2022年二项式定理—解题技巧 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载二项式定理1二项式定理：011()()nnnrnrrnnnnnnabC aC abC abC bnN，2基本概念：二项式展开式：右边的多项式叫做()nab的二项展开式。二项式系数: 展开式中各项的系数rnC(0,1,2, )rn. 项数：共(1)r项，是关于a与b的齐次多项式通项：展开式中的第1r项rnrrnC ab叫做二项式展开式的通项。用1rn rrrnTC ab表示。3注意关键点：项数：展开式中总共有(1)n项。顺序：注意正确选择a,b, 其顺序不能更改。()nab与()nba是不同的。指数：a的指数从n逐项减到0，是降幂排列。b的指数从0逐项减到n，是升幂排列。各项的

2、次数和等于n. 系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,.rnnnnnnCCCCC项的系数是a与b的系数（包括二项式系数）。4常用的结论：令1,abx0122(1)()nrrnnnnnnnxCC xC xC xC xnN令1,abx0122(1)( 1)()nrrnnnnnnnnxCC xC xC xC xnN5性质：二项式系数的对称性：与首末两端 “对距离” 的两个二项式系数相等，即0nnnCC， 1kknnCC二项式系数和：令1ab, 则二项式系数的和为0122rnnnnnnnCCCCC，变形式1221rnnnnnnCCCC。奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数

3、和：在二项式定理中，令1,1ab，则0123( 1)(1 1)0nnnnnnnnCCCCC，从而得到：0242132111222rrnnnnnnnnnCCCCCCC奇数项的系数和与偶数项的系数和：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页学习好资料欢迎下载0011222012012001122202121001230123()()1,(1)1,(1)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaxC a xC axC axC a xaa xa xa xxaC a xC axC a xC a xa xa xa xa

4、xaaaaaaxaaaaaa令则令则024135(1)(1),()2(1)(1),()2nnnnnnaaaaaaaaaaaa得奇数项的系数和得偶数项的系数和二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数2nnC取得最大值。如果二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数12nnC,12nnC同时取得最大值。系数的最大项：求()nabx展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别为121,nAAA，设第1r项系数最大，应有112rrrrAAAA，从而解出r来。6二项式定理的十一种考题的解法：题型一：二项式定理的逆用；例：12321666 .nnnnn

5、nCCCC解：012233(16)6666nnnnnnnnCCCCC与已知的有一些差距，123211221666(666 )6nnnnnnnnnnnCCCCCCC0122111(6661)(16)1(71)666nnnnnnnnCCCC练：1231393 .nnnnnnCCCC解：设1231393nnnnnnnSCCCC，则122330122333333333331(13)1nnnnnnnnnnnnnnnSCCCCCCCCC(13)14133nnnS题型二：利用通项公式求nx的系数；例：在二项式3241()nxx的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x的项的系数？解：由条件知245nnC，

6、即245nC，2900nn，解得9()10nn舍去 或，由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页学习好资料欢迎下载2102110343411010()()rrrrrrrTCxxC x，由题意1023,643rrr解得，则含有3x的项是第7项6336 110210TC xx, 系数为210。练：求291()2xx展开式中9x的系数？解：2918218 31999111()()()()222rrrrrrrrrrrTCxC xxCxx，令1839r, 则3r故9x的系数为339121()22C。题型三：利用通项公式求常数项；例

7、：求二项式2101()2xx的展开式中的常数项？解：52021021101011()()()22rrrrrrrTCxCxx， 令52 002r， 得8r， 所以88910145( )2256TC练：求二项式61(2)2xx的展开式中的常数项？解：666216611(2 )( 1) ()( 1)2()22rrrrrrrrrrTCxCxx，令620r，得3r，所以3346( 1)20TC练：若21()nxx的二项展开式中第5项为常数项，则_.n解：4244421251()()nnnnTCxC xx，令2120n，得6n. 题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式93()xx展开式中

8、的有理项？解：12719362199()()( 1)rrrrrrrTCxxC x，令276rZ,(09r) 得39rr或，所以当3r时，2746r，334449( 1)84TC xx，当9r时，2736r，3933109( 1)TC xx。题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若2321()nxx展开式中偶数项系数和为256，求n. 解：设2321()nxx展开式中各项系数依次设为01,naaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页学习好资料欢迎下载1x令, 则有010,naaa，1x令, 则有0123

9、( 1)2 ,nnnaaaaa将 - 得：1352()2 ,naaa11352,naaa有题意得，1822562n，9n。练：若35211()nxx的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。解：0242132112rrnnnnnnnnCCCCCCC，121024n，解得11n所以中间两个项分别为6,7nn，5654355 1211() ()462nTCxxx，61156 1462Tx题型六：最大系数，最大项；例：已知1(2 )2nx，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？解：46522,21980,nnnCCCnn解出7

10、14nn或，当7n时，展开式中二项式系数最大的项是45TT和34347135( ) 2,22TC的系数，434571( ) 270,2TC的系数当14n时，展开式中二项式系数最大的项是8T，7778141C() 234322T的系数。练：在2()nab的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幂指数是偶数2n，则中间一项的二项式系数最大，即2112nnTT，也就是第1n项。练：在31()2nxx的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？解：只有第5项的二项式最大，则152n，即8n, 所以展开式中常数项为第七项等于6281()72C例：写出在7()ab的展开式中，系

11、数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项(4,5第项) 的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有34347TC a b的系数最小，43457TC a b系数最大。例：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求1(2 )2nx的展开式中系数最大的项？解：由01279,nnnCCC解出12n, 假设1rT项最大，12121211(2 )( )(14 )22xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页学习好资料欢迎下载1111212111212124444rrrrrrrrrrrrAACCAACC，化

12、简得到9.410.4r，又012r，10r，展开式中系数最大的项为11T,有121010101011121( )4168962TCxx练：在10(12 )x的展开式中系数最大的项是多少？解：假设1rT项最大，1102rrrrTCx111010111121010222(11)12(10)22,rrrrrrrrrrrrCCAArrAArrCC解得，化简得到6.37.3k，又010r，7r，展开式中系数最大的项为7777810215360.TCxx题型七：含有三项变两项；例：求当25(32)xx的展开式中x的一次项的系数？解法：2525(32)(2)3 xxxx，2515(2)(3 )rrrrTCx

13、x，当且仅当1r时，1rT的展开式中才有x 的一次项， 此时124125(2) 3rTTCxx， 所以x得一次项为144542 3C Cx它的系数为144542 3240C C。解法：255505145051455555555(32)(1) (2)()(22 )xxxxC xC xCC xC xC故展开式中含x的项为4554455522240C xCC xx，故展开式中x的系数为240. 练：求式子31(2)xx的常数项？解：3611(2)()xxxx，设第1r项为常数项，则66 261661( 1)()( 1)rrrrrrrTCxCxx，得620r,3r, 333 16( 1)20TC. 题

14、型八：两个二项式相乘；例：342(12 ) (1)xxx求展开式中的系数 .解：333(12 )(2 )2,mmmmmxxx的展开式的通项是CC444(1)C()C1,0,1,2,3,0,1,2,3, 4,nnnnnxxxmn的展开式的通项是其中342,02,11,20,(12 ) (1)mnmnmnmnxx令则且且且因此20022111122003434342( 1)2( 1)2( 1)6xCCCCCC的展开式中的系数等于. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页学习好资料欢迎下载练：610341(1) (1)xx求展

15、开式中的常数项.解：436103341261061041(1) (1)mnmnmnmnxC xC xCCxx展开式的通项为0,3,6,0,1,2,6,0,1,2,10,43 ,0,4,8,mmmmnmnnnn其中当且仅当即或或0034686106106104246CCCCCC时得展开式中的常数项为. 练：2*31(1)(),28,_.nxxxnNnnx已知的展开式中没有常数项且则解：3431()CC,nrn rrrnrnnxxxxx展开式的通项为通项分别与前面的三项相乘可得44142C,C,C,28rnrrnrrnrnnnxxxn展开式中不含常数项441424,83,72,6,5.nrnrnr

16、nnnn且且，即且且题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例：2006(2),2,_.xxSxS在的二项展开式中含 的奇次幂的项之和为当时解：2006123200601232006(2)xaa xa xa xax设=-2006123200601232006(2)xaaxa xa xax=-3520052006200613520052()(2)(2)a xa xa xaxxx得2006200620061(2)( )(2)(2)2xS xxx展开式的奇次幂项之和为3 20062200620063008122,( 2)(22)(22)222xS当时题型十：赋值法；例：设二项式31(3)nxx的展开

17、式的各项系数的和为p，所有二项式系数的和为s, 若272ps, 则n等于多少？解：若230121(3)nnnxaa xa xa xx，有01nPaaa，02nnnnSCC，令1x得4nP，又272ps, 即42272(217)(216)0nnnn解得216217()nn或舍去，4n. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页学习好资料欢迎下载练：若nxx13的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为多少？解：令1x，则nxx13的展开式中各项系数之和为264n，所以6n，则展开式的常数项为33361(3)()Cxx5

18、40. 例：200912320092009120123200922009(12 )(),222aaaxaa xa xa xaxxR若则的值为解：2009200912120022009220091,0,2222222aaaaaaxaa令可得20091202200901,1.222aaaxa在令可得因而练：55432154321012345(2),_.xa xa xa xa xa xaaaaaa若则解：0012345032,11,xaxaaaaaa令得令得1234531.aaaaa题型十一：整除性；例：证明：22*389()nnnN能被 64 整除证：2211389989(81)89nnnnnn011121111111888889nnnnnnnnnnCCCCCn011121118888(1)189nnnnnnCCCnn01112111888nnnnnnCCC由于各项均能被64 整除22*389()64nnnN能被整除精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页