勾股定理思维导图+题型总结精编版.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -最新资料举荐1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -最新资料举荐 一 勾股定理1：勾股定理假如直角三角形 的两条直角边长分别为a、b，斜边长为 c, 那么 a2+b2 c2我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦

2、”.弦勾要点诠释：股2222、勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC 中，C90，就 ca2b， bca，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2ac 2b）（ 2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（ 3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题3：勾股定理的证明勾股定理的证明方法许多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有间隙，面积不会转变baacb依据同一种图形的面积不同的

3、表示方法，列出等式，推导出勾股定理ccbc常见方法如下：aab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4SSS41 ab22DbacC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法一：正方形 EFGH正方形 ABCD，2，化简可证HEGF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积baAcB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S41 abc2222abcaA222D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可

4、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结大正方形面积为 Saba2abbb222所以 abcccEa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S梯形1 ab ab S梯形2S ADES ABE2 1 ab1 c 2BbC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法三：2，22，化简得证2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳

5、 - - - - - - - - - - - -最新资料举荐2224：勾股数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即abc 中， a ， b ， c 为正可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结整数时，称 a ， b ， c 为一组勾股数记住常见勾股数可以提高解题速度，如 3,4,5 。 6,8,10 。5,12,13 。7,24,25 。8,15,17 。9,40,41 等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22用含字母的代数式表示n 组勾股数： n1,2n, n21 （ n2, n 为正整数）。可编辑资料 -

6、- - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2n1,2n 22n,2 n22n1 （ n 为正整数） mn2 ,2 mn, m2n 2 （ mn,m ， n 为正整数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、留意：（ 1）勾股定理的证明实际采纳的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。（ 2）勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。（ 3）勾股定理在应用时肯定要留意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个学问在应用过程中易犯的主要错误。A（ 4）推理格式： ABC为直角三角形c可编辑资料 - - - 欢迎下

7、载精品名师归纳总结222222b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 AC +BC=AB.（或 a +b =c ）CaB（二）勾股定理的逆定理假如三角形的三边长分别为：a、b、c，且满意 a2+b2c2，那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能外形，在运用这肯定理时应留意：（ 1）第一确定最大边，不妨设最长边长为：c。（ 2）验证 c2 与 a2+b2 是否具有相等关系，如c2 a2+b2，就 ABC是以 C为直角的直角三角形（如 c2a2+b2，就 ABC是以 C 为钝角的钝角三角

8、形。 如 c2a2+b2，就 ABC为锐角三角形） 。3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -最新资料举荐222222（定理中 a ， b ， c 及 abc 只是一种表现形式，不行认为是唯独的，如如三角形三边长a ， b ， c 满意 acb ，那么以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边） 3：勾股定理与勾股定理逆

9、定理的区分与联系区分：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理。联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。4：互逆命题的概念假如一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。假如把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。六、随堂练习可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1在 RtABC 中，C90 ，A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 和 c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 a2 ， b4 ，就 c =。 斜边上的高为.可编辑资料 - - -

10、 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 b3， c4 ，就 a =.斜边上的高为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a如 b3，且 c2 10，就 a =， b . 斜边上的高为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b如 c12 ，且 a3 3 ，就 c =， b . 斜边上的高为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2正方形的边长为3，就此正方形的对角线的长为.3正方形的对角线的长为4，就此正方形的边长为.可编辑资料 -

11、- - 欢迎下载精品名师归纳总结4有一个边长为多长dm50 的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，求圆的直径至少可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5一旗杆离的面6m 处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8m 处，求旗杆折断之前有多高？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - -

12、 - - - - - - - - -最新资料举荐可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 如图，一个3m 长的梯子 AB斜靠在一竖直的墙AO 上，这时 AO 的距离为2.5m ，假如梯子顶可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结端 A 沿墙下滑0.5m ，那么梯子底端 B 也外移0.5m 吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结勾股定理典型例题及专项训练专题一：直接考查勾股定理1已知等腰三角形腰长是10，底边长是 16，求这个等腰三角形的面积。2、已知：如图， B=D=90， A=60， AB=4，CD=2。求：四

13、边形 ABCD的面积。ADBC3：在ABC中， AB=13，AC=15，高 AD=12，就 BC的长为多少？A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4：已知如图，在 ABC中，C=60， AB=4的高，求 BC的长。3 ，AC=4，AD是 BC边上CDB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、如图，在 Rt ABC中， ACB=90， CDAB于 D，设 AB=c，AC=b，BC=a，CD=h。C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结111222求证：（ 1） abh（2） abchADB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢

14、迎下载精品名师归纳总结（ 3）以 ab，h，ch 为三边的三角形是直角三角形练习可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 如图， ABC中， AB=AC， A=45o， AC的垂直平分线分别交AB、AC于 D、E，如 CD=1，就5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -最新资料举荐BD等于A1B CD 7. 已知始终角三角形的斜边长

15、是2，周长是 2+6 ，求这个三角形的面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8. 如图 Rt ABC ，C90AC3, BC4 , 分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CAB6. 如图， ABC中， AB=AC=2，0 BC=32，D 是 BC上一点，且 AD AC，求 BD的长7. 如图， ABC中， ACB=90， AC=BC，P 是 ABC内一点，满意 PA=3，PB=1，.PC=2，求BPC的度数8. 已知 ABC中， ACB=90， AC=3,BC=4,（1）AD平分 BAC,交 BC于 D 点。求 CD长（ 2） BE

16、平分 ABC,交 AC于 E，求 CE长BBDAECAC6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -最新资料举荐专题二勾股定理的证明1、如图，直线 l 上有三个正方形 a， b，c ，如 a， c 的面积分别为 5b和 11，就 b 的面积为（）acl（） 4（） 6（） 16（） 552、如图是 2002 年 8 月在北京召开的第24 届国际数学

17、家大会会标中的图案，其中四边形ABCD和 EF 都是正方形 .证： ABF DAEAEHDBFG可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C3、图是一个边长为 mn 的正方形，小颖将mn m n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图中的阴影部分拼成图的外形，由图和图能验证的式子是（）m n2图图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2A mnmn 24mnB mnm2n2 2mn第 3 题图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C mn 22mnm2n 2D mn mnm2n2可编辑资料 - - - 欢迎下载

18、精品名师归纳总结专题三网格中的勾股定理1、如图 1，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直 角三角形三边的线段是（）（ A） CD、EF、GH（ B） AB、EF、GH（ C） AB、CD、GH（ D） AB、CD、EFAC7B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -最新资料举荐2、如图，正方形网格中，每个

19、小正方形的边长为1，就网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（）AA 0B 1C 2D 3BC3、（ 2021 年四川省眉山市）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，就 ABC的度数为（）AA90B60C45D 304、如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个得到，可得ABC，就C边 AC上的高为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结32A.2B.3510C.3545B5D.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点称为格点，请以图中的格点为顶点画一个边长为3、的三角形所画的三角形

20、是直角三角形吗 .说明理由6、如图，每个小正方形的边长是1，在图中画出面积为2 的三个外形不同的三角形（要求顶点在交点处，其中至少有一个钝角三角形）专题四实际应用建模测长1、如图（8），水池中离岸边 D 点 1.5 米的 C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是 0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到 D 点，并求水池的深度AC.8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - -

21、- - - - - - - - - -最新资料举荐2、有一个传感器掌握的灯，安装在门上方，离的高4.5 米的墙上，任何东西只要移至5 米以内，灯就自动打开，一个身高1.5 米的同学，要走到离门多远的的方灯刚好打开？3、台风是一种自然灾难，它以台风中心为圆心在四周数十千米范畴内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向 220 千米 B 处有一台风中心，其中心最大风力为 12 级，每远离台风中心20 千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15 千米/ 时的速度沿北偏东30o方憧憬 C移动，且台风中心风力不变，如城市所受风力达到或走过四级，就称为受台风影响.（ 1）

22、该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.（2）如会受到台风影响，那么台风影响该城市连续时间有多少？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？专题五梯子问题9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -最新资料举荐1、假如梯子的底端离建筑物9 米，那么 15 米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？2、一架方梯长 25 米，如图，斜靠在一面墙上，梯

23、子底端离墙7 米，（ 1）这个梯子的顶端距的面有多高？ （2）假如梯子的顶端下滑了4 米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？3、如图，梯子 AB斜靠在墙面上， ACBC，AC=BC，当梯子的顶端 A 沿 AC方向下滑 x 米时，梯足 B 沿 CB方向滑动 y 米，就 x 与 y 的大小关系是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A.xyB.xyC.AxyD.不可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结能确定BC专题六最短路线1、如图，学校教学楼旁有一块矩形花铺，有极少数同学为了躲开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”他们仅仅少走了（）步路（假设 2 步为 1 米），却

24、踩伤了花草A、6B、5C、4D、32、如图，一圆柱体的底面周长为20 ，高 AB为 10 ， BC是上底面的直径。一蚂蚁从点A动身，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程。BCAD3、如图，有一个圆柱体，底面周长为20 ，高 AB为 10 ，在圆柱的下底面A 点处有一只蚂蚁，它想绕圆柱体侧面一周爬行到它的顶端C 点处，那么它所行走的路程是多少？C10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总

25、结归纳 - - - - - - - - - - - -最新资料举荐4、如图，假如这是一个圆柱体的玻璃杯，AD 是杯底直径， C 是杯口一点， 其他已知条件不变，蚂蚁从外部点 A处爬到杯子的内壁到达高CD的中点 E处，最短该走多远了？ 杯BC子的厚度不计）EAD5、如图，一只蚂蚁从一个棱长为1 米，且封闭的正方体盒子外部的顶点A 向顶点 B 爬行，问这只蚂蚁爬行的最短路程为多少米？BA6、如图，长方体的长为15cm，宽为 10cm，高为 20cm，点 B 到点 C的距离为 5cm，一只蚂蚁假如要沿着长方体的表面从A 点爬到 B 点，需要爬行的最短距离是多少？CB2010A157、如图，是一个三级

26、台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 2m、0.3m、0.2m，A 和 B 是台阶上两个相对的顶点， A 点有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物，问蚂蚁沿着台阶爬行到 B 点的最短路程是多少？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.11AB0.2203可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - -

27、 -最新资料举荐专题七折叠三角形1、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6， BC=8。现将直角边AC沿直线 AD折叠，使它落在斜边AB上，且与 AE重合，求 CD的长AECDB2、如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A 与 B 重合，A折痕为 DE，如已知 AC=10cm，BC=6cm你,能求出 CE的长吗？DCEB3、如图 , ABC的三边 BC=3，AC=4、AB=5,把 ABC沿最长边 AB翻折后得到 ABC，就 CC的长等于（）AC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6A. 512B. 513C. 524BD. 5C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

28、总结专题八折叠四边形1、折叠矩形 ABCD的一边 AD,点 D落在 BC边上的点 F 处, 已知 AB=8CM,BC=10C求M,（ 1）CF的长（2）EC的长.AD12E可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -BFC第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -最新资料举荐2、在矩形纸片 ABCD中， AD=4cm，AB=10cm，按图所示方式折叠，使点B 与点 D 重合，折痕为可编辑资

29、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结EF，求（ 1） DE的长。（ 2）EF 的长。AEB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结DFCC3. 矩形纸片 ABCD的边长 AB=4，AD=2将矩形纸片沿EF折叠，使点 A 与点 C重合，折叠后在其一面着色（如图），就着色部分的面积为 .GDFCAEB第 3 题图4、如图 2-3 ，把矩形 ABCD沿直线 BD向上折叠， 使点 C落在 C的位置上， 已知 AB=.3，BC=7， 重合部分 EBD的面积为 5、如图 5，将正方形 ABCD折叠， 使顶点 A 与 CD边上的点 M重合， 折痕交 AD于 E，交 BC于 F， 边 AB折叠后与

30、 BC边交于点 G。假如 M为 CD边的中点，且 DE=6，求正方形 ABCD的面积DMCEGFAB13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -最新资料举荐6、矩形 ABCD中， AB=6，BC=8，先把它对折，折痕为EF，绽开后再沿 BG折叠，使 A 落在 EF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上的 A1，求其次次折痕BG的长。

31、CBEAF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结DGA专题九旋转问题：1、如图， P 是等边三角形 ABC内一点， PA=2,PB=23 ,PC=4, 求 ABC的边长 .2、如图， ABC为等腰直角三角形， BAC=90， E、F 是 BC上的点，且 EAF=45，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结摸索究BE2、CF 2、EF2间的关系，并说明理由 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、如下列图， ABC是等腰直角三角形， AB=AC， D是斜边 BC的中点， E、F 分别是 AB、AC边上的点，且 DEDF，如 BE=12， CF=5求线段 EF 的

32、长。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、如下列图，已知在ABC中，AB=AC，BAC=90 ，D是 BC上任一点，求证：2CD 22 AD 2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BD14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -最新资料举荐15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载