最新向量组的线性表示精品课件.ppt

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1、例如例如), 3 , 2 , 1(n)1(,32 ,21(innii n维实向量维实向量n维复向量维复向量第第1个分量个分量第第n个分量个分量第第2个分量个分量向量相等：向量相等： = (a1, a2, , an), =(b1, b2, , bn)零向量：零向量：;)();,0;,()0; 容易验证向量的线性运算满足下面的运算规律: (1) 向量加法满足 1) 交换律 2) 结合律 ( 3) 对任一向量有 4) 对任一向量有 (2) 向量的数乘运算满足 1) 1= ;()()() ;(3);2);, ,k ll kklkklklnk l 2) 向量的线性运算成立分配律 1) k()=k ()

2、=上述均为 维向量均为实数. 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组所组成的集合叫做向量组例如例如维列向量维列向量个个有有矩阵矩阵mnaijAnm)( aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211a1. , , 的的列列向向量量组组称称为为矩矩阵阵向向量量组组Aa1a2ana2ajana1a2ajan维维行行向向量量个个又又有有矩矩阵阵类类似似地地nmijaAnm)(, aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211 T1 T2 Ti Tm T1 T2 Ti Tm向量组向量

3、组 , , ， 称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组 T1 T2 Tm 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵成一个矩阵.矩阵构成一个组维列向量所组成的向量个mnnmm, 21矩矩阵阵构构成成一一个个的的向向量量组组维维行行向向量量所所组组成成个个nmnmTmTT , 21 TmTTB 21 ),( 21mA b xaxaxann2211线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示 .,22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn方程组与增广矩阵的列向量组之间方程组与增广矩阵的列向量组之间一

4、一对应一一对应，组组实实数数，对对于于任任何何一一给给定定向向量量组组mmkkkA,: 2121 定义定义., 21个个线线性性组组合合的的系系数数称称为为这这，mkkk，称为向量组的一个称为向量组的一个向量向量 2211mmkkk 线性组合线性组合123412341110:,1201111023231201A aaaaAaaaa 向量组向量组 的一个线性组合：例例 mmb2211，使，使，一组数一组数如果存在如果存在和向量和向量给定向量组给定向量组mmbA ,: 2121. 2211有有解解即即线线性性方方程程组组bxxxmm 的的线线性性组组合合，这这时时称称是是向向量量组组则则向向量量A

5、b 向量向量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示bA 向量向量b能由向量组能由向量组A线性表示线性表示.1234123411106:,1201723A aaaabaaaab 123124627xxxxxx方程组方程组 有解有解. 例例11223344bx ax ax ax a定义定义 . .,:,: 2121这两个这两个能相互线性表示，则称能相互线性表示，则称量组量组与向与向若向量组若向量组称称线性表示，则线性表示，则向量组向量组组中的每个向量都能由组中的每个向量都能由若若及及设有两个向量组设有两个向量组BAABBAsm 向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示向量组等价向量组

6、等价BA例例 设有两个向量组设有两个向量组A : : 及及B : :112212112212,2,2,2,2,baabaaabbabb 1210,01aa 1211,12bb 则称向量组向量组A与向量组与向量组B等价等价.使使在在数数存存量量线线性性表表示示，即即对对每每个个向向能能由由（和和（若若记记,), 2 , 1().,),212121mjjjjsmkkksjbABbbbBA mmjjjjkkkb 2211,),2121 mjjjmkkk （ ),21sbbb（从而从而 msmmssmkkkkkkkkk21222211121121), （ . )(数数矩矩阵阵称称为为这这一一线线性性表

7、表示示的的系系矩矩阵阵ijsmkK 矩阵：矩阵：为这一表示的系数为这一表示的系数的列向量组线性表示，的列向量组线性表示，矩阵矩阵的列向量组能由的列向量组能由，则矩阵，则矩阵若若BACBACnssmnm snssnnsnbbbbbbbbbccc2122221112112121),),（ TsTTmsmmssTmTTaaaaaaaaa 2121222211121121：为为这这一一表表示示的的系系数数矩矩阵阵的的行行向向量量组组线线性性表表示示的的行行向向量量组组能能由由同同时时，ABC,. . 的的行行向向量量组组等等价价的的行行向向量量组组与与于于是是的的行行向向量量组组线线性性表表示示，的的行行向向量量组组能能由由可可知知，由由初初等等变变换换可可逆逆性性的的行行向向量量组组线线性性表表示示组组能能由由的的行行向向量量，即即的的行行向向量量组组的的线线性性组组合合向向量量都都是是的的每每个个行行，则则经经初初等等行行变变换换变变成成设设矩矩阵阵BABAABABBA.的的列列向向量量组组等等价价列列向向量量组组与与的的，则则经经初初等等列列变变换换变变成成类类似似，若若矩矩阵阵BABA 性质：向量组的等价具有下述 ）传递性（）对称性（反身性3 2 (1)