2022年二次函数动点问题拔高题教师版学生版 .pdf

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1、学习必备欢迎下载二次函数专题动点问题一、 因动点而产生的面积问题例 1：如图 10，已知抛物线P：y=ax2+bx+c(a0) 与 x 轴交于 A、B 两点 (点 A 在 x 轴的正半轴上 )，与 y 轴交于点 C，矩形 DEFG 的一条边DE 在线段 AB 上，顶点F、G 分别在线段BC、AC 上，抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x - 3 - 2 1 2 y -52- 4 -520 (1) 求 A、B、C 三点的坐标；(2) 若点 D 的坐标为 (m，0)，矩形 DEFG 的面积为 S，求 S与 m 的函数关系，并指出m 的取值范围；(3) 当矩形 DEFG 的面积 S取最大值

2、时，连接DF 并延长至点M，使 FM =kDF ，若点 M 不在抛物线P 上，求 k 的取值范围 . 若因为时间不够等方面的原因，经过探索、思考仍 无法圆满解答本题，请不要轻易放弃，试试将上述(2)、(3)小题换为下列问题解答(已知条件及第 (1) 小题与上相同，完全正确解答只能得到5 分 )：(2) 若点 D 的坐标为 (1，0)，求矩形DEFG 的面积 . 解析考点： 二次函数综合题专题：压轴题；探究型分析：（1）可任选三组坐标，用待定系数法即可求出抛物线P 的解析式 然后根据抛物线P 的解析式即可得出A、B、 C 三点的坐标；（2）求矩形的面积需知道矩形的长和宽，可先在直角三角形AOC

3、中，根据AD ，OA，DG，CD 的比例关系式，用m 表示出 DG 的长，同理可在直角三角形BCO 中表示出 OE 的长，进而可根据ED=EO+OD 得出 ED 的长，然后由矩形的面积公式即可得出 S与 m 的函数关系式；（3）根据（ 2）的函数关系式即可得出S 的最大值及对应的m 的值进而可得出D，E，F，G 的坐标如果设DF 的延长线交抛物线于N 点，那么可先求出FN 与 DF 的比例关系如果过N 作 x 轴的垂线设垂足为H，那么我们可得出EF：DF=DF ： DN，而 EF，DF 均为 F，N 点的纵坐标的绝对值，因此要先求出N 点的纵坐标，可先根据D、F 的坐标求出直线DF 的解析式，

4、然后联立直线DF 的解析式与抛物线P 的解析式求出N 点的坐标，然后根据上述比例关系求出FN、DF 的比例关系，如果求出此时FN=k1DF ，那么由于M 不在抛物线上，因此k 的取值范围就是k0，且 kk1若选（ 2）可参照上面（2）的求解过程进行计算解答： 解：（ 1）解法一：设y=ax2+bx+c （a0），任取 x，y 的三组值代入，4a- 2b+c- 4 a+b+c-5 2 4a+2b+c0 ，解得a1 2 b1 c- 4 ，解析式为y1 2 x2+x- 4，令 y=0，求出 x1=-4， x2=2；令 x=0，得 y=-4 ，A、B、C 三点的坐标分别是A（2，0）， B（-4，0）

5、， C（ 0，-4）（2）由题意， AD AO DG OC ，而 AO=2 ，OC=4，AD=2-m ，故 DG=4-2m ，又 BE BO EF OC ，EF=DG ，得 BE=4-2m ，DE=3m，SDEFG=DG ?DE= （4-2m）3m=12m-6m2 （0 m2）注：也可通过解RtBOC 及 Rt AOC，或依据 BOC 是等腰直角三角形建立关系求解图 10 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学习必备欢迎下载（3） SDEFG=-6m2+12m=-6 （m-1）2+6，（ 0 m 2），m=1 时，矩

6、形的面积最大，且最大面积是6当矩形面积最大时，其顶点为D（1， 0）， G（1，-2）， F（-2，-2）， E（-2，0），设直线 DF 的解析式为y=kx+b ，易知， k=2 3 ，b=-2 3 ，y 2 3 x- 2 3 ，又可求得抛物线P的解析式为：y 1 2 x2+x-4，令 2 3 x- 2 3 =1 2 x2+x - 4，可求出x=- 1 61 3 设射线 DF 与抛物线P相交于点N， 则 N 的横坐标为 -1- 61 3 ， 过 N 作 x 轴的垂线交x 轴于 H， 有 FN DF HE DE = - 2- -1-61 3 3 =- 5+ 61 9 ，点 M 不在抛物线P 上

7、，即点M 不与 N 重合时，此时k 的取值范围是k- 5+ 61 9 且 k0若选择另一问题：（2） AD AO DG OC ，而 AD=1 ，AO=2 ，OC=4，则 DG=2 ，又 FG AB CP OC ，而 AB=6 ，CP=2，OC=4，则 FG=3，SDEFG=DG ?FG=6二、 因动点而产生的等腰三角形问题例 2：如图，抛物线254yaxax经过ABC的三个顶点， 已知BCx轴，点A在x轴上， 点C在y轴上，且ACBC（1）求抛物线的对称轴；（2）写出ABC， ，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在PAB是等腰三角形若存在

8、，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由分 析 ：（1）根据抛物线的解析式，利用对称轴公式，可直接求出其对称轴（2）令 x=0，可求出 C点坐标，由 BC x轴可知 B，C 关于抛物线的对称轴对称，可求出B点坐标，根据 AC=BC 可求出 A点坐标（3）分三种情况讨论：以 AB为腰且顶角为 A，先求出 AB的值，再利用等腰三角形的性质结合勾股定理求出P1N的长，即可求出 P1的坐标；以 AB为腰且顶角为角B，根据 MN 的长和 MP2的长，求出 P2的纵坐标，已知其横坐标，可得其坐标；以 AB为底，顶角为角P时，依据 RtP3CK RtBAQ 即可求出 OK和 P3K的长，可得 P3坐

9、A C B y x 0 1 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习必备欢迎下载标解答： 解：（ 1）抛物线的对称轴x=- 5a 2a =5 2 ；（ 2 分）（2）由抛物线y=ax2-5ax+4 可知 C（0，4），对称轴x=- 5a 2a =5 2 ，BC=5 ，B（5，4），又 AC=BC=5 ，OC=4，在 RtAOC 中，由勾股定理，得AO=3，A（-3，0） B（5，4）C（0， 4）（ 5 分）把点 A 坐标代入y=ax2-5ax+4 中，解得 a=-1 6 ，（ 6）y=- 1 6 x2+5 6

10、x+4 （ 7 分）（3）存在符合条件的点P共有 3 个以下分三类情形探索设抛物线对称轴与x 轴交于 N，与 CB 交于 M过点 B 作 BQx 轴于 Q，易得 BQ=4 ，AQ=8 ，AN=5.5 ，BM=5 2 以 AB 为腰且顶角为角A 的 PAB 有 1 个： P1AB AB2=AQ2+BQ2=82+42=80（8 分）在 RtANP1 中， P1N= AP12- AN2 = AB2 -AN2 = 80 -(5.5)2 = 199 2 ，P1（5 2 ，- 199 2 ）（ 9 分）以 AB 为腰且顶角为角B 的 PAB 有 1 个： P2AB 在 RtBMP2 中 MP2= BP 2

11、2 -BM2 = AB2 -BM2 = 80-25 4 = 295 2 ，（ 10 分）P2=（5 2 ，8- 295 2 ）（ 11 分）以 AB 为底，顶角为角P 的 PAB 有 1个，即 P3AB 画 AB 的垂直平分线交抛物线对称轴于P3，此时平分线必过等腰ABC 的顶点 C过点 P3 作 P3K 垂直 y 轴，垂足为K， CP3K= ABQ ， CKP3= AQB ，RtP3CKRtBAQ P3K CK =BQ AQ =1 2 P3K=2.5 CK=5 于是 OK=1 ，（ 13 分）P3（2.5，-1）（ 14 分点 评 ：此题考查了用对称轴公式求函数对称轴方程，用待定系数法求函数

12、解析式等基础知识，还结合等腰三角形的性质考查了点的存在性问题，有一定的开放性三、因动点而产生的直角三角形问题例 3：如图 12， 四边形 OABC 为直角梯形， A（4，0）， B（3，4）， C（0，4） 点M从O出发以每秒 2 个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1 个单位长度的速度向C运动其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动过点N作NP垂直x轴于点P，连结 AC 交 NP 于 Q，连结 MQyQBCN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学习必备欢迎下载（1）点（填 M 或 N）能到达终

13、点；（2）求 AQM 的面积 S与运动时间t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围，当t 为何值时， S的值最大；（3）是否存在点M，使得 AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，说明理由分析： （1）（BC 点 N的运动速度）与（ OA 点 M的运动速度）可知点M能到达终点（2）经过 t 秒时可得 NB=y ，OM-2t根据 BCA= MAQ=45推出 QN=CN，PQ的值求出 S与 t 的函数关系式后根据t 的值求出 S的最大值（3）本题分两种情况讨论（若AQM=90， PQ是等腰 RtMQA底边 MA上的高；若QMA=90， QM 与 QP重合）求出 t 值解答：解

14、： （1）点 M（ 1 分）（2）经过 t 秒时， NB=t ，OM=2t ，则 CN=3-t ，AM=4-2t ，A（4，0）， C（ 0，4），AO=CO=4 ， AOC=90 ， BCA= MAQ=45 ，QN=CN=3-t PQ=1+t，（ 2 分）SAMQ=1 2 AM ?PQ=1 2 （ 4-2t）（ 1+t）=-t2+t+2 （ 3 分）S=-t2+t+2=-t2+t-1 4 +1 4 +2=- （ t-1 2 ）2+9 4 ，（ 5 分）0t2 当 t1 2 时， S 的值最大（ 6 分）（3）存在（ 7 分）设经过 t 秒时， NB=t ，OM=2t 则 CN=3-t ，AM

15、=4-2t BCA= MAQ=45 （ 8 分）若 AQM=90 ，则 PQ 是等腰 RtMQA 底边 MA 上的高精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习必备欢迎下载PQ 是底边 MA 的中线PQ=AP=1 2 MA 1+t=1 2 （4-2t）t=1 2 点 M 的坐标为（ 1，0）（ 10 分）若 QMA=90 ，此时QM 与 QP 重合QM=QP=MA 1+t=4-2t t=1 点 M 的坐标为（ 2，0）（ 12 分）点 评 ：本 题 考 查 的 是 二 次 函 数 的 有 关 知 识 ， 考 生 还 需

16、注 意 的 是 要 学 会 全 面 分 析 问 题 的 可 行 性 继 而 解 答 四、 因动点而产生的相似形问题例 4：设抛物线22yaxbx与 x 轴交于两个不同的点A( 一 1，0)、B(m，0)，与 y 轴交于点C. 且 ACB=90 (1)求 m 的值和抛物线的解析式；(2)已知点 D(1，n )在抛物线上，过点A 的直线1yx交抛物线于另一点E若点 P 在 x 轴上，以点 P、 B、D 为顶点的三角形与AEB 相似，求点P 的坐标分 析 ：（1）根据抛物线的解析式可知C 点坐标为（ 0，-2），即 OC=2 ，由于 ACB=90度，根据射影定理 OC2=OA?OB，可求出 OB的长

17、，进而可求出 B点的坐标，也就求出了m的值，然后将 A、B的坐标代入抛物线中即可求出其解析式（2）可先根据抛物线的解析式和直线AE的解析式求出 E点和 D点的坐标，经过求解不难得出FAB= DBO=45 ，因此本题要分两种情况进行讨论：DPB= ABE ；PDB= ABE 可根据对应的相似三角形得出的成比例线段求出OP的长，进而可求出P点的坐标解答：解： （ 1）令 x=0，得 y=-2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习必备欢迎下载C（0，-2）， ACB=90 ， COAB ， AOC COB，OA?OB=

18、OC2，OB=OC2 OA 22 1 4，m=4，将 A（-1，0）， B（4，0）代入 y=ax2+bx-2 ，得a 1 2 b-3 2 ，抛物线的解析式为y=1 2 x2-3 2 x-2 （2） D（1，n）代入 y=1 2 x2-3 2 x-2 ，得 n=-3， D（1，-3）解方程组y 1 2 x2- 3 2 x- 2 yx+1 ，得x1- 1 y10 x26 y27 E（6，7）过 E 作 EHx 轴于 H，则 H（6，0）AH=EH=7 ， EAH=45 过 D 作 DFx 轴于 F，则 F（1，0）BF=DF=3 ， DBF=45 ， EAH= DBF=45 ， DBH=135

19、，90 EBA 135，则点 P 只能在点B 的左侧，有以下两种情况：若 DBP1 EAB，则BP1 AB BD AE ，BP1=AB ?BD AE =5 3 2 7 2 =15 7 ，OP1=4-15 7 =13 7 ，P1（ 13 7 ，0）若 DBP2 BAE，则BP2 AE BD AB ，BP2=AE ?BD AB =7 2 3 2 5 =42 5 ，OP2=42 5 -4=22 5 ，P2（-22 5 ，0）综合、，得点P 的坐标为： P1（ 13 7 ，0）或 P2（-22 5 ，0）点 评 ：本题考查二次函数解析式的确定、函数图象交点、三角形相似以及综合应用知识、解决问题的能力本

20、题是一道应用能力较强的题，比较好五、因动点而产生的平行四边问题例 5：如图，已知抛物线1C与坐标轴的交点依次是( 4 0)A，( 2 0)B，(0 8)E，（1）求抛物线1C关于原点对称的抛物线2C的解析式；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学习必备欢迎下载（2）设抛物线1C的顶点为M，抛物线2C与x轴分别交于CD，两点（点C在点D的左侧） ，顶点为N，四边形MDNA的面积为S若点A，点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒2 个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动

21、，直到点A与点D重合为止求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由分 析 ：（1）可先求出 A、B、E关于原点对称的对称点的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式（2）根据中心对称图形的性质不难得出OA=OD ，OM=ON，因此四边形AMDN 是平行四边形，那么其面积就是三角形ADN面积的 2 倍，可据此来求 S，t 的函数关系式（3）根据（ 2）得出的函数的性质和自变量的取值范围即可得出S 的最大值及

22、对应的 t 的值（4）根据矩形的性质可知：当AD=MN 时，平行四边形AMDN 是矩形，那么 OD=ON，据此可求出 t 的值解答：解：（ 1）点 A（ -4，0），点 B（-2，0），点 E（0，8）关于原点的对称点分别为 D（ 4，0）， C（2，0）， F（0，-8）设抛物线 C2 的解析式是y=ax2+bx+c （a0），则 16a+4b+c0 4a+2b+c0 c-8 ，解得a- 1 b6 c-8 ，所以所求抛物线的解析式是y=-x2+6x-8 （2）由（ 1）可计算得点M（-3，-1）， N（3，1）过点 N 作 NHAD ，垂足为H当运动到时刻t 时， AD=2OD=8-2t ，

23、NH=1+2t 根据中心对称的性质OA=OD ，OM=ON ，所以四边形MDNA 是平行四边形所以 S=2SADN 所以，四边形MDNA 的面积 S=（8-2t）（ 1+2t）=-4t2+14t+8 因为运动至点A 与点 D 重合为止，据题意可知0t 4所以所求关系式是S=-4t2+14t+8 ，t 的取值范围是0t4（3） S=-4（t-7 4 ）2+81 4 ，（ 0 t4）所以 t7 4 时， S 有最大值81 4 提示：也可用顶点坐标公式来求（4）在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形由（ 2）知四边形MDNA 是平行四边形，对角线是AD ，MN ，所以当 AD=MN时四边形MDNA

24、是矩形，所以 OD=ON 所以 OD2=ON2=OH2+NH2 ，所以 t2+4t-2=0 解之得 t1= 6 -2，t2=- 6 -2 （舍）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习必备欢迎下载所以在运动过程中四边形MDNA 可以形成矩形，此时t= 6 -2 点 评 ：本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高六、 因动点而产生的梯形问题例 6：已知，在RtOAB 中， OAB 900， BOA 300，AB2。若以 O 为坐标原点， OA 所在直线为x轴，建立如图

25、所示的平面直角坐标系，点B 在第一象限内。将RtOAB 沿 OB 折叠后，点A 落在第一象限内的点C 处。（1）求点 C 的坐标；（2）若抛物线bxaxy2（a0）经过 C、A 两点，求此抛物线的解析式；（3）若抛物线的对称轴与OB 交于点 D，点 P 为线段 DB 上一点，过P 作y轴的平行线，交抛物线于点 M。问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM 为等腰梯形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由。分 析 ：（1）在 RtAOB中，根据 AB的长和 BOA的度数，可求得OA 的 长 ， 根 据 折 叠 的 性 质 即 可 得 到OA=OC ， 且BOC= BOA=30

26、，过 C作 CD x轴于 D ，即可根据 COD的度数和 OC 的长求得 CD 、OD的值，从而求出点C的坐标（2）将 A、C的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求出待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式（3）根据（ 2）所得抛物线的解析式可得到其顶点的坐标（即C点），设直线 MP与 x 轴的交点为 N，且 PN=t，在 RtOPN中，根据PON 的度数，易得 PN 、ON的长，即可得到点 P的坐标，然后根据点 P的横坐标和抛物线的解析式可求得M点的纵坐标， 过M作 ME CD （即抛物线对称轴）于E，过 P作 PQ CD于 Q ，若四边形 CDPM 是等腰梯形，那么CE=QD，根据

27、 C、M 、P、D四点纵坐标，易求得CE 、QD的长，联立两式即可求出此时t 的值，从而求得点 P的坐标解答：解：（1）过点 C 作 CHx 轴，垂足为H；在 RtOAB 中， OAB=90 ， BOA=30 ， AB=2 ，OB=4 ，OA=2 3 ；由折叠的性质知：COB=30 ， OC=AO=2 3 ， COH=60 ， OH= 3 ，CH=3；C 点坐标为（3 ，3）（2）抛物线y=ax2+bx （a0）经过 C（ 3 ，3）、 A（2 3 ，0）两点， 33a+ 3 b 0 12a+2 3 b ，解得：a- 1 b2 3 ；此抛物线的函数关系式为：y=-x2+2 3 x （3）存在y

28、=-x2+2 3 x 的顶点坐标为（3 ，3），即为点 C，MPx 轴，垂足为N，设 PN=t；yxCBAO28 题 图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学习必备欢迎下载 BOA=30 ，ON= 3 t ，P（ 3 t， t）；作 PQCD，垂足为Q，ME CD，垂足为 E；把 x= 3 t 代入 y=-x2+2 3 x ，得 y=-3t2+6t ，M（ 3 t，-3t2+6t）， E（ 3 ，-3t2+6t），同理： Q（ 3 ，t）， D（ 3 ，1）；要使四边形CDPM 为等腰梯形，只需CE=QD，即 3-（

29、-3t2+6t ）=t-1，解得 t=4 3 ，t=1（舍），P 点坐标为（ 4 3 3 ，4 3 ），存在满足条件的P 点，使得四边形CDPM 为等腰梯形，此时P 点坐标为（ 4 3 3 ，4 3 ）点 评 ：此题主要考查了二次函数的综合题，涉及了图形的旋转变化、解直角三角形、二次函数解析式的确定、等腰梯形的判定和性质等重要知识点，难度较大，注意各知识点的融会贯通七、因动点而产生的线段和（差）问题例 7、已知抛物线y=ax2+bx+c 与 y 轴交于点A(0，3)，与 x 轴分别交于B(1，0)、C(5， 0)两点。（1）求此抛物线的解析式；（2）若点 D 为线段 OA 的一个三等分点，求直

30、线DC 的解析式；（3）若一个动点P 自 OA 的中点 M 出发， 先到达 x 轴上的某点 (设为点 E)，再到达抛物线的对称轴上某点 (设为点 F)，最后运动到点A。求使点 P 运动的总路径最短的点E、点 F 的坐标，并求出这个最短总路径的长。分析：（1）由于 A、B、C 三点的坐标已知，代入函数解析式中利用待定系数法就可以确定函数的解析式；（2）若点 D 为线段 OA 的一个三等分点，那么根据已知条件可以确定D 的坐标为（ 0，1）或，（ 0，2），而 C 的坐标已知，利用待定系数法就可以确定直线CD 的解析式；（3）如图，由题意，可得M（0，3 2 ），点 M 关于 x 轴的对称点为M（

31、 0，-3 2 ），点 A 关于抛物线对称轴x=3 的对称点为A（6，3），连接AM ，根据轴对称性及两点间线段最短可知， AM 的长就是所求点P运动的最短总路径的长，根据待定系数法可求出直线AM 的解析式为y=3 4 x-3 2 ，从而求出E、F两点的坐标，再根据勾股定理可以求出AM=15 2 ，也就求出了最短总路径的长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习必备欢迎下载解答：解：（1）根据题意， c=3，所以a+b+3 0 25a+5b+30 解得a3 5 b- 18 5 所以抛物线解析式为y=3 5 x2-18

32、 5 x+3 （2）依题意可得OA 的三等分点分别为（0， 1），（ 0，2）设直线 CD 的解析式为y=kx+b 当点 D 的坐标为（ 0，1）时，直线CD 的解析式为y=-1 5 x+1 ；（ 3 分）当点 D 的坐标为（ 0，2）时，直线CD 的解析式为y=-2 5 x+2 （ 4 分）（3）如图，由题意，可得M（0，3 2 ）点 M 关于 x 轴的对称点为 M（ 0，-3 2 ），点 A 关于抛物线对称轴x=3 的对称点为A（6， 3）连接 AM 根据轴对称性及两点间线段最短可知，AM 的长就是所求点P运动的最短总路径的长（5 分）所以 AM 与 x 轴的交点为所求E 点，与直线x=3 的交点为所求F 点可求得直线AM 的解析式为y=3 4 x-3 2 可得 E 点坐标为（ 2，0）， F 点坐标为（ 3，3 4 ）（ 7 分）由勾股定理可求出AM 15 2 所以点 P运动的最短总路径（ME+EF+FA ）的长为15 2 （ 8 分）点 评 ：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数的解析式，图形的对称变换，求最短线段之和等重要知识点，综合性强，能力要求极高考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页