最新同济六版高等数学第八章第三节课件幻灯片.ppt

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1、上页下页铃结束返回首页一、曲面方程的概念 在空间解析几何中, 任何曲面都可以看作点的几何轨迹.那么, 方程F(x, y, z)0就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫做方程F(x, y, z)0的图形. (1)曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x, y, z)0; (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x, y, z)0,v曲面方程的定义 如果曲面S与三元方程 F(x, y, z)0有下述关系: 下页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页将方程 zycot中的 y 改成22yx

2、 , 得 例4 试建立顶点在坐标原点O, 旋转轴为z轴, 半顶角为的圆锥面的方程. 解 在坐标面yOz内, 与z轴夹角为的直线的方程为zycot, 或 z2a2(x2y2), 这就是所求的圆锥面的方程, 其中acot . 下页 曲线f(y, z)0绕 z 轴旋转所得到的旋转曲面的方程为 0) ,(22zyxf. cot22yxz, 上页下页铃结束返回首页绕 x 轴和 z 轴旋转所在的旋转曲面的方程分别为 解 旋转双叶双曲面旋转单叶双曲面首页例 5 将 zOx 坐标面上的双曲线12222czax分别绕 x 轴和 z 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程. 例5 122222czyax, 122

3、222czyax 122222czayx. 上页下页铃结束返回首页三、柱面 在空间直角坐标系中, 过xOy面上的圆x2y2R2作平行于z轴的直线l, 则直线l上的点都满足方程x2y2R2, 这说明直线l 一定在x2y2R2表示的曲面上. 例6 方程x2y2R2表示怎样的曲面？ 因此这个曲面可以看成是由平行于z轴的直线l沿xOy面上的圆x2y2R2移动而形成的. 这曲面叫做圆柱面, xOy面上的圆x2y2R2叫做它的准线, 这平行于z轴的直线l叫做它的母线. 下页 解 上页下页铃结束返回首页 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面, 定曲线C叫做柱面的准线, 动直线L叫做柱面的母

4、线. v柱面 上面我们看到, 不含z的方程x2y2R2在空间直角坐标系中表示圆柱面, 它的母线平行于z轴, 它的准线是xOy面上的圆x2y2R2. 一般地, 只含x、y而缺z的方程F(x, y)0, 在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面, 其准线是xOy面上的曲线C: F(x, y)0. 下页上页下页铃结束返回首页 方程y22x表示母线平行于z轴的柱面, 它的准线是xOy面上的抛物线y22x, 该柱面叫做抛物柱面. 方程xy0表示母线平行于z轴的柱面, 其准线是xOy面的直线xy0, 所以它是过z轴的平面. v柱面举例 下页上页下页铃结束返回首页 在空间直角坐标系中, 方程G(x, z)

5、0和方程H(y, z)0分别表示什么柱面？ 方程 xz0表示什么柱面？ 讨论 方程G(x, z)0表示母线平行于y轴的柱面. 方程H(y, z)0表示母线平行于x轴的柱面. 方程xz0表示母线平行于y轴的柱面, 其准线是zOx面上的直线xz0. 所以它是过y轴的平面. 提示 首页上页下页铃结束返回首页xzy2l一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3.母线柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.母线准线 yoz 面上的曲线 l2. 母线表示方程0),(yxF表示方程0),(zyG表示方程0),(xzHxyz3lxyz1l上页下页

6、铃结束返回首页四、二次曲面下页三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法，伸缩法截痕法，伸缩法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次项系数不全为 0 )上页下页铃结束返回首页 了解曲面的形状的方法之一是用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截, 考察其交线的形状, 然后加以综合, 从而了解曲面的立体形状. 这种方法叫做截痕法. v研究曲面的一种方法截痕法 上页下页铃结束返回首页v研究曲面的一种方法伸缩变形法 设S

7、是一个曲面, 其方程为F(x, y, z)0, S是将曲面S沿x轴方向伸缩倍所得的曲面. 显然, 若(x, y, z) S, 则(x, y, z)S; 若(x, y, z)S, 则Szyx) , ,1(. 这就是曲面S的方程为. 因此, 对于任意的(x, y, z)S, 有 0) , ,1(zyxF, 上页下页铃结束返回首页1. 椭球面椭球面),(1222222为正数cbaczbyax倍轴方向伸缩再把旋转椭球面沿aby , 倍轴方向伸缩沿把球面aczazyx 2222, 得旋转椭球面 122222czayx, 得椭球面 1222222czbyax. 椭球面的形成 上页下页铃结束返回首页zyx)

8、,(1222222为正数cbaczbyax(1)范围：czbyax,(2)与坐标面的交线：椭圆,012222zbyax,012222xczby 012222yczax上页下页铃结束返回首页1222222czbyax与)(11czzz的交线为椭圆：1zz (4) 当 ab 时为旋转椭球面;同样)(11byyy的截痕）（axxx11及也为椭圆.当abc 时为球面.(3) 截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,(为正数)z上页下页铃结束返回首页2. 抛物面抛物面zqypx2222(1) 椭圆抛物面( p , q 同号)zyx特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物

9、面.把 zOx 面上的抛物线zax22绕 z 轴旋转, 得旋转抛物面zayx222, 倍轴方向伸缩再把旋转抛物面沿aby , 得椭圆抛物面 zbyax2222. 伸缩 上页下页铃结束返回首页(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）2222xyzpq( p , q 同号) 双曲抛物面与平面xt的截痕 l 为平面xt上的抛物线截痕 2222atzby, 当 t 变化时, l 的形状不变, 位置只作平移, 而 l 的顶点的轨迹L为平面y0上的抛物线 22axz. 上页下页铃结束返回首页3. 双曲面双曲面(1)(1)单叶双曲面单叶双曲面by 1) 1上的截痕为平面1zz 椭圆椭圆.时, 截痕为22122221b

10、yczax(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）1yy zxy),(1222222为正数cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情况:双曲线: 上页下页铃结束返回首页虚轴平行于x 轴）by 1)2时, 截痕为0czax)(bby或by 1)3时, 截痕为22122221byczax(实轴平行于z 轴;1yy zxyzxy相交直线: 双曲线: 0上页下页铃结束返回首页(2) (2) 双叶双曲面双叶双曲面),(1222222为正数cbaczbyax上的截痕为平面1yy 双曲线上的截痕为平面1xx 上的截痕为平面)(11czzz椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线zxyo222222czb

11、yax单叶双曲面11双叶双曲面上页下页铃结束返回首页4. 椭圆锥面椭圆锥面),(22222为正数bazbyax截痕 1)()(2222btyatx. 倍即得椭圆锥面轴方向伸缩沿把圆锥面abyzayx 2222. 当t0时, 截痕为平面zt上的椭圆 当t0时, 截痕为一点(0, 0, 0); 椭圆锥面与平面zt的截痕: 椭圆锥面的形成 上页下页铃结束返回首页内容小结内容小结1. 空间曲面三元方程0),(zyxF 球面2202020)()()(Rzzyyxx 旋转曲面如, 曲线00),(xzyf绕 z 轴的旋转曲面:0),(22zyxf 柱面如,曲面0),(yxF表示母线平行 z 轴的柱面.又如,

12、椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .上页下页铃结束返回首页2. 二次曲面三元二次方程),(同号qp 椭球面1222222czbyax 抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面zqypx2222zqypx2222 双曲面: 单叶双曲面2222byax22cz1双叶双曲面2222byax22cz1 椭圆锥面: 22222zbyax上页下页铃结束返回首页5x922 yx1 xy斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方 程平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0)半径为 3 的圆以 z 轴为中心轴的圆柱面平行于 z 轴的平面思考与练习思考与练习指出下列方程的图形:上页下页铃结束返回首页作业P31 7 ,9,10(1)