2022年二次函数的图象和性质 .pdf

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1、6.2 二次函数的图象和性质（1）教学目标 : 经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究二次函数性质的经验掌握利用描点法作出y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质能够作为二次函数y=x2的图象，并比较它与y=x2图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系教学重点 : 利用描点法作出y=x2的图象过程中，理解掌握二次函数y=x2的性质，这是掌握二次函数 y=ax2bxc（a0）的基础，是二次函数图象、表达式及性质认识应用的开始要注意图象的特点教学难点 : 函数图象的画法，及由图象概括出二次函数y=x2性质，它难在由图象概括性质，结合图象记忆

2、性质教学过程 : 一、作二次函数y=x2的图象。二、议一议：1. 你能描述图象的形状吗？与同伴交流。2. 图象与 x 轴有交点吗？如果有，交点的坐标是什么？3. 当 x0 时呢？4. 当 x 取什么值时， y 的值最小？5. 图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴交流。三、y=x2的图象的性质：三、例题：【例 1】求出函数y=x 2 与函数 y=x2的图象的交点坐标【例 2】已知 a 1，点（ a1，y1） 、 （a，y2） 、 （a1，y3）都在函数y=x2的图象上，则（）Ay1y2y3 By1y3y2 Cy3 y2 y1 Dy2y1y3 四、练习1函数

3、y=x2的顶点坐标为若点（ a，4）在其图象上，则a的值是2若点 A（ 3，m）是抛物线y= x2上一点，则m= 3函数 y=x2与 y=x2的图象关于对称，也可以认为y=x2，是函数 y=x2的图象绕旋转得到五： 小结1、我们通过观察总结得出二次函数y=ax2的图象的一些性质：、图象“抛物线”是轴对称图形；、与 x、y 轴交点（ 0，0）即原点；、 a 的绝对值越大抛物线开口越大，a0，开口向上，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页当 x 0 时，（对称轴左侧），y 随 x 的增大而减小（y 随 x 的减小而增大）

4、当 x 0 时，（对称轴右侧），y 随 x 的增大而增大（y 随 x 的减小而减小） a 0，开口向下，当 x0 时，（对称轴左侧），y 随 x 的增大而增大（y 随 x 的减小而减小）当 x0 时，（对称轴右侧），y 随 x 的增大而减小（y 随 x 的减小而增大）（2）今天我们通过观察收获不小，其实只要我们在日常生活中勤与观察，勤与思考，你会发现知识无处不在，美无处不在。六、 作业 ：（补充练习）1若二次函数y=ax2（a0） ，图象过点P（2， 8） ，则函数表达式为2函数 y=x2的图象的对称轴为，与对称轴的交点为，是函数的顶点3点 A（21，b）是抛物线y=x2上的一点，则b= ；点

5、 A 关于 y 轴的对称点B是， 它在函数上； 点 A 关于原点的对称点C 是， 它在函数上4求直线y=x 与抛物线y=x2的交点坐标5若 a1，点（ a1，y1） 、 （a，y2） 、 （a1，y3）都在函数y=x2的图象上，判断y1、y2、 y3的大小关系？6如图， A、 B 分别为 y=x2上两点，且线段AB y 轴，若 AB=6 ，则直线AB 的表达式为（）Ay=3 By=6 C y=9 Dy=36 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页6.2 二次函数的图象和性质（2）教学目标 : 1经历探索二次函数y=ax

6、2和 y=ax2c 的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验2会作出 y=ax2和 y=ax2c 的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a 与 c 对二次函数图象的影响3能说出y=ax2c 与 y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标4体会二次函数是某些实际问题的数学模型教学重点 : 二次函数 y=ax2、y=ax2c 的图象和性质， 因为它们的图象和性质是研究二次函数y=ax2bxc 的图象和性质的基础我们在教学时结合图象分别从开口方向、对称轴、 顶点坐标、最大（小值） 、函数的增减性几个方面记忆分析教学难点 : 由函数图象概括出y=ax2、y=ax2

7、 c 的性质根据函数图象联想函数性质，由性质来分析函数图象的形状和位置教学方法 : 类比教学法。教学过程 : 一、复习：二次函数y=x2 与 y=-x2的性质：抛物线y=x2y=-x2对称轴顶点坐标开口方向位置增减性最值二、问题引入：你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗？刹车距离与什么因素有关？有研究表明 : 汽车在某段公路上行驶时，速度为v(km/h) 汽车的刹车距离s(m) 可以由公式：晴天时：21001vs；雨天时：2501vs，请分别画出这两个函数的图像：三、动手操作、探究：1. 在同一平面内画出函数y=2x2与 y=2x2+1 的图象。2. 在同一平面内画出函数y=3x2与

8、y=3x2-1 的图象。比较它们的性质，你可以得到什么结论？四、例题：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页【例 1】 已知抛物线y=（m1）xmm2开口向下，求m 的值【例 2】 k 为何值时， y=（ k2）x622kk是关于 x 的二次函数？【例 3】在同一坐标系中，作出函数y=3x2， y=3x2， y=21x2， y=21x2的图象，并根据图象回答问题： （1）当 x=2 时， y=21x2比 y=3x2大（或小）多少？（2）当 x=2 时，y=21x2比 y=3x2大（或小）多少？【例 4】已知直线 y=2

9、x3 与抛物线y=ax2相交于 A、B 两点， 且 A 点坐标为（ 3，m） （1）求 a、 m 的值；（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；（3） x 取何值时，二次函数y=ax2中的 y 随 x 的增大而减小；（4）求 A、 B 两点及二次函数y=ax2的顶点构成的三角形的面积【例 5】有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m （1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；（ 2）在正常水位的基础上，当水位上升 h（m）时，桥下水面的宽度为d（m） ，求出将d 表示为 k 的函数表达式； （3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行

10、，桥下水面宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行五、小结你有哪些收获？六、作业精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页6.2 二次函数的图象和性质（3）教学目标 : 1会用描点法画出二次函数与的图象；2能结合图象确定抛物线与的对称轴与顶点坐标；3通过比较抛物线与同的相互关系，培养观察、分析、总结的能力;教学重点 : 画出形如与形如的二次函数的图象， 能指出上述函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标. 教学难点 : 理解函数、与及其图象间的相互关系教学方法 : 探索研究法。教学过程 : 一、复

11、习引入提问： 1什么是二次函数？2我们已研究过了什么样的二次函数？3形如的二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？二、新课复习提问：用描点法画出函数的图象，并根据图象指出：抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标. 例 1在同一平面直角坐标系画出函数、的图象 . 由图象思考下列问题：（1）抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？（2）抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？（3）抛物线，与的开口方向，对称轴，顶点坐标有何异同？（4）抛物线与同有什么关系？继续回答：抛物线的形状相同具体是指什么？根据你所学过的知识能否回答：为何这三条抛物线的开口方向和开口大小都相同？这三条抛物线的位置有何不同

12、？它们之间可有什么关系？抛物线是由抛物线沿y轴怎样移动了几个单位得到的？抛物线呢？你认为是什么决定了会这样平移？例 2 在同一平面直角坐标系内画出与的图象三、本节小结精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页本节课教学了二次函数与的图象的画法，主要内容如下。填写下表：表一：抛物线开口方向对称轴顶点坐标表二：抛物线开口方向对称轴顶点坐标四、作业。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页6.2 二次函数的图象和性质（4）教学目标 : 1会用描点法画出二次

13、函数的图像；2知道抛物线的对称轴与顶点坐标；教学重点 : 会画形如的二次函数的图像，并能指出图像的开口方向、对称轴及顶点坐标。教学难点 : 确定形如的二次函数的顶点坐标和对称轴。教学方法 : 探索研究法。教学过程 : 一、情景创设1、复习函数、与及其图象间的相互关系二、新授1、请你在同一直角坐标系内，画出函数的图像，并指出它们的开口方向，对称轴及顶点坐标2、你能否在这个直角坐标系中，再画出函数的图像？3、你能否指出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标？将在上面练习中三条抛物线的性质填入所列的有中，如下表：抛物线开口方向对称轴顶点坐标三、练习1、我们已知抛物线的开口方向是由二次函数中的a的值决定的

14、， 你能通过上表中的特征，试着总结出抛物线的对称轴和顶点坐标是由什么决定的吗？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页2、抛物线有什么关系？3、它们的位置有什么关系？抛物线是由抛物线怎样移动得到的？抛物线是由抛物线怎样移动得到的？抛物线是由抛物线怎样移动得到的？抛物线是由抛物线怎样移动得到的？抛物线是由抛物线怎样移动得到的？四、总结、扩展一般的二次函数，都可以变形成的形式，其中：1a能决定什么？怎样决定的？2它的对称轴是什么？顶点坐标是什么？五、作业精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

15、- - - - -第 8 页，共 12 页6.2 二次函数的图象和性质（5）教学目标 : 1使学生掌握用描点法画出函数y ax2bxc 的图象。2使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。3让学生经历探索二次函数yax2bxc 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数yax2 bxc 的性质。重点难点 ：重点：用描点法画出二次函数y ax2bxc 的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标是教学的重点。难点：理解二次函数yax2bxc(a 0) 的性质以及它的对称轴( 顶点坐标分别是xb2a、( b2a，4acb24a) 是教学的难点。教学过程

16、：一、提出问题1你能说出函数y 4(x2)21 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？2函数 y 4(x2)21 图象与函数y 4x2的图象有什么关系? 3函数 y 4(x2)21 具有哪些性质? 4不画出图象，你能直接说出函数y12x2x52的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗 ? 5你能画出函数y12x2x52的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗? 二、解决问题由以上第 4 个问题的解决， 我们已经知道函数y12x2x52的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 根据这些特点， 可以采用描点法作图的方法作出函数y12x2x52的图象，进而观察得到这个函数的性质。说明：列表时，应根据对称轴是x1，

17、以 1 为中心，对称地选取自变量的值，求出相应的函数值。相应的函数值是相等的。当 x1 时，函数值y 随 x 的增大而增大；当x1 时，函数值y 随 x 的增大而减小；当 x1 时，函数取得最大值，最大值y 2 三、做一做1请你按照上面的方法，画出函数y12x24x10 的图象，由图象你能发现这个函数具有哪些性质吗? 2通过配方变形，说出函数y 2x28x8 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少 ? 教师组织学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，达成共识；yax2bxc 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

18、- - -第 9 页，共 12 页a(x2bax)c ax2bax(b2a)2(b2a)2c ax2bax(b2a)2 cb24aa(xb2a)24acb24a当 a0 时，开口向上，当a 0 时，开口向下。对称轴是 x b/2a，顶点坐标是 (b2a，4acb24a) 四、课堂练习1填空：(1) 抛物线 yx2 2x2 的顶点坐标是_；(2) 抛物线 y2x22x52的开口 _，对称轴是 _；(3) 抛物线 y 2x24x 8 的开口 _，顶点坐标是_；(4) 抛物线 y12x22x 4 的对称轴是 _；(5) 二次函数y ax24x a 的最大值是3，则 a_2画出函数y 2x23x 的图

19、象，说明这个函数具有哪些性质。3. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。(1)y 3x22x；(2)y x22x (3)y 2x28x8 (4)y 12x24x3 4求二次函数ymx22mx3(m0) 的图象的对称轴，并说出该函数具有哪些性质五、小结通过本节课的学习，你学到了什么知识？有何体会？六、作业精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页6.2 二次函数的图象和性质（6）教学目标： 1能根据实际问题列出函数关系式、 2使学生能根据问题的实际情况，确定函数自变量x 的取值范围。 3通过建立二次函数的

20、数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识。重点难点：根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范围，既是教学的重点又是难点。教学过程：一、复习旧知1通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。(1)y 6x212x；(2)y 4x28x 10 2. 以上两个函数， 哪个函数有最大值， 哪个函数有最小值?说出两个函数的最大值、最小值分别是多少? 二、范例有了前面所学的知识，现在我们就可以应用二次函数的知识去解决两个实际问题；例 1、要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花圃的面积最大? 例 2某商

21、店将每件进价8 元的某种商品按每件10 元出售，一天可销出约100 件，该店想通过降低售价 , 增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查， 发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10 件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 例 3。用 6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框。应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大?最大透光面积是多少? 小结： 让学生回顾解题过程，讨论、交流，归纳解题步骤：(1) 先分析问题中的数量关系，列出函数关系式； (2)研究自变量的取值范围； (3)研究所得的函数； (4)检验 x 的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的

22、值： (5)解决提出的实际问题。三、课堂练习1：求下列函数的最大值或最小值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页 (1)y x24x 2 (2)yx25x14 (3)y 5x210 (4)y 2x28x 2。已知一个矩形的周长是24cm。(1) 写出矩形面积S与一边长a 的函数关系式。(2) 当 a 长多少时， S最大 ? 3填空：(1) 二次函数yx22x5 取最小值时，自变量x 的值是 _；(2) 已知二次函数y x26xm的最小值为1，那么 m的值是 _。4如图 (1) 所示，要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一

23、边靠墙，如果用50m长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，没靠墙的篱笆长度为xm。(1) 要使鸡场的面积最大，鸡场的长应为多少米? (2) 如果中间有n(n 是大于 1 的整数 ) 道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米 ? (3) 比较 (1) 、(2) 的结果，你能得到什么结论? 5如图 (2) ，已知平行四边形ABCD 的周长为8cm ， B30，若边长AB x(cm) 。(1) 写出ABCD 的面积 y(cm2) 与 x 的函数关系式， 并求自变量x 的取值范围。(2) 当 x 取什么值时， y 的值最大 ?并求最大值。3求二次函数的函数关系式四、小结1通过本节课的学习，你学到了什么知识?存在哪些困惑? 2谈谈你的收获和体会。五、作业：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页