2022年海淀区2018届高三期末数学试题及答案 .pdf

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1、高三年级数学-理科第1页共 4 页海淀区高三年级第一学期期末练习数学理科2018. 1本试卷共 4 页， 150 分。考试时长120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。第一部分选择题，共40 分一、选择题共8 小题，每题 5 分，共 40 分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1复数12iiA2iB2iC2 iD2i2在极坐标系Ox中，方程2sin表示的圆为xO1xO1xO1xO1A BCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 23 页高三年级数学-理科第2页共 4 页

2、3执行如下图的程序框图，输出的k 值为A 4 B 5 C6 D74设m是不为零的实数，则“0m” 是“ 方程221xymm表示双曲线 ” 的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5已知直线0 xym与圆 O ：221xy相交于A，B两点，且OAB 为正三角形，则实数m的值为A32B62C32或32D62或626从编号分别为1，2，3， 4，5，6 的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为A15B25C35D45开始a = 1 , k = 1 a = 2ak = k +1 结束a 10 输出k否是精选学习资料 - - - -

3、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 23 页高三年级数学-理科第3页共 4 页7某三棱锥的三视图如下图，则以下说法中： 三棱锥的体积为16 三棱锥的四个面全是直角三角形 三棱锥四个面的面积中最大的值是32所有正确的说法是 AB CD8已知点F为抛物线C：220ypx p的焦点，点K为点F关于原点的对称点，点M在抛物线C上，则以下说法错误的选项是A使得MFK为等腰三角形的点M有且仅有4 个B使得MFK为直角三角形的点M有且仅有4 个C使得4MKF的点M有且仅有4 个D使得6MKF的点M有且仅有4 个第二部分非选择题，共110分二、填空题共 6 小题，每题

4、5 分，共 30 分。9点(2,0)到双曲线2214xy的渐近线的距离是_ .10已知公差为1的等差数列na中，1a，2a，4a成等比数列，则na的前 100 项的和为11设抛物线C：24yx的顶点为O，经过抛物线C的焦点且垂直于x轴的直线和抛1222222主视图左视图俯视图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 23 页高三年级数学-理科第4页共 4 页物线C交于 A，B 两点，则OAOB12已知51nx展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64：1，则n13 已知正方体1111ABCDA B C D 的棱长为4 2

5、，M是棱BC的中点，点P在底面ABCD内，点Q在线段11AC上.假设1PM，则PQ长度的最小值为14对任意实数k，定义集合20( , )20,0kxyDx yxyx ykxyR. 假设集合kD表示的平面区域是一个三角形，则实数k 的取值范围是； 当0k时， 假设对任意的0( , )x yD ， 有31ya x恒成立，且存在0( , )x yD ，使得xya成立，则实数a的取值范围为三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15 本小题13 分如图，在 ABC 中，点D在AC边上，且3ADDC，7AB，3ADB，=6C.求DC的值；求 tanABC 的值 .

6、ABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 23 页高三年级数学-理科第5页共 4 页16 本小题13 分据中国日报网报道：2017 年 11 月 13 日，TOP500 发布的最新一期全球超级电脑500 强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席.其中超算全球第一“ 神威 太湖之光 ” 完全使用了国产处理器 .为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了 12 次测试，结果如下： 数值越小，速度越快，单位是 MIPS 测试1测试2测试3测试4测试5测试6测试7测试8测试9测试10测试11测试12品

7、牌A3691041121746614品牌B2854258155121021从品牌A的 12 次测试结果中，随机抽取一次，求测试结果小于7 的概率；在12 次测试中，随机抽取三次，记X为品牌A的测试结果大于品牌B的测试结果的次数，求X的分布列和数学期望()E X；经过了解，前6 次测试是打开含有文字与表格的文件，后6 次测试是打开含有文字与图片的文件 .请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.17 本小题14 分如图 1，梯形ABCD中，/ADBC，CDBC，1BCCD，2AD，E为AD中点 .将ABE沿BE翻折到1A BE的位置，使11A EA D如

8、图 2.求证：平面1A ED平面BCDE；求1A B 与平面1ACD 所成角的正弦值；设M、N分别为1A E和BC的中点，试比较三棱锥1MACD和三棱锥1NACD图中未画出的体积大小，并说明理由. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 23 页高三年级数学-理科第6页共 4 页AEDBCBCEDA1MN图 1 图 218 本小题13 分已知椭圆C：2229xy，点(2,0)P.求椭圆C的短轴长与离心率；过 1，0的直线l与椭圆C相交于M、N两点，设MN的中点为T，判断|TP与|TM的大小，并证明你的结论.19 本小题14 分已

9、知函数2( )222xf xaxxe求曲线( )yf x在点(0,(0)f处的切线方程；当0a时，求证：函数( )f x有且只有一个零点；当0a时，写出函数( )fx的零点的个数.只需写出结论20 本小题13 分无穷数列na满足：1a为正整数， 且对任意正整数n，1na为前 n 项12,na aa中等于na的项的个数 .假设12a，请写出数列na的前 7项；求证：对于任意正整数M，必存在kN，使得kaM；求证：“11a” 是“ 存在mN，当nm时，恒有2nnaa成立 ” 的充要条件 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 23

10、 页高三年级数学-理科第7页共 4 页海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案2018.1数学理科一、选择题：本大题共8 小题，每题5 分，共 40 分.题号12345678选项ADBADCDC二、填空题 : 本大题共6 小题，每题5 分，共 30 分 .( 有两空的小题第一空3 分) 925510 5050112126133314( 1,1)1 2, 5三、解答题 : 本大题共6 小题，共80 分. 15. 本小题13 分解： 如下图，366DBCADBC，.1 分故DBCC，DBDC.2 分设DCx，则DBx，3DAx. 在ADB中，由余弦定理2222cosABDADBDA DBADB.3

11、分即22217(3 )2 372xxx xx，.4 分解得1x，即1DC. .5 分方法一. 在ADB中，由ADAB，得60ABDADB，故ABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 23 页高三年级数学-理科第8页共 4 页362ABCABDDBC.7 分在ABC中，由正弦定理sinsinACABABCACB即471sin2ABC，故2sin7ABC，.10分由(,)2ABC，得3cos7ABC，.11分22tan333ABC13 分方法二 . 在ADB中，由余弦定理2227191cos227 12 7ABBDADABDA

12、B BD.8分由(0,)ABD，故3 3sin2 7ABD故tan3 3ABD.11 分故33 3tantan263tantan()36331tantan13 363ABDABCABDABD13 分方法三：2222cos3BCBDCDBD CDBDC，3BC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 23 页高三年级数学-理科第9页共 4 页2223cos27BABCACABCBA BC8分因为(0,)ABC，所以2sin7ABC11 分所以22tan333ABC13分16. 本小题13 分从品牌A的 12 次测试中，测试结果打开速

13、度小于7 的文件有：测试 1、2、5、6、9、 10、11，共 7 次设该测试结果打开速度小于7 为事件A，因此7()12P A.3分 12 次测试中，品牌A的测试结果大于品牌B的测试结果的次数有：测试 1、3、4、5、7、8，共 6 次随机变量X所有可能的取值为：0，1，2，330663121(0)11C CP XC21663129(1)22C CP XC12663129(2)22C CP XC03663121(3)11C CP XC.7分随机变量X的分布列为X0123P111922922111.8分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

14、 9 页，共 23 页高三年级数学-理科第10页共 4 页19913()0123112222112E X.10分此题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分. 给出明确结论，1 分；结合已有数据，能够运用以下8 个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2 分. 13 分. 标准 1: 会用前 6 次测试品牌A、品牌 B的测试结果的平均值与后6 次测试品牌A、品牌 B 的测试结果的平均值进行阐述这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的平均值均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果平均值；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的平

15、均速度均快于打开含有文字和图片的文件的平均速度标准 2: 会用前 6 次测试品牌A、品牌 B的测试结果的方差与后6次测试品牌A、品牌B 的测试结果的方差进行阐述这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的方差均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的方差；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件速度的波动均小于打开含有文字和图片的文件速度的波动标准 3：会用品牌A前 6 次测试结果的平均值、后6 次测试结果的平均值与品牌B前 6 次测试结果的平均值、后 6 次测试结果的平均值进行阐述品牌 A前 6 次测试结果的平均值大于品牌B前 6 次测试结果的平均值，品牌 A后 6 次测试结果的

16、平均值小于品牌B后 6次测试结果的平均值，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌B，品牌 A打开含有文字和图形的文件的速度快于品牌B 标准 4：会用品牌A前 6 次测试结果的方差、后6 次测试结果的方差与品牌B前 6次测试结果的方差、后 6 次测试结果的方差进行阐述品牌 A前 6 次测试结果的方差大于品牌 B前 6 次测试结果的方差，品牌A后 6 次测试结果的方差小于品牌B 后 6 次测试结果的方差，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度波动大于品牌B，品牌 A打开含有文字和图形的文件的速度波动小于品牌B标准 5：会用品牌A这 12 次测试结果的平均值与品牌B这 12 次测试结果的平均值精

17、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 23 页高三年级数学-理科第11页共 4 页进行阐述品牌A这 12 次测试结果的平均值小于品牌B这 12 次测试结果的平均值，品牌A打开文件的平均速度快于B标准 6：会用品牌A这 12 次测试结果的方差与品牌B这 12 次测试结果的方差进行阐述品牌 A这 12 次测试结果的方差小于品牌B这 12 次测试结果的方差，品牌 A打开文件速度的波动小于B标准 7： 会用前 6 次测试中， 品牌 A测试结果大于 小于 品牌 B测试结果的次数、后 6 次测试中，品牌A测试结果大于小于品牌B测试结果的次

18、数进行阐述前6 次测试结果中，品牌A小于品牌B 的有 2 次，占1/3. 后 6 次测试中，品牌A 小于品牌B的有 4次，占 2/3. 故品牌 A打开含有文字和表格的文件的速度慢于B，品牌 A打开含有文字和图片的文件的速度快于B标准 8：会用这12 次测试中，品牌A测试结果大于小于品牌B测试结果的次数进行阐述这12 次测试结果中，品牌A小于品牌 B的有 6 次，占 1/2. 故品牌 A和品牌B打开文件的速度相当参考数据期望前 6 次后 6 次12 次品牌 A品牌 B品牌 A 与品牌 B方差前 6 次后 6 次12 次品牌 A12.30 27.37 23.15 品牌 B5.07 31.77 32

19、.08 品牌 A 与品牌 B8.27 27.97 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 23 页高三年级数学-理科第12页共 4 页17. 本小题14 分证明：由图1，梯形ABCD中，/ADBC，CDBC，1BC，2AD，E为AD中点，BEAD故图 2，1BEAE，BEDE.1分因为1A EDEE，1A E，DE平面1ADE.2分所以BE平面1ADE.3分因为BE平面BCDE，所以平面1ADE平面BCDE.4分解一：取DE中点O，连接1OA，ON.因为在1A DE中，111AEADDE，O为DE中点所以1AODE因为平面1A

20、DE平面BCDE平面1ADE平面BCDEDE1AO平面1ADE所以1AO平面BCDE因为在正方形BCDE中，O、N分别为DE、BC的中点，所以ONDE建系如图 . BCEDA1zxyMN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 23 页高三年级数学-理科第13页共 4 页则13(0,0,)2A，1(1,0)2B，1(1,0)2C，1(0,0)2D，1(0,0)2E. .5分113(1,)22A B113(0,)22A D，(1,0,0)DC，设平面1ACD的法向量为( , , )nx y z，则100n ADn DC，即1302

21、20yzx，令1z得，3y，所以(0,3,1)n是平面1ACD的一个方向量 . .7分11136cos,42 2| |AB nA B nABn.9分所以1A B 与平面1ACD 所成角的正弦值为64. .10分解二：在平面1ADE内作EFED，由BE平面1ADE，建系如图 . 则113(0,)22A，(1,0,0)B，(1,1,0)C，(0,1,0)D，(0,0,0)E. .5分113(1,)22A BBCEDA1zxyMN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 23 页高三年级数学-理科第14页共 4 页113(0,)22A

22、 D，(1,0,0)DC，设平面1ACD的法向量为( , , )nx y z，则100n ADn DC，即130220yzx，令1z得，3y，所以(0,3,1)n是平面1ACD的一个方向量 . .7分11136cos,42 2| |AB nA B nABn.9分所以1A B 与平面1ACD 所成角的正弦值为64. .10分解：三棱锥1MACD和三棱锥1NACD的体积相等 . 理由如下 :方法一：由13(0,)44M，1(1,0)2N，知13(1,)44MN，则0MNn.11分因为MN平面1ACD，.12分所以/MN平面1ACD. .13分故点M、N到平面1ACD的距离相等， 有三棱锥1MACD

23、和1NACD同底等高， 所以体积相等 . .14分方法二：如图，取DE中点P，连接MP，NP，MN.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 23 页高三年级数学-理科第15页共 4 页因为在1ADE中，M，P分别是1A E，DE的中点，所以1/ /MPAD因为在正方形BCDE中，N，P分别是BC，DE的中点，所以/NPCD因为MPNPP，MP，NP平面MNP，1AD，CD平面1ACD所以平面MNP /平面1ACD.11分因为MN平面MNP，.12分所以/MN平面1ACD.13分故点M、N到平面1ACD的距离相等， 有三棱锥1M

24、ACD和1NACD同底等高，所以体积相等. .14分BCEDA1MNPBCEDA1MNQ法二法三方法三：如图，取1AD中点Q，连接MN，MQ，CQ.因为在1ADE中，M，Q分别是1A E，1AD的中点，所以/MQED且12MQED因为在正方形BCDE中，N是BC的中点，所以/NCED且12NCED所 以/MQNC且MQNC， 故 四 边 形MNCQ是 平 行 四 边 形 ， 故/MNCQ.11分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 23 页高三年级数学-理科第16页共 4 页因为CQ平面1ACD，MN平面1ACD， .12分

25、所以/MN平面1ACD. .13分故点M、N到平面1ACD的距离相等， 有三棱锥1MACD和1NACD同底等高，所以体积相等. .14分18. 本小题13 分解： C：221992xy，故29a，292b，292c，有3a，322bc. .2分椭圆C的短轴长为23 2b，.3分离心率为22cea. .5分方法1：结论是：|TPTM. 当直线l斜率不存在时，:1lx，|0| 2TPTM .7分当直线l斜率存在时，设直线l：(1)yk x，11(,)M x y，22(,)N xy2229(1)xyyk x，整理得：2222(21)4290kxk xk .8 分22222(4)4(21)(29)64

26、360kkkk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 23 页高三年级数学-理科第17页共 4 页故2122421kxxk，21222921kx xk .9 分PM PN1212(2)(2)xxy y21212(2)(2)(1)(1)xxkxx2221212(1)(2)()4kx xkxxk2222222294(1)(2)42121kkkkkkk226521kk0 .13分故90MPN，即点P在以MN为直径的圆内，故|TPTM方法2：结论是：|TPTM. 当直线l斜率不存在时，:1lx，|0| 2TPTM .7分当直线l斜率存

27、在时，设直线l：(1)yk x，11(,)M x y，22(,)N xy，(,)TTT xy2229(1)xyyk x，整理得：2222(21)4290kxk xk .8分22222(4)4(21)(29)64360kkkk故2122421kxxk，21222921kx xk.9分212212()221Tkxxxk，2(1)21TTkyk xk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 23 页高三年级数学-理科第18页共 4 页.10分222242222222222222(22)494|(2)(2)()2121(21)(21)T

28、TkkkkkkTPxykkkk.11分22222212121222224222222222111|(|)(1)()(1) ()42441429(1)(169)16259(1)()442121(21)(21)TMMNkxxkxxx xkkkkkkkkkkk .12分此时，424242222222221625949412165|0(21)(21)(21)kkkkkkTMTPkkk .13分故|TMTP19. 本小题14 分因为函数2( )222xf xaxxe所以( )222xfxaxe.2分故(0)0f，(0)0f.4分曲线( )yf x在0 x处的切线方程为0y.5分当0a时，令( )( )2

29、22xg xfxaxe，则( )220 xg xae.6分故( )g x是R上的增函数 . .7分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 23 页高三年级数学-理科第19页共 4 页由(0)0g， .8分故当0 x时，( )0g x，当0 x时，( )0g x.即当0 x时，( )0fx，当0 x时，( )0fx.故( )f x在(,0)单调递减，在(0,)单调递增 . .10分函数( )fx的最小值为(0)f由(0)0f， .11分故( )f x有且仅有一个零点. 当01a时，( )fx有两个零点 . .12分当1a时，(

30、)f x有一个零点； .13分当1a时，( )f x有两个零点 . .14分20. 本小题13 分假设12a，则数列na的前 7 项为 2，1，1，2，2，3，1 3 分证法一假设存在正整数M，使得对任意的*kN，kaM. 由题意，1,2,3,.,kaM，故数列na多有M个不同的取值5 分考虑数列na的前21M项：1a，2a，3a，21Ma其中至少有1M项的取值相同，不妨设精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 23 页高三年级数学-理科第20页共 4 页121Miiiaaa此时有：111MiaMM，矛盾 .故对于任意的正整数

31、M，必存在*kN，使得kaM. 8 分证法二假设存在正整数M，使得对任意的*kN，kaM. 由题意，1,2,3,.,kaM，故数列na多有M个不同的取值5 分对任意的正整数m，数列na中至多有M项的值为m，事实上假设数列na中至少有1M项的值为m，其1M项为12311,MMMiiiiiiaaaaaa此时有：111MiaMM，矛盾 .故数列na至多有2M项，这与数列na有无穷多项矛盾。故对于任意的正整数M，必存在*kN，使得kaM.8 分充分性：假设11a，则数列na的项依次为1，1，2，1，3，1，4，1，2k，1，1k，1，k，1，特别地，数列na的通项公式为,211,2nknkank，即1

32、,2121,2nnnkank精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 23 页高三年级数学-理科第21页共 4 页故对任意的*nN1假设n为偶数，则21nnaa2假设n为奇数，则23122nnnnaa综上，2nnaa恒成立，特别地，取1m有当nm时，恒有2nnaa成立10 分必要性：方法一假设存在1ak1k ，使得 “ 存在mN，当nm时，恒有2nnaa成立 ”则数列na的前21k项为k，211,1,2,1,3,1,4,.,1,2,1,1,1,kkkk项，232,2,3,2,4,2,5,.,2,2,2,1,2,kkkk项，253

33、,3,4,3,5,3,6,.,3,2,3,1,3,kkkk项，52,2,1,2,kkkkk项，31,1,kkk项，k后面的项顺次为21,1,1,2,1,3,.,1,2,1,1,1,kkkkkkkkkk项，22,1,2,2,2,3,.,2,2,2,1,2,kkkkkkkkkk项，23,1,3,2,3,3,.,3,2,3,1,3,kkkkkkkkkk项，2,1,2,3,.,2,1,kktktktkt kkt kkt k项，故对任意的1,2,3,.,2,1,skkk，*tN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 23 页高三年级数学

34、-理科第22页共 4 页221 2(1)211 2(1)2ktksktksaktas对任意的m，取12mtk，其中 x表示不超过x的最大整数，则2ktm，令212nkkt，则nm，此时nak，21na有2nnaa，这与2nnaa矛盾，故假设存在mN，当nm时，恒有2nnaa成立，必有11a13 分方法二假设存在mN，当nm时，2nnaa恒成立，记12max,ma aas.由第 2问的结论可知：存在kN，使得kas由 s 的定义知1km不妨设ka是数列na中第一个大于等于1s的项，即121,ka aa均小于等于s. 则11ka.因为1km，所以11kkaa，即11ka且1ka为正整数，所以11k

35、a.记1kats，由数列na的定义可知，在121,ka aa中恰有 t 项等于 1.假设11a，则可设121tiiiaaa，其中1211tiiik，考虑这 t 个 1 的前一项，即12111,tiiiaaa，因为它们均为不超过s 的正整数， 且1ts， 所以12111,tiiiaaa中一定存在两项相等，将其记为a，则数列na中相邻两项恰好为a，1的情况至少出现2 次，但根据数列na的定义可知：第二个a 的后一项应该至少为2，不能为1，所以矛盾！故假设11a不成立，所以11a，即必要性得证！13 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 23 页高三年级数学-理科第23页共 4 页综上， “11a” 是“ 存在mN，当nm时，恒有2nnaa成立 ” 的充要条件 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 23 页