2022年二次根式基础专题 .pdf

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1、学习必备欢迎下载二次根式知识梳理二次根式： 形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数， 只有当是一个非负数时，才有意义二次根式的性质1. 非负性：a a()0是一个非负数2、()()aa a203. aaa aa a200| |()()4. 公式aaa aa a200| |()()与()()aa a20的区别与联系（1）a2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数（2）()a2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数（3）a2和()a2的运算结果都是非负的最简二次根式：被开方数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的数或因式同类二次根式（可合并根式） ：几个二次根式化成最简二

2、次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。有理化因式： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：单项二次根式：利用aaa来确定，如：aa与，abab与，ba与ba等分别互为有理化因式。两项二次根式：利用平方差公式来确定。如ab与ab，abab与，axbyaxby与分别互为有理化因式。例 写出一个无理数，使它与32的积为有理数 _；分母有理化的方法与步骤：先将分子、分母化成最简二次根式；将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含

3、根式；最后结果必须化成最简二次根式或有理式。二次根式的乘除1积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页学习必备欢迎下载ab=ab（a0，b0）2二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。abab （ a0，b0）3商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根ab=ab（a0，b0）4二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。ab=ab（a0， b0）二次根

4、式的加减需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。二次根式的混合计算与求值1、确定运算顺序；2、灵活运用运算定律；3、正确使用乘法公式；4、大多数分母有理化要及时；5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；根式比较大小1、根式变形法当0,0ab时，如果ab，则ab；如果ab，则ab。2、平方法当0,0ab时，如果22ab，则ab；如果22ab，则ab。3、分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。4、分子有理化法通过分子有理化，利用分母的大小来比较。5、倒数法6、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。

5、7、作差比较法 在对两数比较大小时，经常运用如下性质：0abab；0abab8、求商比较法它运用如下性质：当a0，b0 时，则：1aabb；1aabb例比较大小：- 32_- 23 ；例已知a、b 为两个连续整数，且a7b，则 a+b=_；二次根式的概念精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页学习必备欢迎下载形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。例 下列各式一

6、定不是二次根式的是（）A、2a B、5 C、1442xx D、62a例 2. 下列与2 是同类二次根式的是（）A3 B12 C8 D2 - 1 1判断下列各式哪些是二次根式（）(1)16； （ 2）42x4)4();0 x(x3)3( ;4x4x写出下列各等式成立的条件（1）x2x42（2）x2)2x(2（3）3x3x9x32（4）3x2x3x2x)5( ;2xx2xx（）3232xxxx例 下列式子是最简二次根式的是（）A、b8B、222nmC、x3 .0D、212. 下列根式中不是最简二次根式的是（）A10 B8 C6 D2 . 如果最简二次根式3a- 3 与7- 2a 是同类二次根式，那

7、么a 的值是 _ ；取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a0 时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a0 时，没有意义。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页学习必备欢迎下载例 若22)2()2(xx，则 x 的取值范围是当时，53x有意义。当时，2)2(x若12aa，则 a 应是（）A、负数 B、正数 C、非零实数 D、有理数二次根式1a中，字母a 的取值范围是（）A、a1 B、a1 C、a1 D、a

8、1 若使代数式32x有意义，则x 的取值范围是（）A、x2 B、x2 C、x2 D、x4 若化简1-x -1682xx的结果为2x-5 ，则 x 的取值范围是（）A、x 为任意实数 B、1x4 C、x1 D、x4 x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义（1）xxxxxxxx113)5(2162)4(|2)3(|4)2(4. 二次根式1- a 中，字母a 的取值范围是（）Aa 1 Ba1 C a1 Da1 . 已知12- n 是正整数，则实数n 的最大值为（）A12 B11 C 8 D 3 . 使式子4- x 无意义的 x 取值的是 _；二次根式（）的非负性（）表示 a 的算术平方根，也就是说

9、，（）是一个非负数，即0（） 。注：因为二次根式（）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是 0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（） ，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。例 若，则 a= ,b= 若，则 a= ,b= 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页学习必备欢迎下载. 若x- 23- x= x- 23- x成立，则x 满足 _；. 已知 x、y 是实数，且满足y=x- 6 + 6- x +1 （1）求 x 和 y 的值；（2）求x+2y的值。二次根

10、式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则例 如，则3；25. 已知一个正数的平方根是2x-6 和 x+3 ，则这个数是_ ；. 把二次根式313中根号外的因数移到根号内，结果是_；二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数，若是正数或0，则等于a 本身，即；若 a 是负数，则等于a 的相反数 -a, 即；例22中的 a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义；化简

11、时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。如果0|3x|yxy2x22，求 y-2x 的算术平方根。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页学习必备欢迎下载已知7xx4425x10 x22，求 x 的取值范围。. 若(3- b)2=3- b，则（）Ab 3 Bb3 C b3 Db3 与的异同点1、 不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a 的算术平方根的平方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根；在中，而中 a 可以是正实数， 0， 负实数。 但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，而2、 相同点：

12、当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义， 而例 若 a0，则ba2化简为（）A、ba B、-ba C、ba D、 -ba当时，22)(aa二次根式的乘除法基础知识1. 计算：23_;369_2.)0, 0(3010yxxyxy3计算：ba10253_4. 使等式1111xxxx成立的条件是。5. 当0a，0b时，3_ab。6、若x3+3x2 = xx+3 ，则 x 的取值范围是。7化简二次根式352)(得（）A35 B35 C35 D308. 若424Aa，则A（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页学习必备欢迎

13、下载A. 24a B. 22a C. 222a D. 224a9下列名式中计算正确的是（）A.842164)16)(4( B.0482aaaC.7432423 D.224140414041 409 1910. 若1a，则31a化简后为（）A. 11aa B. 11aa C.11aa D. 11aa11. 计算 : （1）821（2）31025（3）232（4）)521(15412. 化简 : （1）12（2）2257（3）2000（4）222853能力提升14当 a=3时，则215a_15. 把1aa的根号外的因式移到根号内等于。16已知233xxx3x，则（）（ A）x0 （B）x 3 （C

14、）x 3 （D） 3x0 17. 2 3和3 2的大小关系是（）A. 2 33 2 B. 2 33 2 C. 2 33 2 D. 不能确定18. 计算 : （1）aa82（a0）（2）xyx11010（x0，y0）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页学习必备欢迎下载（3）2324162xyxy（x0， y0） 19. 化简 : （1）324ba（ a0，b0）（2）yxx23（x0，y0）（3）4224baba（ab0）能力拓展与探究20 （2006 安徽省）计算 2 -9的结果是（）A. 1 B. -1 C- 7

15、D. 5 21(2007芜 湖 市 ) 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm ，正方形A的边长为6cm 、B的边长为 5cm、C的边长为5cm ，则正方形D的边长为（）A.14cm B.4cm C.15cm D.3cm 二次根式的加减基础知识1. 把下列各式化成最简二次根式： (1)8= (2)25a= (3)80= (4)3 48= (5)163= (6)1.8= 2. 判断正误：对的画“”，错的画“”. (1)2+ 3= 5；（）(2)8-3= 5；（）(3)2+ 2=2 2；（）(4)3 2-2=3；（）(5)2 2+2=2 2；（）

16、(6)4 3-3=3 3. （）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页学习必备欢迎下载3. 计算：(1)2 7-67 = = (2)50+ 32 = = = (3)112+63 = = = (4)2x-8x = = = 基础知识1. 填空：二次根式加减法的法则是：二次根式加减时，可以先将二次根式化成二次根式，再将相同的二次根式进行合并. 2. 计算：(1)920-55 = = = (2)16aa+629 = = = 3. 计算：(1)80-20+ 5精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

17、 - - - - -第 9 页，共 12 页学习必备欢迎下载 = = (2)18+98-27 = = (3)124+0.5-68 = = (4)2x19x+6-2x34x = = 基础知识1. 计算：4140-5+10510 = = 2. 计算： (1)25+ 7 = = (2)8-53627 = = = (3)12-3752 3 = = = (4)48+3153精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页学习必备欢迎下载 = = = 3. 计算： (1)3+23+3 = = = (2)2 2+13 2-2 = = = (

18、3)x+yx-2y = = = 基础知识1. 计算： (1)2 12-6 2 3 = = = (2)5+ 65 2-23 = = = 2. 填空： (1)平方差公式： (a+b)(a-b)= ； (2)完全平方公式：(a+b)2= ，(a-b)2= . 3. 计算： (1)4+ 74-7 = 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页学习必备欢迎下载ba-11O = = (2)2210+310-3 = = = (3)23+2 = = = (4)222 6- = = = 二次根是综合. 如图所示，实数a、b 在数轴上的位置，化简：a2- b2- (a- b)2. 观察下列等式：12+1= 2- 1(2+1 )(2- 1)= 2- 1 ；13+2 = 3-2(3+2)(3-2) = 3-2 ；14+3= 4-3(4+3)(4-3)= 4-3 ；解答下列问题：写出一个无理数，使它与3-2的积为有理数。你认为这样的无理数可以是_ ；利用你观察到的规律，化简：123+11；计算：1 1+ 2+ 12+3+ 13+2+ + 1 3+10。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页