2022年二元函数的泰勒公式 .pdf

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1、精品资料欢迎下载10.4. 二元函数的泰勒公式一、高阶偏导数二元函数),(yxfz的两个（一阶）偏导数yzxz,仍是x与 y 的二元函数 .若它们存在关于x和 y 的偏导数，即.,;,yzyzyzxzxzyzxzxz称它们是二元函数),(yxfz的二阶偏导（函）数. 二阶偏导数至多有22 个. 通常将它们表为：xzxz表为22xz或).,(yxfxxxzyz表为yxz2或).,(yxfxy（混合偏导数）yzxz表为xyz2或).,(yxfyx（混合偏导数）yzyz表为22yz或).,(yxfyy一般地，二元函数),(yxfz的1n阶偏导函数的偏导数称为二元函数的n阶偏导数 . 二元函数的 n阶

2、偏导数至多有n2 个. 二元函数),(yxfz的 n阶偏导数的符号与二阶偏导数类似. 例如，符号kknnyxz或),()(yxfnyxkkn表示二元函数),(yxfz的 n 阶偏导数，首先对x求kn阶偏导数， 其次接着对y求 k 阶偏导数 . 二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 . 类似可定义三元函数、一般n 元函数的高阶偏导数 . 例 1. 求函数332233xyyxyxz的二阶偏导数 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页精品资料欢迎下载解：.233.63223232xyxyxyzyxyyxxz.66322

3、yxyxz.269222yxyxxyz.269222yxyxyxzxyzyxz22.26322xyxyz例 2. 证明：若,)()()(,1222czbyaxrru则.0222222zuyuxu证明： 由10.3. 例 2，有.,333rczzurbyyuraxxu623223)(rxrraxrxuraxxr6233)(rraxraxr.)(31253axrr同样，可得.)(31,)(312532225322czrrzubyrryu于是，)()()(3322253222222czbyaxrrzuyuxu.03333rr定理 1. 若函数),(yxf在点),(00yxP的邻域 G存在二阶混合偏导

4、数),(yxfxy与),(yxfyx，并且它们在点),(00yxP连续，则),(),(0000yxfyxfyxxy)1(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页精品资料欢迎下载证明 令),(yxF),(),(0000yxxfyyxxf),(),(0000yxfyyxf，令),(),()(00yxfyyxfx. 对)(x在,00 xxx上应用拉格朗日中值定理 , 得xxxyxF)(),(10 xyxxfyyxxfxx),(),(010010yxyyxxfxy),(2010；令),(),()(00yxfyxxfy. 同样方法

5、可以得到yxxyxxfyxFyx),(),(4030. 于是有),(2010yyxxfxy),(4030 xyxxfyx. 令0,0yx, 取极限得 (1) 式. 例 3. 证明：若,sin,cos),(yxyxfz则.11222222222fffyfxf证明：yyfxxff.sincosyfxfyyfxxff.cossinyfxfsincos22yfxfffff.sincossincossincos22222222yfxyfyxfxfcossin22yfxfffffcoscossinsin222222xfyxfxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

6、 - - -第 3 页，共 10 页精品资料欢迎下载.sincoscossin222222yfyfxyf于是，)cos(sin)sin(cos112222222222222yfxffffsincossincosyfxfyfxf.2222yfxf即.11222222222fffyfxf说明： 定理 1 的结果可推广到n 元函数的高阶混合偏导数上去. 例如，三元函数),(zyxf关于zyx,的三阶偏导数按照不同的顺序共有六个：.,333333xyzfyxzfyzxfxzyfzxyfzyxf若它们在点),(zyx都连续，则它们相等 . 若二元函数),(yxf所有的混合高阶偏导数都连续，则偏导数（亦称

7、一阶偏导数） 有二个，二阶偏导数只有三个)(yxxyff，三阶偏导数只有四个 . 一般情况， n 阶偏导数只有1n个. 二、二元函数的泰勒公式讨论二元函数泰勒公式的方法是：作一个辅助函数， 将二元函数化为一元函数. 应用已知的一元函数的泰勒公式和复合函数的微分法得到二元函数的泰勒公式. 为了 将 二 元函 数),(yxf在点),(kbhaQ的函 数 值),(kbhaf在 点),(baP展成泰勒公式，作辅助函数, 10),()(tktbhtaft即.10,),()(tktbyhtaxyxft显然，).,()1 (, 1);,()0(,0kbhaftbaft于是，函数),(kbhaf在点),(ba

8、P展成的泰勒公式就是一元函数)(t在点 0 的泰勒公式（即麦克劳林公式）在1t的值. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页精品资料欢迎下载定理 2.若函数),(yxf在点),(baP的邻域 G存在 n+1阶连续的偏导数，则GkbhaQ),(，有),(! 21),(! 11),(),(2bafykxhbafykxhbafkbhaf, 10),()!1(1),(!11kbhafykxhnbafykxhnnn（4）其中符号),(bafyxli表示偏导数liliyxf在),(baP的值，),(),(0bafyxkhCbafy

9、kxhimimimimiimm. （4）式称为二元函数),(yxf在),(baP的泰勒公式 . 在泰勒公式（ 4）中，令0,0 ba，就得到二元函数),(yxf的麦克劳林公式（将 h与 k 分别用x与 y 表示） ：)0,0(! 21)0,0(! 11)0,0(),(2fyyxxfyyxxfyxf10),()!1(1)0, 0(!11yxfyxxnfyyxxnnn（5）在泰勒公式（ 4）中，当0n时，有kkbhafhkbhafbafkbhafyx),(),(),(),(，或10,),(),(),(),(kkbhafhkbhafbafkbhafyx. （6）（6）式二元函数 中值定理 的另一种形

10、式，这里只有一个. 在泰勒公式（ 4）中，当1n时，有kkbhafhkbhafbafkbhafyx),(),(),(),()7(.10,),(),(2),(2122kkbhafhkkbhafhkbhafyyxyxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页精品资料欢迎下载例 4. 将函数yxeyxf),(展成麦克劳林公式 . 解： 函数yxeyxf),(在2R 存在任意阶连续偏导数，且1)0, 0(,fyxeyxflmlmyxlmlm，m与l 是任意非负整数 . 由公式（ 5） ，有.10,)()!1(1)(!1)(!21

11、)(1)(12yxnnyxeyxnyxnyxyxe三、二元函数的极值1. 极值点的定义定义设函数( , )f x y在点( , )P a b的邻域 G 有定义 .若(,)ah bkG，有(,)(,)(,)(fah bkfa bfah bkfa b，则称( , )P a b是函数( , )fx y的极大点（极小点）.极大点（极小点）的函数值( , )f a b称为函数( , )f x y的极大值（极小值） . 极大点与极小点统称为 极值点 .极大值与极小值统称为 极值 . 例如 ， 点(1,2)是函 数22( , )(1)(2)1f x yxy的极小 点， 极 小 值是(1,2)1f. 事实上，

12、( ,)x y，有22(1)(2)0 xy，于是(,)(1 , 2fxyf2. 极值点的必要条件定理 3. 若函数( , )f x y在点( , )P a b存在两个偏导数，且( , )P a b是函数( ,)f x y的极值点，则(,)0 xfa b与(,)0yfa b. 证明：已知( , )P a b是函数( ,)f x y的极值点，即xa是一元函数( , )fx b的极值.根据一元函数极值的必要条件，a是一元函数( , )f x b的稳定点，即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页精品资料欢迎下载(,)0 xfa

13、 b. 同法可证，(,)0yfa b. 方程组( ,)0,( ,)0,xyfx yfx y的解（坐标平面上某些点）称为函数( , )f x y的稳定点. 定理 3 指出，可微函数( ,)f x y的极值点一定是稳定点 .反之，稳定点不一定是极值点 .例如，函数（双面抛物面）22( , )f x yxy. 2 ,2.xyfxfy显 然 ， 点( 0 , 0 )是 函 数22( , )fx yxy的 稳 定 点 . 但 点( 0 , 0 )并 不 是 函 数22( , )f x yxy的极值点 . 3. 极值点的充分条件定理 4. 设函数( , )f x y有稳定点( , )P a b，且在点(

14、, )P a b的邻域 G 存在二阶连续偏导数 . 令(,) ,(,) ,(,x xx yy yAfa bBfa bCfa b2.BA C1）若0，则( , )P a b是函数( , )f x y的极值点：（）0(A或C0)，( , )P a b是函数( , )f x y的极小点 . （）0(A或C0)，( , )P a b是函数( , )f x y的极大点 . 2）若0，则( , )P a b不是函数( , )f x y的极值点 . 注：当判别式0时，稳定点( , )P a b可能是函数( ,)fx y的极值点，也可能不是函数( , )f x y的极值点 .例如，函数2222222123(

15、, )() ,( , )() ,( ,).fx yxyfx yxyfx yx y不难验证，(0,0)P是每个函数唯一的稳定点， 且在稳定点(0,0)P每个函数的判别式20BAC.显然，稳定点(0,0)P是函数2221( ,)()fx yxy的极小点；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页精品资料欢迎下载是函数2222( , )()fx yxy的极大点；却不是函数23( ,)fx yx y的极值点 . 求可微函数 f(x,y)的极值点的步骤：1）求偏导数，解方程组( , )0,( , )0,xyfx yfx y求稳定点

16、.设其中一个稳定点是( , )P a b. 2）求二阶偏导数，写出2(,)(,)(,).x yx xy yfx yfxyfx y3）将稳定点( , )P a b的坐标代入上式，得判别式2(,)(,)(,).x yx xy yfa bfa bfa b再由的符号，根据下表判定( , )P a b是否是极值点：2BAC+ 0 A（或 C）+ 不是极值点不定( , )P a b是极小点是极大点例 6. 求函数333zxyxy的极值 . 解： 解方程组22(,)320 ,(,)330 .xyfxyxyfxyyx解得两个稳定点（ 0，0）与（ 1，1）.求二阶偏导数(,)6,(,)3 ,(,)x xx y

17、y yfx yxfxyfx yy2(,) ( ,)(,)93 6.x yx xy yfx yfx yfx yx y在点(0,0),90,(0,0)不是函数的极值点 . 在点(1,1),270,且60,(1,1)A是函数的极小点，极小值是33(1,1)(3)1xyxy. 4. 二元函数 f（x，y）在实际问题中的最大、最小值一般来说，求函数( , )f x y在 D 的边界上的最大（小）值是很困难的.但是，在很多实际问题， 根据问题的实际意义， 函数( ,)f x y的最大（小）值必在区域 D（D 可以是无界区域）内某点P取得，又函数( , )f x y在 D 内只有一个稳定点P，精选学习资料

18、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页精品资料欢迎下载那么函数( , )f x y必在这个稳定点 P 取得最大（小）值 . 例 7. 用钢板制造容积为V 的无盖长方形水箱，问怎样选择水箱的长、宽、高才最省钢板 . 解： 设水箱长、宽、高分别是, ,x y z.已知xyzV，从而高Vzxy.水箱表面的面积11(22 )2VSxyxyxyVxyxy，S的定义域( , )0,0Dx yxy. 这个问题就是求函数S 在区域 D 内的最小值 . 解方程组22221220,1220.SVyVyxxxSVxVxyyy在区域 D 内解得唯一稳定点3

19、3(2 ,2)VV.求二阶偏导数2234,SVxx21Sx y，2234SVyy. 222222233161SSSVx yxyx y. 在稳定点33(2 ,2)VV，30，且20A，从而，稳定点33(2,2)VV是 S 的极小点 .因此，函数 S在点33(2,2 )VV取最小值 .当332,2xVyV时，3332,222VVzVV即无盖长方形水箱3322,2VxyV z，所需钢板最省 . 例 8. 在已知周长为2 p的一切三角形中，求出面积为最大的三角形. 解：设三角形的三个边长分别是, ,x y z.面积是.由海伦公式，有() () ()p pxpypz. （8）精选学习资料 - - - -

20、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页精品资料欢迎下载已知22xyzpzpxy或，将它代入（ 8）式之中，有() () ()p pxpyxyp. 因为三角形的每边是正数而且小于半周长p ，所以的定义域(,)0, 0,Dx yxpyp xyp. 已知的稳定点与2p的稳定点相同 .为计算方便，求2() () ()pxpyxypp的稳定点 .解方程组(,)() ()() () ( 22)0 .(,)() (_() ()() ( 22)0 .xyx ypyxyppxpypypxyx ypxxyppxpypxpyx在区域 D 内有唯一稳定点22,33pp.求二阶偏导数(,)2 () ,(,)2 ()x xx yxypyx yxyp(,)2 ()yyx ypx2222(,) (,)(,)444885.x yx xy yxyxyx yxx yyp xp yp在稳定点22,33pp，220,033pAp.从而，稳定点22,33pp是函数，即的极大点 .由题意，在稳定点22,33pp必取到最大值 .当23px，23py时，223pzpxy，即三角形三边长的和为定数时，等边三角形的面积最大 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页