrurrururruru22sincossin2rruru22coscossin2同理可得22ru2221urrur 122)(ururrr22222222coscossin2sinrurruru题目 目录 上页 下页 返回 结束 二、多元复合函数的全微分二、多元复合

5、函数的全微分设函数),(, ),(, ),(yxvyxuvufz的全微分为yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, )dd(yyuxxu)dd(yyvxxv则复合函数) (fz ),(, ),(yxyxudvzvd都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 )cos( )sin(yxyxeyx例例1 .,sinyxvyxuvezu.,yzxz求例例 6. 利用全微分形式不变性再解例1. 解解:) (dd zuveudsin)cos()si

6、n(yxyxyeyx)cos()sin(yxyxyexzyx)cos()sin(yxyxxeyzyx所以veusinvveudcos )cos( )sin(yxyxeyx)(dyx)(dyx )cos()sin(yxyxxeyx)d(dyx xdyd)dd(yxxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 复合函数求导的链式法则“分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导”例如例如, ),(, ),(yxvvyxfuuvyxyxxu1f 3f;1yu2f 3f22. 全微分形式不变性, ),(vufz 对不论 u , v 是自变量还是因变量,vvufuvufzvud),(d)

7、,(d机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习解答提示解答提示:P31 题7vz2)(11yx1 vxxzyzvy)(2yx) 1(y12)(11yx22yxxy22vuuP31 题7; 8(2); P73 题11机动 目录 上页 下页 返回 结束 vuyvuxyxz,arctanP31 题8(2)xuy11f 11fyyu1f )(2yx2f z1zu2f )(2zy2121fzfyx22fzy机动 目录 上页 下页 返回 结束 zyyxfu,1f xzye1f 2f yxz2ye11f yex2ye13f yex21f 23f 作业作业 P31 2; 4; 6; 9; 10

8、; 12(4); 13 P73题 11第五节 目录 上页 下页 返回 结束 yexuyxufz, ),(备用题备用题,1),(2xyyxf,2),(21xyxfxy1. 已知求.),(22xyyxf解解: 由1),(2xxf两边对 x 求导, 得02),(),(2221xxxfxxfxxxf2),(211),(22xxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. ) )1 , 1(, 1() 1 (ff1)(dd3xxx1)1 , 1 ( f1dd)(32xxx3),(,(1xxfxf ),(,(2xxfxf ),(1xxf ),(2xxf 1x 351, 1)1 , 1(f,),(,()(xxfxfx ,2) 1 , 1 (xf求.1)(dd3xxx),(yxfz 在点)1 , 1(处可微 , 且设函数,3) 1 , 1 (yf解解: 由题设23)32( (2001考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束