2022年海淀区高三期末数学试题及参考答案2012-1 .pdf

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1、高三数学试题理科第 1 页共5 页海 淀 区 高 三 年 级 第 一 学 期 期 末 练 习数学理科2012 01选择题共 40 分一、选择题：本大题共8 小题，每题5 分，共 40 分在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数52i2如图，正方形ABCD 中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点那么=EF3假设数列na满足：1a=19，13(*)nnaanN，则数列na的前n项和数值最大时，n的值是4已知平面，直线l，假设，=l，则5函数( )f x=sin(2) (,)AxAR的部分图象如下图，那么(0)f=( )fx=sin(2) ( ,)AxARA2iB21i55C1

2、05iD105i33A1123ABAD-B1142ABAD+C1132ABDA+D1223ABAD-A6B7C8D9A垂直于平面的平面一定平行于平面B垂直于直线l的直线一定垂直于平面C垂直于平面的平面一定平行于直线lD垂直于直线l的平面一定与平面,都垂直A12B32C1D3FEDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页高三数学试题理科第 2 页共5 页6执行如下图的程序框图，输出的i值为7已知函数2( )cossinf xxx，那么以下命题中假命题是8点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离， 那

3、么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是二、填空题：本大题共6小题，每题 5分，共 30分，把答案填在题中横线上95(1)x的展开式中2x的系数是 用数字作答10假设实数,x y满足40,20,250,xyxyxy则z=2xy的最大值为11抛物线2xay过点1(1, )4A，则点A到此抛物线的焦点的距离为12甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温单位：C用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是_，气温波动较大的城市是_A5B6C7D8A( )f x既不是奇函数也不是偶函数B( )fx在, 0上恰有一个零点C( )fx是周期函数D( )fx在(,2上是增

4、函数A圆B椭圆C双曲线的一支D直线甲城市乙城市9 0 8 7 7 3 1 2 4 7 2 2 0 4 7 开始i=1,s=0 s=s+2 i -1is100 i= i +1 输出 i结束是否精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页高三数学试题理科第 3 页共5 页13已知圆22: (1)2Cxy，过点( 1,0)A的直线l将圆C分成弧长之比为1: 3的两段圆弧，则直线l的方程为14已知正三棱柱ABCA B C的正主视图和 侧 左 视 图 如 下 图 设ABCA B C的中心分别是O，O，现将此三棱柱绕直线OO旋转，射线O

5、A旋转所成的角为x弧度x可以取到任意一个实数，对应的俯视图的面积为( )S x，则函数( )S x的最大值为；最小正周期为说明： “三棱柱绕直线OO旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA旋转所成的角为负角三、解答题 ：本大题共6 小题 ，共 80 分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15 本小题总分值13 分在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2AB，3sin3B求cos A及sinC的值；假设2b，求ABC的面积16 本小题总分值13 分为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主

6、办了全国大学生智能汽车竞赛该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；假设决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X，求X的分布列和数学期望侧（左）视图正（主）视图43精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页高三数学试题理科第 4 页共5 页17 本小题总分值14 分在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABCD，90ABC，2ABPBPCBCCD，平面PBC平面ABCD求证：AB平面PBC；求平面PAD和平面

7、BCP所成二面角小于90的大小；在棱PB上是否存在点M使得CM平面PAD？假设存在，求PMPB的值；假设不存在，请说明理由18 本小题总分值13 分已知函数2( )e ()xf xxaxa，其中a是常数当1a时，求曲线( )yf x在点(1, (1)f处的切线方程；假设存在实数k，使得关于x的方程( )fxk在0,)上有两个不相等的实数根，求k的取值范围19 本小题总分值13 分已知焦点在x轴上的椭圆C过点(0,1)，且离心率为32，Q为椭圆C的左顶点求椭圆C的标准方程；已知过点6(,0)5的直线l与椭圆C交于A，B两点 假设直线l垂直于x轴，求AQB的大小； 假设直线l与x轴不垂直，是否存在

8、直线l使得QAB为等腰三角形？假设存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由20 本小题总分值14 分已知集合M=1,2,3, (*)nnN，假设集合A=12,(*)ma aaM mN，且对任意的 bM ， 存在,(1)ija aAijm， 使得b=12ijaa其中12,1,0,1 ，则称集合A为集合M的一个m元基底分别判断以下集合A是否为集合M的一个二元基底，并说明理由；A=1,5，M=1,2,3, 4,5；A=2,3，M=1,2,3, 4,5, 6PABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页高三数学试题理科

9、第 5 页共5 页假设集合A是集合M的一个m元基底，证明：(1)m mn； 假设集合A为集合M=1,2,3,19的一个m元基底， 求出m的最小可能值， 并写出当m取最小值时M的一个基底A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页数学参考答案第 1页，共 8 页海淀区高三年级第一学期期末练习数学理科参考答案及评分标准201201 一. 选择题：本大题共8 小题，每题5 分，共 40 分. 题号12 345678答案A D B D C A B D 二.填空题：本大题共6小题，每题 5分，共 30分 . 95107115412乙

10、，乙 133(1)3yx或3(1)3yx148；3注： 13题正确答出一种情况给3分，全对给 5分； 12 、 14题第一空 3分；第二空 2分. 三.解答题：本大题共6小题，共 80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15 本小题总分值13 分解： 因为2AB，所以2coscos212sinABB. 2 分因为3sin3B，所以11cos1233A. 3 分由题意可知，(0,)2B. 所以26cos1sin3BB. 5 分因为2 2sinsin 22sincos3ABBB.6 分所以sinsin()sin()CABAB5 3sincoscossin9ABAB. 8 分因为sinsi

11、nbaBA，2b，10 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页数学参考答案第 2页，共 8 页所以232 233a. 所以4 63a. 11 分所以1202sin29ABCSabC. 13分(16)本小题总分值13 分解： 设 “ 甲、乙两支队伍恰好排在前两位” 为事件A，则2 3!15!10P A. 4 分所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为110. 5分随机变量X的可能取值为0, 1, 2, 3. 6 分24!205!5P X，323!315!10P X，22!32!125!5P X，23!135!10P X

12、. 10分随机变量X的分布列为：X0123P2531015110因为231101231510510EX，所以随机变量X的数学期望为1. 13 分(17)本小题总分值14 分证明：因为90ABC，所以ABBC. 1分因为平面PBC平面ABCD，平面PBC平面ABCDBC，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页数学参考答案第 3页，共 8 页AB平面ABCD，所以AB平面PBC.3分解：取BC的中点O，连接PO. 因为PBPC，所以POBC. 因为平面PBC平面ABCD， 平面PBC平面ABCDBC，PO平面PBC，所以P

13、O平面ABCD. 4 分如图，以O为原点，OB所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴，OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系Oxyz不妨设2BC.由直角梯形ABCD中2ABPBPCBCCD可得(0,0,3)P，(1,1,0)D，(1,2,0)A. 所以(1 ,1,3)DP，(2,1,0)DA. 设平面PAD的法向量( , , )=x y zm. 因为0,0.DPDAmm所以( , , ) (1, 1,3)0,( , , ) (2,1,0)0,x y zx y z即30,20.xyzxy令1x，则2,3yz. 所以(1,2,3)=m. 7 分取平面BCP的一个法向量n0,1

14、,0. 所以2cos,2m nm nm n. 所以平面ADP和平面BCP所成的二面角小于90的大小为4. 9分解：在棱PB上存在点M使得CM平面PAD，此时12PMPB. 理由如下：10 分取AB的中点N，连接CM，CN，MN. OzyxPABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页数学参考答案第 4页，共 8 页则MNPA，12ANAB. 因为2ABCD，所以ANCD. 因为ABCD，所以四边形ANCD是平行四边形. 所以CNAD. 因为,MNCNNPAADA，所以平面MNC平面PAD. 13 分因为CM平面MNC

15、，所以CM平面PAD.14分(18)本小题总分值13 分解： ()由2( )e ()xf xxaxa可得2( )e (2) xfxxax. 2 分当1a时 ,(1)ef,(1)4ef. 4 分所以曲线( )yf x在点(1, (1)f处的切线方程为e4e1yx，即4e3eyx. 5 分令2( )e (2) )0 xfxxax，解得(2)xa或0 x. 6 分当(2)0a，即2a时，在区间0,)上，( )0fx，所以( )f x是0,)上的增函数 . 所以方程( )f xk在0,)上不可能有两个不相等的实数根. 8分当(2)0a，即2a时，( ),fxfx随x的变化情况如下表x0(0,(2)a(

16、2)a( (2),)a( )fx00( )f xa24eaaNMPABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页数学参考答案第 5页，共 8 页由上表可知函数( )fx在0,)上的最小值为24( (2)eaafa. 10 分因为函数( )f x是(0, (2)a上的减函数，是( (2),)a上的增函数，且当xa时，有( )f xe()aaa. 11 分所以要使方程( )f xk在0,)上有两个不相等的实数根，k的取值范围必须是24(,eaaa. 13分(19)本小题总分值13 分解： 设椭圆C的标准方程为22221(0

17、)xyabab，且222abc. 由题意可知：1b，32ca. 2 分所以24a. 所以，椭圆C的标准方程为2214xy. 3分由得( 2,0)Q.设1122(,),(,)A x yB xy. 当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为65x. 由226,514xxy解得：6,545xy或6,54.5xy即6 464(,),(,)5 555AB不妨设点A在x轴上方 . 5分则直线AQ的斜率1AQk，直线BQ的斜率1BQk. 因为1AQBQkk，所以AQBQ. 所以2AQB. 6 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页数学

18、参考答案第 6页，共 8 页当直线l与x轴不垂直时，由题意可设直线AB的方程为6()(0)5yk xk. 由226(),514yk xxy消去y得：2222(25100)2401441000kxk xk. 因为点6(,0)5在椭圆C的内部，显然0. 21222122240,25 100144100.25 100kxxkkx xk8 分因为1122(2,), (2,)QAxyQBxy，116()5yk x，226()5yk x，所以1212(2)(2)QA QBxxy y121266(2)(2)()()55xxk xk x2221212636(1)(2)()4525kx xkxxk2222222

19、144100624036(1)(2)()402510052510025kkkkkkk. 所以QAQB. 所以QAB为直角三角形. 11 分假设存在直线l使得QAB为等腰三角形，则QAQB. 取AB的中点M，连接QM，则QMAB. 记点6(,0)5为N. 另一方面，点M的横坐标22122212024225100520Mxxkkxkk，所以点M的纵坐标266()5520MMkyk xk. 所以222221016666(,) (,)520520520520kkkQMNMkkkkNQBAOyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 1

20、3 页数学参考答案第 7页，共 8 页222601320(520)kk. 所以QM与NM不垂直，矛盾. 所以当直线l与x轴不垂直时，不存在直线l使得QAB为等腰三角形 . 13 分(20)本小题总分值14 分解： 1,5A不是1,2,3,4,5M的一个二元基底. 理由是1212315(,1,0,1)；2,3A是1,2,3,4,5,6M的一个二元基底. 理由是11213,21203,30213，41 212,51213,6131 3. 3 分不妨设12maaa，则形如10ijaa(1)ijm的正整数共有m个；形如11iiaa(1)im的正整数共有m个；形如11ijaa(1)ijm的正整数至多有2

21、mC个；形如(1)1ijaa(1)ijm的正整数至多有2mC个. 又集合1,2,3, Mn含n个不同的正整数，A为集合M的一个m元基底 . 故22mmmmCCn，即(1)m mn. 8 分由可知(1)19m m，所以4m. 当4m时，(1)191m m，即用基底中元素表示出的数最多重复一个. * 假设1234,Aa aa a为1,2,3,19M的一个 4 元基底，不妨设1234aaaa，则410a. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页数学参考答案第 8页，共 8 页当410a时，有39a，这时28a或7. 如果2

22、8a，则由1109,198,1899,18108，与结论 *矛盾 . 如 果27a， 则16a或5. 易 知6,7,9,10A和5,7,9,10A都 不 是1,2,3,19M的 4 元基底，矛盾. 当411a时 ， 有38a， 这 时27a，16a， 易 知6,7,8,11 A不 是1,2,3,19M的 4 元基底，矛盾. 当412a时 ， 有37a， 这 时26a，15a， 易 知5,6,7,12A不 是1,2,3,19M的 4 元基底，矛盾. 当413a时 ， 有36a，25a，14a， 易 知4,5,6,13A不 是1,2,3,19M的 4 元基底，矛盾. 当414a时 ， 有35a，2

23、4a，13a， 易 知3,4,5,14A不 是1,2,3,19M的 4 元基底，矛盾. 当415a时 ， 有34a，23a，12a， 易 知2,3,4,15A不 是1,2,3,19M的 4 元基底，矛盾. 当416a时 ， 有33a，22a，11a， 易 知1,2,3,16A不 是1,2,3,19M的 4 元基底，矛盾. 当417a时，A均不可能是M的 4 元基底 . 当5m时，M的一个基底1,3,5,9,16A；或3,7,8,9,10 ；或 4,7,8,9,10 等，只要写出一个即可. 综上，m的最小可能值为5. 14 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页