2022年二次函数的最值问题和复习 .pdf

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1、学习必备欢迎下载二次函数的最值问题【知识要点】二次函数的一般式cbxaxy2(0a) 化成顶点式abacabxay44)2(221、如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）（1）当0a时，函数有最小值，并且当abx2，abacy442最小值；（2）0a时，函数有最大值，并且当abx2，abacy442最大值2、如果自变量的取值范围是21xxx，（1）如果顶点在自变量的取值范围21xxx内，则当abx2，abacy442最值；（2）如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性； 如果在此范围内y随x的增大而增大，则当2xx时，cbxaxy222最大

2、，当1xx时，cbxaxy121最小； 如果在此范围内y随x的增大而减小，则当1xx时，cbxaxy121最大，当2xx时，cbxaxy222最小例： 求下列二次函数的最值：（1）求函数322xxy的最值（2）求函数322xxy的最值)30(x在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题。【商业利润问题】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：在“当某某为何值时，什么最大(或最小、最省) ”的设问中， ?“某某

3、”要设为自变量，“什么”要设为函数；求解方法是依靠配方法或最值公式，而不是解方程例 1、某商品现在的售价为每件60 元，每星期可卖出300 件，市场调查反映：每涨价1 元，每星期少卖出10 件；每降价1 元，每星期可多卖出20 件，已知商品的进价为每件40 元，如何定价才能使利润最大？例 2、某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学习必备欢迎下载销售价 x（元 / 千克） 25 24 23 22 销售量 y（千克）2000 2500

4、3000 3500 （1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x，y）所对应的点连接各点并观察所得的图形，判断 y 与 x 之间的函数关系，并求出y 与 x 之间的函数关系式；（2）若樱桃进价为13 元/ 千克，试求销售利润P（元）与销售价x（元 / 千克）之间的函数关系式，并求出当x 取何值时， P的值最大？例 3、随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图12- 所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图12-所示 (注：利润与投资量的单位：万元) （1）分别求出利润

5、与关于投资量的函数关系式；（2）如果这位专业户以8 万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？【面积最值问题】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习必备欢迎下载例 1、小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10 米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32 米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1 米宽的门（木质） 花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？例 2、已知边长为

6、4 的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中 AF=2，BF=1试在 AB上求一点 P，使矩形PNDM 有最大面积例 3、一座拱桥的轮廓是抛物线型( 如图 16 所示 ) ，拱高 6m ，跨度 20m ，相邻两支柱间的距离均为5m（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中( 如图 17 所示 ) ，求抛物线的解析式；（2）求支柱的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道( 正中间是一条宽2m的隔离带 ) ，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高 3m的三辆汽车 ( 汽车间的间隔忽略不计) ？请说明你的理由x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

7、- - -第 3 页，共 10 页学习必备欢迎下载随堂练习1、小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线213.55yx的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是2、如图所示，在一个直角MBN 的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB=xm ，长方形的面积为y m2，要使长方形的面积最大，其边长x应为 ( ) A424m B6 m C15 m D25m 3、如图，矩形ABCD 的边 AB=6 cm ， BC=8cm ，在 BC上取一点P，在 CD边上取一点Q ，使 APQ成直角，设BP=x cm，CQ=y cm ，试以 x 为自变量，写出y 与 x 的函数

8、关系式4、将一张边长为30 的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体当取下面哪个数值时，长方体的体积最大（） A7 B6 C5 D45、将进货单价为70 元的某种商品按零售价100 元售出时，每天能卖出20 个若这种商品的零售价在一定范围内每降价1 元，其日销售量就增加了1 个，为了获得最大利润，则应降价元，最大利润为元二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分基础知识1. 定义：一般地，如果cbacbxaxy,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数 . 2. 二次函数2axy的性质（1）抛物线2axy的顶点是坐标原点，对称轴是y轴 . （2）函数2axy的

9、图像与a的符号关系 . 第 1 题图第 3 题图第 2 题图M N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习必备欢迎下载当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点；当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点. （3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为2axy）（0a. 3. 二次函数cbxaxy2的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线 . 4. 二次函数cbxaxy2用配方法可化成：khxay2的形式，其中abackabh4422，. 5. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：2axy；kaxy2；2

10、hxay；khxay2；cbxaxy2. 6. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a的符号决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同. 平行于y轴（或重合）的直线记作hx. 特别地，y轴记作直线0 x. 7. 顶点决定抛物线的位置. 几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8. 求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：abacabxacbxaxy442222，顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为k

11、hxay2的形式，得到顶点为(h,k) ，对称轴是直线hx. （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9. 抛物线cbxaxy2中，cba,的作用（1）a决定开口方向及开口大小，这与2axy中的a完全一样 . （2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2，故：0b时，对称轴为y轴；0ab（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；0ab（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧 . （3）c的大小

12、决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置. 当0 x时，cy，抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点（0，c） ：0c，抛物线经过原点; 0c, 与y轴交于正半轴；0c, 与y轴交于负半轴. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习必备欢迎下载以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立. 如抛物线的对称轴在y轴右侧，则0ab. 10. 几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2axy当0a时开口向上当0a时开口向下0 x（y轴）（0,0 ）kaxy20 x（y轴）(0, k) 2hxayhx

13、(h,0) khxay2hx(h,k) cbxaxy2abx2(abacab4422，) 11. 用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：cbxaxy2. 已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. （2）顶点式：khxay2. 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay. 12. 直线与抛物线的交点（1）y轴与抛物线cbxaxy2得交点为 (0, c). （2）与y轴平行的直线hx与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点(h,cbhah2). （3）抛物线与x轴的交点二次函数cbxaxy2的图像与x轴的

14、两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根. 抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与x轴相交；有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；没有交点0抛物线与x轴相离 . （4）平行于x轴的直线与抛物线的交点同（ 3）一样可能有0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 .当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根 . （5）一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点，由方程组cbxaxynkxy2的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l与G有两

15、个交点 ; 方程组只有一组解时l与G只有一个交点；方程组无解时l与G没有交点 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学习必备欢迎下载（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为0021，xBxA，由于1x、2x是方程02cbxax的两个根，故acxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxAB444222122122121第二部分典型习题1、已知二次函数cbxaxy2的图象如图所示，则下列结论正确的是（） ab 0，c0 ab0，c0 ab0，c0 ab0， c0 CAEFB

16、D第 1 题图第 2 题图2、如图，已知ABC中， BC=8 ， BC上的高h4，D为 BC上一点，EFBC/ /，交 AB于点 E，交 AC于点 F（EF不过 A 、B） ，设 E到 BC的距离为x，则DEF的面积y关于x的函数的图象大致为（）DO424O424O424O424AyxBC3、抛物线322xxy与 x 轴分别交于A、B两点，则AB的长为4、已知二次函数2yaxbxc中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x 0 1 2 3 4 y 4 1 0 1 4 点 A（1x，1y） 、 B（2x，2y）在函数的图象上，则当112,x234x时，1y与2y的大小关系正确的是（）A

17、12yyB12yyC12yyD12yy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习必备欢迎下载5、已知一元二次方程20 (0)axbxca的两个实数根1x、2x满足124xx和123x x，那么二次函数2(0)yaxbxc a的图象有可能是（）6、二次函数2yaxbxc的图像如图所示，反比列函数ayx与正比列函数ybx在同一坐标系内的大致图像是（）7、已知函数22113513xxyxx，则使 y=k 成立的 x 值恰好有三个，则k 的值为 _. 8、已知抛物线:y=x2-2x+m-1 与 x 轴只有一个交点，且与y 轴交

18、于 A 点，如图，设它的顶点为B。(1)求 m 的值；(2)过 A 作 x 轴的平行线，交抛物线于点C，求证是 ABC 是等腰直角三角形；(3)将此抛物线向下平移4 个单位后，得到抛物线C，且与 x 轴的左半轴交于E 点，与 y 轴交于 F 点，如图.请在抛物线C上求点 P，使得 EFP 是以 EF 为直角边的直角三角形. yxCEAOBFO x y O y x A O y x B O y x D O y x C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学习必备欢迎下载9、已知抛物线2243mmxxy（m0）与x轴交于A

19、、B两点（1）求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧；（2）若3211OAOB（O是坐标原点） ，求抛物线的解析式；（3）设抛物线与y轴交于点C，若ABC是直角三角形，求ABC的面积10、已知抛物线y x2mxm 2. （1）若抛物线与x 轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB 5，试求 m的值；（2）设 C为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且MNC的面积等于27，试求 m的值 . 11、卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分在大桥截面111000 的比例图上，跨度AB5 cm，拱精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习必备欢迎下载高 OC 0. 9 cm，线段 DE表示大桥拱内桥长，DE AB ，如图（ 1） 在比例图上，以直线AB为 x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以 1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2） （1）求出图（ 2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（ 2）如果 DE与 AB的距离 OM 0. 45 cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：4.12，计算结果精确到 1 米） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页