最新向量代数与空间解析几何12077ppt课件.ppt

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1、向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：以以1M为为起起点点，2M为为终终点点的的有有向向线线段段.1M2M a21MM模长为模长为1 1的向量的向量. .21MM00a零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量. .0|a21MM| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .单位向量：单位向量：1、向量的概念、向量的概念或或或或或或同同方方向向的的单单位位向向量量，表表示示与与非非零零向向量量设设aa0按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，0|aaa .|0aaa 3. 3. 向量的坐标向量的坐标1. 空间直角坐标系 M(x,y,

2、z)ozxyzxy x轴(横轴)、 y轴(纵轴)、z轴(竖轴)组成了一个空间直角坐标系, 点M和向量OM的坐标为（x,y,z)和x,y,zo,121xxPM ,12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM 空间两点间距离公式空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为特殊地：若两点分别为,),(zyxM)0 , 0 , 0(OOMd .222zyx xyzo 1MPNQR 2M空间两点间的距离空间两点间的距离解解设设P点坐标为点坐标为),0 , 0 ,(x因因为为P在在x轴轴上上， 1PP 22232 x,112 x 2PP 22211 x, 2

3、2 x 1PP,22PP112 x222 x, 1 x所求点为所求点为).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( ouAB1轴轴同同方方向向的的单单位位向向量量，是是与与设设ue.)(eABAB e1 向量在轴上的投影与投影定理向量在轴上的投影与投影定理证证,1uOA ,1euOA 故故eueu12 .)(12euu ouAB1e1u2u,2euOB 同理，同理，OAOBAB 于是于是ABjuPr.BA 向向量量AB在在轴轴u上上的的投投影影记记为为投影定理投影定理ABjuPr cos|AB uABA B B u 定理定理1 1xyzoPNQR2M以以kji,分分别别表表示示沿沿zyx,

4、轴轴正正向向的的单单位位向向量量.ijkoMxiyjzk2 向量的分解与向量的坐标向量的分解与向量的坐标 起点不在原点O的任一向量 a = M1M2设点 M1 (x1, y1 , z1), M2 (x2, y2 , z2)a = M1M2 = OM2 OM1= (x2 i+ y2 j + z2 k) (x1 i + y1 j + z1 k) = (x2 x1) i + (y2 y1) j + (z2 z1) k (2) 即 a = x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 为向量a的坐标表示式记 ax = x2 x1 , ay = y2 y1 , az = z2 z1分别为向量 a 在三个坐

5、标轴上的投影, 称为a的坐标.zxyM1M2ao向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标2, 1,78,9, 12,34,.AaABABB例1 从点沿向量的方向取线段使求 点的坐标7, 1, 2),( zyxABzyxB则则设点设点解解 .17,17,18, 2,171298,34,222 BkaakABakAB而而解解,111zzyyxxAM ,222zzyyxxMB 设设),(zyxM为直线上的点，为直线上的点，ABMxyzo由题意知：由题意知：MBAM ,111zzyyxx ,222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,1

6、21 xxx,121 yyy,121 zzzM为为有有向向线线段段AB的的定定比比分分点点.M为为中中点点时时，,221xxx ,221yyy .221zzz (3) 运算性质设 a =ax , ay , az, b =bx , by , bz, 且为常数(1) a b = ax bx , ay by , az bz (2) a = ax , ay , az非零向量非零向量 的的方向角方向角：a非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M 向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的模与方向余弦的坐标表示式x

7、yzo 1M 2M 由图分析可知由图分析可知 cos|aax cos|aay cos|aaz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. .222|zyxaaaa PQR向量长的坐标表示式向量长的坐标表示式0222 zyxaaa当当 时，时，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxzaaaa 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式由(5)式可得cos2 +cos2 +cos2 = 1(6)设ao是与a同向的单位向量ao|aa222222222,zyxzzyxyzyxxaaaaaaaaaaaa=

8、 cos , cos , cos (7)例1 已知两点M1(2, 2, )和M2(1, 3, 0). 计算向量M1 M2的模, 方向余弦和方向角.2 解: M1 M2 = 1, 1, 2|M1 M2 | =; 24)2(1) 1(222;22cos ,21cos ,21cos43 ,3 ,32例2. 已知两点A(4, 0, 5)和B(7, 1, 3). 求方向和AB 一致的单位向量.解: AB = 3, 1, 2|AB|14)2(13222142 ,141 ,143|ABABa解解设设向向量量21PP的的方方向向角角为为 、 、 ,3 ,4 , 1coscoscos222 .21cos ,21

9、cos ,22cos .32,3 设设2P的的坐坐标标为为),(zyx,1cos x 21PP21 x21 , 2 x0cos y 21PP20 y22 , 2 y3cos z 21PP23 z, 2, 4 zz2P的坐标为的坐标为).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 解解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji ,15713kji 在在x轴轴上上的的投投影影为为13 xa,在在y轴轴上上的的分分向向量量为为j7. cos|sFW (其中其中 为为F与与s的夹角的夹角)向向量量a与与b的的数数量量积积为为ba cos|baba (其其中中 为为a与与b的

10、的夹夹角角)实例实例定义定义3、两向量的数量积ab cos|baba 数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.关于数量积的说明：关于数量积的说明：0)2( ba.ba .|)1(2aaa , 0 .|cos|2aaaaa 证证数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：（1 1）交换律）交换律：;abba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba （3 3）若）若 为数为数： ),()()(bababa ).()()(baba ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1| k

11、ji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式 cos|baba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式 ba0 zzyyxxbababazzyyxxbabababa 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式解解ba )1(2)4()2(111 . 9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 .43 例例 2 2 证证明明向向量量c与与向向量量acbbca)()( 垂垂直直.证证cacbbca )()()()(cacbcbca )(

12、cacabc 0 cacbbca )()(.,593, 3,22,3,25babaqpqpbqpa 求求已已知知例例qpqqppqpqpbababa 1236)6()6()()(2qpqp 123622qpba 6解解qpqqppqpqpbababa 402516)54()54()()(2qpba54 又又593 qp 129836qp 409258166 qp.15 ba则则.Pr,Pr,3),(1, 2,3,32. 3AjBjBAbababaBbaABA 求求设设例例.3128Pr,3728Pr,31,3728376)3()32(.2222 BBAAjABABjBBBAAAbbaababa

13、BABA解解 设设O为为一一根根杠杠杆杆L的的支支点点，有有一一力力F作作用用于于这这杠杠杆杆上上P点点处处力力F与与OP的的夹夹角角为为 ，力力F对对支支点点O的的力力矩矩是是一一向向量量M，它它的的模模|FOQM sin|FOP M的的方方向向垂垂直直于于OP与与F所所决决定定的的平平面面, 指指向向符符合合右右手手系系.实例实例4、两向量的向量积LFPQO 向量向量a与与b的的向量积向量积为为 bac sin|bac (其其中中 为为a与与b的的夹夹角角)定义定义关于向量积的说明：关于向量积的说明：. 0)1( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba向量积也称为向

14、量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”.向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律：（1）.abba （2）分配律：分配律：.)(cbcacba （3）若若 为数：为数： ).()()(bababa ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik , ikj ,kij . jki , ijk kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式向量积还可用三阶行列式表示向量积还可用三阶行列式表示yzxyxzxyzyzxyxzxyzijkaaaa

15、aaa baaaijkbbbbbbbbbba/zzyyxxbababa 由上式可推出由上式可推出kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( |ba 表表示示以以a和和b为为邻邻边边的的平平行行四四边边形形的的面面积积.abbac （03二12）由向量a=2,2,1,b=4,5,3为邻边的平等四边形的面积为_二、典型例题二、典型例题例例1 1解解共共面面且且，使使，求求一一单单位位向向量量，已已知知bancnnkjickjbia,22,2000 ,0kzj yi xn 设设由题设条件得由题设条件得10 ncn 0ban 0 020221222zyzyxzyx解得解得).3

16、23132(0kjin 3 ,3,(),aij bijcrcabcr 例2 已知向量常数 求当满足关系式：时， 的最小值。cba 解解 sincb sinbr sinbar 10 ba又又. 1min r例例 3 3 求求与与kjia423 ，kjib2 都都垂垂直直的的单单位位向向量量.解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj , 55510|22 c|0ccc .5152 kj例例 4 4 在在顶顶点点为为)2 , 1, 1( A、)2 , 6, 5( B和和)1, 3 , 1( C的的三三角角形形中中，求求AC边边上上的的高高BD.ABC解解D3, 4

17、, 0 AC0 , 5, 4 AB三角形三角形ABC的面积为的面积为|21ABACS 22216121521 ,225 | AC, 5)3(422 |21BDS | AC|521225BD . 5| BD例例6 设以向量设以向量 和和 为边做平行四边形，求平行为边做平行四边形，求平行四边形中垂直于四边形中垂直于 边的高线向量。边的高线向量。aba0,: auauabuaubu垂直于垂直于则则设高线为设高线为解解aba u.,0)(:22aaabbuaabaaabaab 即即例例 7 7 设设向向量量pnm,两两两两垂垂直直，符符合合右右手手规规则则，且且4| m，2| n，3| p，计计算算p

18、nm )(.解解),sin(|nmnmnm , 8124 0),( pnm pnm )( cos|pnm .2438 依依题题意意知知nm 与与p同同向向，选择题：选择题： 1 1、 若、 若a，b为共线的单位向量， 则它们的数量积为共线的单位向量， 则它们的数量积 ba （ ）. . （A A） 1 1； （B B）-1-1； （C C） 0 0； （D D）),cos(ba. .DC3 3、设设向向量量Q与与三三轴轴正正向向夹夹角角依依次次为为 ,，当当 0cos 时时，有有（ ）4 4、设设向向量量Q 与与三三轴轴正正向向夹夹角角依依次次为为 ,当当 1cos 时时有有（ ）面面面面面面

19、面；面；xozQDxozQCyozQBxoyQA )(;)(;)()(/面面面面面面面面；xoyQDxozQCyozQBxoyQA)(;)(;)()( /CA5 5、 2)( （ ）（A A）22 ； （B B）222 ；（C C）22 ； （D D）222 . .6 6、要要使使baba 成成立立，向向量量ba,应应满满足足_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；7 7、要要使使baba 成成立立，向向量量ba,应应满满足足_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .B二二、 已已知知向向量量ba,的的夹夹角角等等于于3 ，且且5,2 ba，求求)3()2( baba . .三三、 求求向向量量4 , 3, 4 a在在向向量量1,2,2 b上上的的投投影影 . .四四、 设设平平行行四四边边形形二二边边为为向向量量;1 , 3, 1 a 3 , 1, 2 b，求求其其面面积积 . .五五、 设设 .,6),( , 1,3的的夹夹角角与与求求babababa 一、已知一、已知ABC的顶点为的顶点为A(3,2,-1), B(5,-4,7), C(-1,1,2), 求从求从C所引的中线长度。所引的中线长度。计算计算-103210372arccos