最新同济大学第五版高等数学(下)课件D11习题课精品课件.ppt

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1、同济大学第五版高等数学同济大学第五版高等数学( (下下) )课件课件D11D11习题课习题课)(0 xunn 求和)(xS展开(在收敛域内进行)(0 xunn基本问题基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.为傅立叶级数.xnbxnaxunnnsincos)(当为傅氏系数) 时,时为数项级数;0 xx 当nnnxaxu)(当时为幂级数;nnba ,(机动 目录 上页 下页 返回 结束 P257 题4. 设级数1nnu收敛 , 且,1limnnnuv1nnv是否也收敛？说明理由.但对任意项级数却不一定收敛 .,) 1(nunn问级数提示提示: 对正项级数,由比较判别法可知1nnv级数1n

2、nu收敛 ,1nnvnnnuvlim收敛,级数发散 .nnn) 1(lim11例如, 取nnvnn1) 1(机动 目录 上页 下页 返回 结束 ;1ln) 1()3(1nnnnP257 题5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:;1) 1() 1(1npnn;sin) 1()2(1111nnnn.! ) 1() 1()4(11nnnnn提示提示: (1) P 1 时, 绝对收敛 ;0 p 1 时, 条件收敛 ;p0 时, 发散 .(2) 因各项取绝对值后所得强级数 原级数绝对收敛 .故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,111收敛nn11ln) 1()3(nnnn)11(ln1lnnnn

3、un因单调递减, 且但nnn1ln1nknkk1ln)1ln(lim)1ln(limnn所以原级数仅条件收敛 .kknk1ln1nlim由Leibniz判别法知级数收敛 ;0limnnu机动 目录 上页 下页 返回 结束 11! ) 1() 1()4(nnnnn因nnuu12)2(! )2(nnn1)111 (12nnnn1! ) 1(nnnn11e所以原级数绝对收敛 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、求幂级数收敛域的方法二、求幂级数收敛域的方法 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R , 再讨论Rx 非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性 .P257 题7.

4、 求下列级数的敛散区间:;)11 ()2(12nnnxn.2)4(21nnnxn练习练习:机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 解解:nnnnnna)11 (limlim当ex1因此级数在端点发散 ,enn1)11 (nneu nn)11 ( nn)11 ( )(01ne. )1,1(eee时,12)11 ()2(nnnxn,1eR exe11即时原级数收敛 .故收敛区间为机动 目录 上页 下页 返回 结束 nnnxn212)4()()(lim1xuxunnn解解: 因) 1(2121nnxn22xnnxn22,122x当时，即22x,2时当x故收敛区间为. )2,2(级数收敛;一般项nun

5、不趋于0,nlim级数发散; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.) 1(31的收敛半径求幂级数nnnnxn解解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数,lim1nnaannnnalim极限不存在1)(kkx,24212kkkxk1)(kkx12112122kkkxk)()(1limxxnnn,)4(2x411R)()(1limxxnnn,)2(2x212R 原级数 =1)(kkx1)(kkx 其收敛半径4121,minRRR注意: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求部分和式极限三、幂级数和函数的求法三、幂级数和函数的求法 求和 映射变换法 逐项求导或求积分nnnxa0)(*xS对和式

6、积分或求导)(xS难直接求和: 直接变换,间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值求部分和等 初等变换法: 分解、套用公式（在收敛区间内） 数项级数 求和机动 目录 上页 下页 返回 结束 nnnxa0例例3. 求幂级数.!) 12(1) 1(120的和函数nnnxnn法法1 易求出级数的收敛域为),(022)(! ) 12(1) 1(21nnnxn原式120! ) 12() 1(21nnnxnx)sin(21xx,cos2sin21xxx ),(x机动 目录 上页 下页 返回 结束 法法2先求出收敛区间, )(xS则xnnnxxxnnxxS01200d! ) 12(1) 1(d)(220! )

7、 12() 1(nnnxn21120! ) 12() 1(2nnnxnxxxsin2,cos2sin21)(xxxxS, ),(设和函数为),(x机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习练习:.) 1()4(1nnnnx;212) 1() 1(21nnnxn解解: (1) )(21121nnnx原式) 120(2x12)2(1nnxx222211xxx22xx222)2(2xx显然 x = 0 时上式也正确,. )2,2(x故和函数为而在2xx0,)2(2)(222xxxSP258 题8. 求下列幂级数的和函数：级数发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束 (4)nnxnn1111原式xnnt

8、t011dxnnttx01d1ttxd110tttxxd1100 x)1ln(x)1(ln11xx)1(ln)11(1xx) 10( xttnnxd110ttxnnxd110机动 目录 上页 下页 返回 结束 1) 1(nnnnx, )1(ln)11(1xx显然 x = 0 时, 和为 0 ; 根据和函数的连续性 , 有)(xS110, )1(ln)11(1xxxx及0 0 x，1 1x，10 xx = 1 时, 级数也收敛 . 即得机动 目录 上页 下页 返回 结束 00! )12() 1(! )2() 1(21nnnnnn练习练习:0! ) 12(1) 1(nnnn解解: 原式=0! )1

9、2() 1(nnn1cos21的和 .1) 12(n211sinP258 题9(2). 求级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、函数的幂级数和付式级数展开法四、函数的幂级数和付式级数展开法 直接展开法 间接展开法练习练习:1. 将函数2)2(1x展开成 x 的幂级数. 利用已知展式的函数及幂级数性质 利用泰勒公式解解:xx21)2(1221121x0221nnnx,22111nnnxn)2,2(x机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 函数的幂级数展开法2. 设)(xf0,arctan12xxxx0,1x, 将 f (x)展开成x 的幂级数 ,1241) 1(nnn的和. ( 01考研

10、 )解解:211x,) 1(02nnnx)1 , 1(xxarctanxxx02d11,12) 1(012nnnxn1 , 1x)(xf1212) 1(1nnnxn02212) 1(nnnxn于是并求级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 02212) 1(nnnxn12112) 1(nnnxn)(xf1212) 1(1nnnxn1212) 1(1nnnxn12121121) 1(1nnnxnn,41) 1(21122nnnxn1 , 1x1241) 1(nnn 1) 1 (21f214机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 函数的付式级数展开法系数公式及计算技巧; 收敛定理; 延拓方法练习

11、练习: xyo),上的表达式为 ),0,)0,0)(xexxfx将其展为傅氏级数 .na1xnxexdcos021)cossin(1nnxnxnex0),2, 1,0(11) 1(12nnenP258 题11. 设 f (x)是周期为2的函数, 它在解答提示解答提示xnxebxndsin1021)cos(sin1nnxnnxex0),2, 1(1) 1(12nnenn机动 目录 上页 下页 返回 结束 21)(exf11n)sin(cosnxnnx 211) 1(nen),2,1,0,(kkx思考思考: 如何利用本题结果求级数?11) 1(02的和nnne根据付式级数收敛定理 , 当 x = 0 时, 有21e11n211) 1(nen2)0()0(ff21提示提示:P257 6 (2); 7 (3); 8 (2),(3) ; 9(1) ; 10 (1) ; 12 作业作业机动 目录 上页 下页 返回 结束