2019大一轮高考总复习文数（北师大版）讲义：选修4－5 第01节 绝对值不等式 .doc

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1、第一节第一节 绝对值不等式绝对值不等式 考点高考试题考查内容核心素养 2017全国卷T2310 分绝对值不等式的解法数学运算 2017全国卷T2310 分绝对值不等式的解法数学运算 2016全国卷T2410 分 绝对值函数的图象与绝对值不 等式的解法 数学运算 2016全国卷T2410 分 绝对值不等式的解法与绝对值 不等式的证明 数学运算 2016全国卷T2410 分 绝对值不等式的解法、绝对值 不等式的性质 数学运算 2015全国卷T2410 分绝对值不等式的解法与最值数学运算 绝对 值不 等式 2015全国卷T2410 分绝对值不等式的证明数学运算 命题 分析 本节一直是高考的热点，以解

2、答题形式出现，考查绝对值不等式的解法 和不等式的证明，解题时注意绝对值三角不等式、零点分段讨论及数形 结合思想的应用. 1绝对值不等式的解法 (1)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法 |axb|c_caxbc_ |axb|c_axbc 或 axbc_ (2)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论思想； 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想 2含有绝对值的不等式的性质 (1)定理 1：如果 a，b 是实数，则|ab|a

3、|b|，当且仅当_ab0_时，等号成立 (2)定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么|ab|ac|cb|，当且仅当_(ac)(cb) 0_时，等号成立 提醒： 1对形如|f(x)|a 或|f(x)|a 型的不等式求其解集时，易忽视 a 的符号直接等价转化造 成失误 2绝对值不等式|a|b|ab|a|b|中易忽视等号成立的条件如 |ab|a|b|，当且仅当 ab0 时等号成立，其他类似推导 1判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”) (1)若|x|c 的解集为 R，则 c0.( ) (2)不等式|x1|x2|2 的解集为.( ) (3)对|ab|a|b|当且仅当 ab0 时等号成立(

4、 ) (4)对|a|b|ab|当且仅当|a|b|时等号成立( ) (5)对|ab|a|b|当且仅当 ab0 时等号成立( ) 答案：(1) (2) (3) (4) (5) 2不等式|x1|x5|2 的解集是( ) A(，4) B(，1) C(1,4) D(1,5) 解析：选 A 当 x1 时，原不等式等价于 1x(5x)2，即42.x1 当 1x5 时，原不等式等价于 x1(5x)2，即 x4，1x4 当 x5 时，原不等式等价于 x1(x5)2，即 42，无解 综合知 x4 3不等式|x1|x2|5 的解集为_ 解析：原不等式等价于Error!Error! 或Error!Error!或Err

5、or!Error! 解得 x2 或 x3 故原不等式的解集为x|x3 或 x2 答案：x|x3 或 x2 4若不等式|2x1|x2|a2 a2 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是 1 2 _ 解析：令 f(x)|2x1|x2|，易求得 f(x)min ，依题意得 a2 a2 1a 5 2 1 2 5 2 1 2 答案： 1，1 2 含绝对值不等式的解法 明技法 |xa|xb|c(或c)型不等式的解法 分段 讨论法 利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为，a，a，b， b，此处设ab三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别 列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集 几何法

6、 利用|xa|xb|cc0的几何意义：数轴上到点x1a和x2b的 距离之和大于c的全体，|xa|xb| |xaxb|ab| 图象法作出函数y1|xa|xb|和y2c的图象，结合图象求解 提能力 【典例】 (2016全国卷)已知函数 f(x)|x1|2x3| (1)画出 yf(x)的图象； (2)求不等式|f(x)|1 的解集 解：(1)f(x)Error!Error! 由分段函数的图象画法，可得 f(x)的图象，如图 (2)由|f(x)|1，可得 当 x1 时，|x4|1，解得 x5 或 x3，即有 x1； 当1x 时，|3x2|1，解得 x1 或 x ，即有1x 或 1x ； 3 2 1 3

7、 1 3 3 2 当 x 时，|4x|1，解得 x5 或 x3，即有 x5 或 x3 3 2 3 2 综上可得，x 或 1x3 或 x5 1 3 即|f(x)|1 的解集为Error!Error! 刷好题 1解不等式|x3|2x1| 1 x 2 解：当 x3 时，原不等式化为(x3)(12x) 1，解得 x10，所以 x 2 x3 当3x 时，原不等式化为(x3)(12x) 1，解得 x ， 1 2 x 2 2 5 所以3x 2 5 当 x 时，原不等式化为(x3)(2x1) 1，解得 x2，所以 x2 1 2 x 2 综上可知，原不等式的解集为Error!Error! 2(2017全国卷)已

8、知函数 f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1| (1)当 a1 时，求不等式 f(x)g(x)的解集； (2)若不等式 f(x)g(x)的解集包含1,1，求 a 的取值范围 解：(1)当 a1 时，不等式 f(x)g(x)等价于 x2x|x1|x1|40. 当 x1 时，式化为 x23x40，无解； 当1x1 时，式化为 x2x20，从而1x1； 当 x1 时，式化为 x2x40， 从而 1x 1 17 2 所以 f(x)g(x)的解集为Error!Error! (2)当 x1,1时，g(x)2， 所以 f(x)g(x)的解集包含1,1等价于当 x1,1时，f(x)2 又 f(x)在1,1

9、的最小值必为 f(1)与 f(1)之一， 所以 f(1)2 且 f(1)2，得1a1 所以 a 的取值范围为1,1 绝对值不等式的性质 明技法 两数和与差的绝对值不等式的性质 (1)对绝对值三角不等式定理|a|b|ab|a|b|中等号成立的条件要深刻理解，特 别是用此定理求函数的最值时 (2)该定理可强化为|a|b|ab|a|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式 提能力 【典例 1】 设不等式|x2|a(aN*)的解集为 A，且 A， A 3 2 1 2 (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)|xa|x2|的最小值 解：(1)因为 A，且 A， 3 2 1 2 所以a，且a， | 3 2

10、2| | 1 22| 解得 a ，又因为 aN*，所以 a1 1 2 3 2 (2)因为 f(x)|x1|x2|(x1)(x2)|3 当且仅当(x1)(x2)0 即1x2 时取到等号，所以 f(x)的最小值为 3 【典例 2】 (1)如果 a，bR.求证|ab|a|b|，当且仅当 ab0 时，等号成立 (2)已知 x，yR，且|xy| ，|xy| ，求证：|x5y|1 1 6 1 4 证明：(1)当 ab0 时，ab|ab|， 所以|ab|a|b| ab2a22abb2 |a|22|ab|b|2|a|b|2 当 ab0 时，ab|ab|， 所以|ab| ab2a22abb2 |a|22|ab|

11、b|2 |a|b| |a|22|ab|b|2|a|b|2 所以|ab|a|b|， 当且仅当 ab0 时，等号成立 (2)因为|x5y|3(xy)2(xy)| 所以由绝对值不等式的性质，得 |x5y|3(xy)2(xy)| |3(xy)|2(xy)|3|xy|2|xy|3 2 1.即|x5y|1 1 6 1 4 刷好题 1确定“|xa|m 且|ya|m”是“|xy|2m(x，y，a，mR)”的什么条件 解：因为|xy|(xa)(ya)|xa|ya|mm2m， 所以“|xa|m 且|ya|m”是“|xy|2m”的充分条件 取 x3，y1，a2，m2.5，则有|xy|22m， 但|xa|5，不满足|

12、xa|m2.5， 故“|xa|m 且|ya|m”不是“|xy|2m”的必要条件 故为充分不必要条件 2如果 a，b，cR，求证|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0 时，等号 成立 证明：由 a，bR，|ab|a|b|， 当且仅当 ab0 时，等号成立， 有|ac|(ab)(bc)|ab|bc|， 当且仅当(ab)(bc)0 时等号成立 绝对值不等式的综合应用 明技法 (1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将 原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决是常用的思维方法 (2)对于求 y|xa|xb|或 y|xa|xb|型的最值问题利用绝对值三角不

13、等式更 方便形如 y|xa|xb|的函数只有最小值，形如 y|xa|xb|的函数既有最大值 又有最小值 提能力 【典例 1】 (2016全国卷)已知函数 f(x)|2xa|a. (1)当 a2 时，求不等式 f(x)6 的解集； (2)设函数 g(x)|2x1|，当 xR 时，f(x)g (x)3，求 a 的取值范围 解：(1)当 a2 时，f(x)|2x2|2 f(x)6，|2x2|26，|2x2|4，|x1|2， 2x12，解得1x3， 不等式 f(x)6 的解集为x|1x3 (2)g(x)|2x1|， f(x)g(x)|2x1|2xa|a3， 2|x |2|x |a3，|x |x | 1

14、 2 a 2 1 2 a 2 3a 2 当 a3 时，成立； 当 a3 时， |a1|0， 1 2 3a 2 (a1)2(3a)2，解得 2a3， a 的取值范围是2，) 【典例 2】 已知函数 f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3 (1)当 a2 时，求不等式 f(x)g(x)的解集； (2)设 a1，且当 x时，f(x)g(x)，求 a 的取值范围 a 2， 1 2) 解：(1)当 a2 时，不等式 f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30 设函数 y|2x1|2x2|x3，则 yError!Error! 其图象如图所示从图象可知，当且仅当 x(0,2)时，y0.所以原不等式的解集

15、是 x|0x2 (2)当 x时，f(x)1a a 2， 1 2) 不等式 f(x)g(x)化为 1ax3 所以 xa2 对 x都成立 a 2， 1 2) 故 a2，即 a a 2 4 3 从而 a 的取值范围是 (1， 4 3 刷好题 (2018兰州诊断)设函数 f(x)|2x1|x2| (1)解不等式 f(x)0； (2)若x0R，使得 f(x0)2m24m，求实数 m 的取值范围 解：(1)不等式 f(x)0，即|2x1|x2|， 即 4x24x1x24x4， 即 3x28x30，解得 x 或 x3， 1 3 所以不等式 f(x)0 的解集为x |x 1 3或x3 (2)f(x)|2x1|x2| Error!Error! 故 f(x)的最小值为 f ( 1 2) 5 2 因为x0R，使得 f(x0)2m24m， 所以 4m2m2 ，解得 m 5 2 1 2 5 2 所以 m 的取值范围是 ( 1 2， 5 2)