2019大一轮高考总复习文数（北师大版）讲义：第9章 第07节 双曲线及其性质 .doc

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1、第七节第七节 双曲线及其性质双曲线及其性质 考点高考试题考查内容核心素养 2017全国卷T55 分 由双曲线方程求三角形面 积 数形结合 2015全国卷T165 分 由双曲线方程求三角形面 积 数形结合 双曲线 的方程 2015全国卷T155 分 求双曲线方程数学运算 2017全国卷T55 分 求双曲线的离心率数学运算 双曲线 的性质2017全国卷T145 分 由双曲线的渐近线求参数 值 数学运算 命题分析 双曲线的定义、标准方程、几何性质一直是高考命题热点，其中离心率渐 近线是高考考查重点，多以选择题填空题形式出现，一般不会出现在解答 题中，在解题时要熟练掌握基础知识，以及双曲线方程的求法，

2、灵活应用 双曲线的几何性质，2019 年高考仍然会考查双曲线的定义、标准方程、几 何性质，题型为选择题填空题，分值 5 分. 1双曲线的定义 我们把平面内到两定点 F1，F2的距离之差的_绝对值_等于常数(大于零且小于 _|F1F2|_)的点的集合叫作双曲线定点 F1，F2叫作双曲线的_焦点_，两个焦点之间的 距离叫作双曲线的_焦距_ 2双曲线的标准方程和几何性质 标准 方程 1(a0，b0) x2 a2 y2 b2 1(a0，b0) y2 a2 x2 b2 图形 性范围 xa 或 xa，ya 或 ya，xR yR 对称性对称轴：_坐标轴_，对称中心：_原点_ 顶点 顶点坐标： A1_(a,0

3、)_，A2_(a,0)_ 顶点坐标： A1_(0，a)_，A2_(0，a)_ 渐近线 y x b a y x a b 离心率 e ，e(1，) c a a，b，c 的关系 c2_a2b2_ 质 实虚轴 线段 A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|_2a_； 线段 B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|_2b_； a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长 提醒： 1辨明三个易误点 (1)双曲线的定义中易忽视 2a|F1F2|这一条件，若 2a|F1F2|，则轨迹是以 F1，F2为端 点的两条射线，若 2a|F1F2|，则轨迹不存在 (2)区分双曲线中 a，b，c 的关系与椭

4、圆中 a，b，c 的关系，在椭圆中 a2b2c2，而 在双曲线中 c2a2b2 (3)双曲线的离心率 e(1，)，而椭圆的离心率 e(0,1) 2求双曲线标准方程的两种方法 (1)定义法 根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的 a，b，c，即可 求得方程 (2)待定系数法 与双曲线1 共渐近线的可设为(0)； x2 a2 y2 b2 x2 a2 y2 b2 若渐近线方程为 y x，则可设为(0)； b a x2 a2 y2 b2 若过两个已知点，则可设为1(mn0) x2 m y2 n 3双曲线几何性质的三个关注点 (1)“六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点； (2)“四

5、线”：两对称轴(实、虚轴)、两渐近线； (3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形；双曲线上的一点(不包括顶点)与 两焦点构成的三角形 1判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”) (1)平面内到点 F1(0,4)，F2(0，4)距离之差等于 6 的点的轨迹是双曲线( ) (2)平面内到点 F1(0,4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线( ) (3)方程1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线( ) x2 m y2 n (4)双曲线方程(m0，n0，0)的渐近线方程是 0，即 0.( ) x2 m2 y2 n2 x2 m2 y2 n2 x m y n

6、(5)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( ) 2 (6)若双曲线1(a0，b0)与1(a0，b0)的离心率分别是 e1，e2，则 x2 a2 y2 b2 x2 b2 y2 a2 1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)( ) 1 e2 1 1 e2 2 答案：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 2(教材习题改编)双曲线 y2x24 的渐近线方程是( ) Ayx Byx 2 Cyx Dy2x 3 解析：选 A 由题意知1，yx y2 4 x2 4 3已知双曲线1 的离心率 e(1,2)，则 m 的取值范围为( ) y2 5 x2 m A B(0,15) ( 5 3，) C D(1

7、5，) (0， 5 3) 解析：选 B 由双曲线方程1，知 e，所以 1 2， y2 5 x2 m 5m 5 1m 5 1m 5 解得：0m15 4(2016北京卷)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线为 2xy0，一个 x2 a2 y2 b2 焦点为(，0)，则 a_；b_ 5 解析：由 2xy0 得 y2x，所以 2. 又 c，a2b2c2，解得 a1，b2 b a5 答案：1 2 双曲线的定义及应用 明技法 双曲线定义的应用规律 类型解读 求方程 由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定 2a,2b 或 2c 的值，从而求出 a2，b2的值，写出双曲线方程 解焦点 三角形

8、利用双曲线上点 M 与两焦点的距离的差|MF1|MF2|2a(其中 2a|F1F2|)与正弦定理、余弦定理，解决焦点三角形问题 注意：在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双 曲线的一支若是双曲线的一支，则需确定是哪一支 提能力 【典例 1】 (2016全国卷)已知方程1 表示双曲线，且该双曲线两 x2 m2n y2 3m2n 焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是( ) A(1,3) B(1，) 3 C(0,3) D(0，) 3 解析：选 A 方程1 表示双曲线，(m2n)(3m2n)0，解得 x2 m2n y2 3m2n m2n3m2，由双曲线性质，知 c2(

9、m2n)(3m2n)4m2(其中 c 是半焦距)，焦距 2c22|m|4，解得|m|1，1n0) x2 a2 y2 b2 由已知条件可得Error!Error!解得Error!Error! 双曲线的标准方程为y21 x2 4 答案：y21 x2 4 双曲线的几何性质 析考情 双曲线的几何性质及应用，是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试 题多为容易题或中档题 高考对双曲线的几何性质的考查主要有以下三个命题点： (1)求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长； (2)求双曲线的渐近线方程； (3)求双曲线的离心率(或范围) 提能力 命题点 1：求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长 【典例 1】

10、若实数 k 满足 0k5，则曲线1 与曲线1 的( ) x2 16 y2 5k x2 16k y2 5 A实半轴长相等 B虚半轴长相等 C离心率相等 D焦距相等 解析：选 D 由 0k5，易知两曲线均为双曲线且焦点都在 x 轴上，由 165k ，得两双曲线的焦距相等 16k5 命题点 2：求双曲线的渐近线方程 【典例 2】 已知 ab0，椭圆 C1的方程为1，双曲线 C2的方程为 x2 a2 y2 b2 1，C1与 C2的离心率之积为，则 C2的渐近线方程为( ) x2 a2 y2 b2 3 2 Axy0 Bxy0 22 Cx2y0 D2xy0 解析：选 A 椭圆 C1的离心率为， a2b2

11、a 双曲线 C2的离心率为， a2b2 a 所以， a2b2 a a2b2 a 3 2 所以 a4b4 a4，即 a44b4，所以 ab， 3 42 所以双曲线 C2的渐近线方程是 y x， 1 2 即 xy0 2 命题点 3：求双曲线的离心率(或范围) 【典例 3】 (2015全国卷)已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上， ABM 为等腰三角形，且顶角为 120，则 E 的离心率为( ) A B2 5 C D 32 解析：选 D 不妨取点 M 在第一象限，如图所示， 设双曲线方程为1(a0，b0)，则|BM|AB|2a，MBx18012060， x2 a2 y2 b2

12、 M 点的坐标为 (2a， 3a) M 点在双曲线上，1，ab， 4a2 a2 3a2 b2 ca，e .故选 D 2 c a2 悟技法 与双曲线几何性质有关问题的解题策略 (1)求双曲线的离心率(或范围)依据题设条件，将问题转化为关于 a，c 的等式(或不 等式)，解方程(或不等式)即可求得 (2)求双曲线的渐近线方程依据题设条件，求双曲线中 a，b 的值或 a 与 b 的比值， 进而得出双曲线的渐近线方程 (3)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长依题设条件及 a，b，c 之间的关系求解 刷好题 1(2018麻城一模)已知双曲线的渐近线方程为 y x，则双曲线的离心率为( ) 3 4 A B

13、5 3 5 4 C 或 D 5 3 5 43 解析：选 C 由双曲线的渐近线方程为 y x， 3 4 得 或 ， b a 3 4 a b 3 4 又离心率 e，所以 e 或 e 1b2 a2 5 3 5 4 2(2018西安模拟)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1、F2， x2 a2 y2 b2 且 F2为抛物线 y224x 的焦点，设点 P 为两曲线的一个公共点，若PF1F2的面积为 36，则双曲线的方程为( ) 6 A1 B1 x2 9 y2 27 x2 27 y2 9 C1 D1 x2 16 y2 9 x2 9 y2 16 解析：选 A 由题意，F2(6,0)，设 P(m，n)，则 PF1F2的面积为 36， 6 12|n|36，|n|6，m9， 1 266 取 P(9,6)， 6 则 2a6， 9626 629626 62 a3，b3， 3 双曲线的方程为1，故选 A x2 9 y2 27