最新同济高数第十章第二节精品课件.ppt

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1、同济高数第十章第二节同济高数第十章第二节2022-7-62第二节第二节 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛（任意项级数（任意项级数）2022-7-69定理定理3 3 （比较审敛法的极限形式）（比较审敛法的极限形式）设设 = =1nnu与与 = =1nnv都是都是正项正项级级数数, , 如果如果则则(1) (1) 当当时时, , 二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性; ; (2) (2) 当当时，若时，若收敛收敛, , 则则收敛收敛; ; (3) (3) 当当

2、时时, , 若若 = =1nnv发散发散, , 则则 = =1nnu发散发散; ;,limlvunnn= = l00= =l = =l = =1nnv = =1nnu2022-7-610证明证明lvunnn= = lim)1(由由, 02 = =l 对对于于,N ,时时当当Nn 22llvullnn )(232Nnvluvlnnn 即即由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论, 得证得证.(2)(3)与与的的证证明明类类似似. .3.例例判判别别下下列列正正项项级级数数的的收收敛敛性性111(1)(2)tan2nnnnn = = = 2022-7-611设设 = =1nnu为正项级数为正项级数,

3、,2022-7-612解解)1(nnnn3131lim nnn11sinlim = =, 1= =原级数发散原级数发散.)2(nnn1sinlim nnn311lim = = , 1= =,311收敛收敛 = =nn故原级数收敛故原级数收敛.2022-7-613收敛收敛 当当 1(或或 =)时级数发散时级数发散 当当 = =1时级数可能收敛时级数可能收敛也可能发散也可能发散 设=1nnu为正项级数 如果=nnnuu1lim 则当1时级数 定理定理5(比值审敛法或比值审敛法或 达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法) 证明证明,为为有有限限数数时时当当 , 0 对对,N ,时时当当Nn ,1 nnuu有有

4、)(1Nnuunn 即即2022-7-614,1时时当当 ,1时时当当 ,1 取取, 1 = =r使使,11 NmmNuru,12 NNruu,1223 NNNurruu,111 = = mNmur收收敛敛而而级级数数,11收敛收敛 = = = = = =NnnmmNuu收敛收敛, 1 取取, 1 = = r使使,时时当当Nn ,1nnnuruu . 0lim nnu发散发散2022-7-615比值审敛法的优点比值审敛法的优点: 不必找参考级数不必找参考级数. . 两点注意两点注意:,11发发散散级级数数例例 = =nn,112收收敛敛级级数数 = =nn)1(= = 2022-7-616,2

5、32)1(2nnnnnvu= = = =例例,2)1(211收敛收敛级数级数 = = = = = =nnnnnu,)1(2(2)1(211nnnnnauu= = = = 但但,61lim2= = nna,23lim12= = nna.limlim1不不存存在在nnnnnauu = =2 2. .条条件件是是充充分分的的, ,而而非非必必要要. .2022-7-617解解)1(11(1)!limlim1!nnnnunun = =1lim011nn = = = .!11收敛收敛故级数故级数 = =nn2022-7-618)2(11(1)! 10limlim10!nnnnnnunun =1lim10

6、nn = = = .10!1发发散散故故级级数数 = =nnn)3()22()12(2)12(limlim1 = = nnnnuunnnn, 1= =比值审敛法失效比值审敛法失效, 改用比较审敛法改用比较审敛法,12)12(12nnn ,112收敛收敛级数级数 = =nn.)12(211收收敛敛故故级级数数 = = nnn2022-7-619设设 = =1nnu是是正正项项级级数数, ,如如果果 = = nnnulim)( 为为数数或或 , ,则则1 时时级级数数收收敛敛; ;,1 ,1 = =nnn设级数设级数例如例如nnnnnu1= =n1= =)(0 n级数收敛级数收敛.1 时时级级数数

7、发发散散; ; 1= = 时时失失效效. .2022-7-62001lim 1lim lim =nnunnnnnnn所以所以 根据根值审敛法可知所给级数收敛根据根值审敛法可知所给级数收敛 因为因为 解解 01lim 1lim lim =nnunnnnnnn01lim 1lim lim =nnunnnnnnn 例例6判别下列正项级数的敛散性判别下列正项级数的敛散性11nnn = = 1）1）2）12( 1)2nnn = = 21) 1(221limlim=nnnnnnu21) 1(221limlim=nnnnnnu21) 1(221limlim=nnnnnnu 2）因为因为 所以所以 根据根值审

8、敛法可知所给级数收敛根据根值审敛法可知所给级数收敛 2022-7-621二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法 交错级数的一般形式为=11) 1(nnnu 其中0nu 定理定理7(7(莱布尼茨定理莱布尼茨定理) ) 如果交错级数=11) 1(nnnu满足条件 (1)un un 1(n= =1 2 3 ) (2)0lim=nnu 则级数收敛则级数收敛 且其和且其和0 s u1 其余项其余项rn的绝对值的绝对值|rn| un 1 定义定义: : 正、负项相间的级数称为交错级数正、负项相间的级数称为交错级数. .2022-7-622证明证明nnnnuuuuuus212223212)()( =

9、= 又又)()()(21243212nnnuuuuuus = = 1u , 01 nnuu.lim12ussnn = = , 0lim12= = nnu,2是是单单调调增增加加的的数数列列ns,2是有界的是有界的数列数列ns2022-7-623)(limlim12212 = =nnnnnuss, s= =1,.ssu 级级数数收收敛敛于于和和且且0 0),(21 = = nnnuur余项余项,21 = = nnnuur满足收敛的两个条件满足收敛的两个条件,.1 nnur定理证毕定理证毕.2022-7-624解解2)1(2)1()1( = = xxxxx)2(0 x,1单调递减单调递减故函数故函

10、数 xx,1 nnuu1limlim = = nnunnn又又. 0= =原级数收敛原级数收敛.2022-7-625三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛定定理理 若若 = =1nnu收收敛敛, ,则则 = =1nnu收收敛敛. .证明证明), 2 , 1()(21= = = =nuuvnnn令令, 0 nv显显然然,nnuv 且且,1收收敛敛 = =nnv),2(11 = = = = = =nnnnnuvu又又 = =1nnu收收敛敛.上定理的作用：上定理的作用：任意项级数任意项级数正项级数正项级数2022-7-6262022-7-627解解,1sin22nnn ,112收敛收敛而而

11、= =nn,sin12 = =nnn收敛收敛故由定理知原级数绝对收敛故由定理知原级数绝对收敛.2022-7-6285 () 定定理理比比值值审审敛敛法法1lim()nnnuu = = 如如果果为为数数或或则则1(1)1,;nnu = = 当当时时 级级数数绝绝对对收收敛敛1(2)1(),;nnu = = 当当或或为为时时 级级数数发发散散1(3)1,;nnu = = = = 当当时时 级级数数可可能能收收敛敛也也可可能能发发散散() 定定理理6 6 根根值值审审敛敛法法、柯柯西西判判别别法法(), 为为数数或或则则limnnnu = = 如如果果1(1)1,;nnu = = 当当时时 级级数数

12、绝绝对对收收敛敛1(2)1(),;nnu = = 当当或或为为时时 级级数数发发散散1(3)1,;nnu = = = = 当当时时 级级数数可可能能收收敛敛也也可可能能发发散散2022-7-629小结小结正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数审审敛敛法法1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;,则则级级数数收收敛敛若若SSn;, 0,则级数发散则级数发散当当 nun2022-7-630思考题思考题 设正项级数设正项级数 = =1nnu收敛收敛, , 能否推得能否推得 = =12nnu收敛收敛? ?反之是否成立反之是否成立? ?2022-7-631思考题解答思考题解答由由正正项项级级数数 = =1nnu收收敛敛，可可以以推推得得 = =12nnu收收敛敛,nnnuu2lim nnu = = lim0= =由比较审敛法知由比较审敛法知 收敛收敛. = =12nnu反之不成立反之不成立.例如：例如： = =121nn收敛收敛, = =11nn发散发散.