山东省实验中学2015届高三第二次诊断性考试文科数学试题 Word版含详解.pdf

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1、山东省实验中学 2012 级第二次诊断性考试【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本能力为载体， ，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，试题重点考查：集合、不等式、向量、导数、简单的线性规划,数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷【题文】一、选择题（本题包括 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.每小题只有一个选项符合题意）Ax 1 x 2，B x x2【题文】1.设集合21，则A B A.x 1 x 2x 1B.2 x 1C.x x 2D.x x 2【知识点】集合及其运算A1【答案】A【详解】由题意得 B

2、= x1 x 1则A B x 1 x 2。【思路点拨】先求出集合B，再求并集。34【题文】2.已知,2， cos 5，则tan4等于11A.7B.7C.7D.7【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C2【答案】Bcos 45(,3)3tan() 1【详解】由，2，tan=4,则47【思路点拨】根据同角三角函数基本关系求出正切值，再求结果。【题文】3.下列有关命题的叙述，若p q为真命题，则p q为真命题；“x 5”是“x24x5 0”的充分不必要条件；命题p:xR，使得x2 x1 0，则p:xR，使得x2 x1 0；命题 “若x23x2 0，则x 1或x 2”的逆否命 题为“若x 1或x

3、 2，x23x 2 0” 。其中错误的个数为A.1B.2C.3D.4【知识点】命题及其关系A2【答案】B则【详解】若 pq 为真命题，则得或至少有有一个为真，所以，所以“”是“不一定为真，所以错误。”的充分不必要条件，正，则 x=1 或 x=2”的逆否命确。根据特称命题的否定式全称命题知正确。“若题为“若 x1 且 x2，则所以错误，所以错误命题的个数为2 个。【思路点拨】根据命题之间的关系判定命题的真假。【题文】4.下列函数中既是奇函数又在区间1,1上单调递减的是y ln2 x2 xy D.A.y sin xB.y x1C.1x2 2x2【知识点】函数的奇偶性单调性B3 B4【答案】C【详解

4、】 根据定义可得：既不是奇函数又不是偶函数；是偶函数，只有而与在区间是奇函数，由此可排除B、D上单调递增，也可排除，故选C【思路点拨】先判断奇偶性，再利用单调性求出。y 【题文】5.函数xln xx的图像可能是【知识点】函数的奇偶性B4【答案】B【详解】根据函数性质的函数为奇函数排除A,C 再代入 x=2,y0,排除 D.【思路点拨】根据函数的奇偶性排除D.【题文】6.设a log3,b log23,c log32，则B.a c bC.b a cD.b c aA.a b c【知识点】对数与对数函数B7【答案】A【详解】log32log22log23bclog23log22=log33log3

5、ababc【思路点拨】利用对数函数 y=logax 的单调性进行求解当 a1 时函数为增函数当 0a1时函数为减函数，如果底a 不相同时可利用 1 做为中介值【题文】7.如果方程x2m1xm22 0的两个实根一个小于 1，另一个大于 1，那么实数 m 的取值范围是A.2,2B.2,0C.2,1D.0,1【知识点】函数与方程 B9【答案】D【详解】构建函数 f（x）=x2 +（m-1）x+m2-2，根据两个实根一个小于-1，另一个大于 1，可得 f（-1）0，f（1）0，从而可求实数 m 的取值范围解：由题意，构建函数f（x）=x2 +（m-1）x+m2-2，两个实根一个小于-1，另一个大于 1

6、，f（-1）0，f（1）0，0m1，【思路点拨】本题以方程为载体，考查方程根的讨论，关键是构建函数，用函数思想求解【题文】8.在ABC中，若sinAB12cosBCsinAC，则ABC的形状一定是A.等边三角形B.不含 60的等腰三角形C.钝角三角形D.直角三角形【知识点】解三角形 C8【答案】D【详解】sin（A-B）=1+2cos（B+C）sin（A+C） ，sin（A-B）=1-2cosAsinB，sinAcosB-cosAsinB=1-2cosAsinB，sinAcosB+cosAsinB=1，sin（A+B）=1，A+B=90，ABC 是直角三角形【思路点拨】利用三角形的内角和，结合

7、差角的余弦公式，和角的正弦公式，即可得出结论【 题 文 】 9. 已 知 函 数fxxR满 足f11，且fx的 导 函 数f x13， 则fxx233的解集是B.A.x 1 x 1x x C.x x 或x 1D.x x 1【知识点】导数的应用 B12【答案】Dx212【详解】设 F(x)f(x)33，则 F(1)f(1)330，对任意 xR，1F(x)f(x)30，即函数 F(x)在 R 上单调递减，则 F(x)0 的解集为(1，)，x2即 f(x)0 得 g(2)=-ln20,代入上式，得 g(-ln2)=2.【思路点拨】根据 x 的范围代入上式求出结果。【题文】 12.ABC中，a,b,c

8、分别是 A， B， C 的对边， 且满足a c b ac， 则 B=_222【知识点】解三角形 C8【答案】3a2c2b21cosB 2ac2，【详解】由已知条件 a2+c2-b2=ac，及余弦定理得又因为 0B，所以 B=3【思路点拨】利用已知条件a2+c2-b2=ac，以及余弦定理，可联立解得cosB 的值，进一步求得角 Bfxsinx 0,22图像上每一点的横坐标缩短为【题文】13.将函数原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6个单位长度得到y sinx的图像，则f6_.【知识点】函数y Asin(x)的图象与性质 C4【答案】【详解】由题知【思路点拨】先求出函数的解析式再求结果。【题文】

9、14.若对于任意实数x， 不等式【知识点】绝对值不等式的解法E2x1 x2 k恒成立， 则 k 的取值范围是_【答案】k-3【详解】(1)当 x=-1 时，原式=-(x+1)-(x-2)=-x-1+x-2=-3(2)当-1x2 时，原式=(x+1)-(x-2)=x+1+x-2=2x-1x 取-1，2x-1=2*(-1)-1=-3x取 2，2x-1=2*2-1=3所以-32x-1=2 时，原式=(x+1)-(x-2)=x+1-x+2=3由上可知，当 x 取任意值时，原式-3 所以 k-3。【思路点拨】利用零点分段讨论，求出k 的范围。【 题 文 】 15. 若 函 数fx满 足mR,m 0， 对

10、 定 义 域 内 的 任 意x, fx f xfmfxm 恒成立，则称为 m 函数，现给出下列函数：y 1x；y 2x； y sin x；y ln x.其中是 m 函数的是_【知识点】函数及其表示B1【答案】【详解】若，则由得：，化为，由于，则由中的函数是 m 函数；若， 取，故式子不成立，因而中的函数不是m 函数；若得：，则由，显然式子成立，故得：， 则式子恒成立， 故是 m 函数； 若则由也变化，故函数不满足得：，化为对定义域内的任意，当 x 变化时，m恒成立，综上，是 m 函数。【思路点拨】本题是新定义一个函数，然后判断给出的函数是否符合定义。做此类题目，重点是理解定义。【题文】三、解答

11、题（本题包括5 小题，共 75 分）2x x6 0,222x 2x8 0.x 4ax3a 0，其中a 0，q【题文】 16.设p:实数x满足： 实数x满足，且pq为真，求实数x的取值范围；（1）若a 1（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【知识点】命题及其关系、充分条件、必要条件A2【答案】 （）2x3（） 1a2【详解】 （）由 x2-4ax+3a20，得： （x-3a） （x-a）0，当 a=1 时，解得 1x3，即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1x32x x6 0,2x 2x8 0.，得：2x3，即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2x3由若 p 且 q 为真，则

12、 p 真且 q 真，所以实数 x 的取值范围是 2x3（） p 是 q 的必要不充分条件，即q 推出 p，且 p 推不出 q，设 A=x|p（x），B=x|q（x），则 B 是 A 的真子集，又 B=（2，3，当 a0 时，A=（a，3a） ；a0 时，A=（3a，a） a 233a，解得 1a2，当 a0 时，显然 A所以当 a0 时，有B= ，不合题意所以实数 a 的取值范围是 1a2【思路点拨】 （1）把a=1 代入不等式后求解不等式，同时求解不等式组，得到命题p 和命题 q中 x 的取值范围，由 p 且 q 为真，对求得的两个范围取交集即可；（2）p 是 q 的必要不充分条件，则集合B

13、 是集合 A 的子集，分类讨论后运用区间端点值之间的关系可求 a 的取值范围2fx x3ax2bx c在x 与x 13【题文】17.已知函数时都取得极值。（1）求a、b的值与函数（2）若对fx的单调区间；x1,2，不等式fxc2恒成立，求 c 的取值范围.【知识点】导数的应用 B121a 22b 2【答案】 （1）函数 f（x）的递增区间是（-，-3）和（1，+） ，2递减区间是（-3，1）（2）c-1 或 c2【详解】 （1）f（x）=x3+ax2+bx+c，f（x）=3x2+2ax+b21241a f ( ) ab 09323f (1) 32ab 0b 2由解得f（x）=3x2-x-2=（

14、3x+2） （x-1） ，函数 f（x）的单调区间如下表：x22-33（-， -）2（-3，1）1（1，+）f （x）+0-0+f（x）极大值极 小值22所以函数 f（x）的递增区间是（-，-3）和（1，+） ，递减区间是（-3，1） 1（2）f(x)=x3-2x2-2x+c，x-1， 2，222当 x=-3时，f（x）=27+c 为极大值，而 f（2）=2+c，所以 f（2）=2+c 为最大值要使 f（x）c2 对 x-1，2恒成立，须且只需 c2f（2）=2+c解得 c-1 或 c22【思路点拨】 （1）求出 f （x） ，因为函数在 x=-3与 x=1 时都取得极值，2所以得到 f （-

15、3）=0 且 f （1）=0 联立解得 a 与 b 的值，然后把 a、b 的值代入求得 f（x）及 f （x） ，然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间；（2）根据（1）函数的单调性，由于 x-1，2恒成立求出函数的最大值值为 f（2） ，代入求出最大值，然后令 f（2）c2 列出不等式，求出 c 的范围即可fx 2sin xsin x3sin xcosxcos2x3【题文】18.已知函数（1）求函数fx的最小正周期和单调递增区间；0 x （2）若2，求函数fx的最值及取得最值时相应x的值。【知识点】三角函数的图象与性质C3【答案】 （1），单调递增区间3 k,6 kf (x)max=2，,k

16、 Z（2）当 x=6时，f (x)min=-1当 x=2,时，fx 2sin xsin x3sin xcosxcos2x3【详解】 （1）22k 2k3sin 2xcos2x222662x+=2sin(2x+),T=,k Z3k x 6k,单调递增区间3 k,6 k,k Z.0 x （2）若2,则6 2x676，f (x)max=2，当 x=2,时，f (x)min=-1，当 x=6时，f (x)max=2，当 x=2,时，f (x)min=-1。所以当 x=6时，【思路点拨】先化简再根据单调性周期性求出结果。【题文】19.已知函数fx x22axa2fx0（1）若对于任意x R，（2）若对于

17、任意（3）若对于任意恒成立，求实数a的取值范围；恒成立，求实数a的取值范围；恒成立，求实数x的取值范围。x1,1, fx 0a1,1,x22axa2 0【知识点】函数的单调性与最值B3【答案】 （1）2 a 1（2）3a23（3）x 12fx0 4a 4(a2) 0 x R【详解】 （1）若对于任意，恒成立，需满足得2 a 1。（2）对称轴 x=-a当-a1 时，当-a1,即 a02x22x12 02x 2x12 0解得x 1，所以 x 的范围x 1。【思路点拨】利用函数的单调性求出范围。fx3sin【题文】20.已知函数x2cosx2sin2x2 0,0 2，,1其图像的两个相邻对称中心的距

18、离为2，且过点3：（1）求函数fx的表达式；（2）在ABC中，a,b,c分别是 A，B，C 的对边，且a 15，SABC 2 5，角C 为锐角，C7f且满足2126，求c的值。【知识点】解三角形 C81【答案】 （I）f(x)=sin（2x+6）+2（2）21xx1x1【详解】 （I）sin2cos2=2sin（x+） ，sin22=21-cos（x+）f(x)=xxx133sin2cos2+sin22=2sin（x+）+21-cos（x+）1=sin（x+-6）+22函数图象的两个相邻对称中心的距离为2，函数的周期 T=，得 =211点(3，1)是函数图象上的点，f（3）=sin（23+6）

19、+2=1，解之得 cos=2（0，2） ，=31因此，函数 f（x）的达式为 f（x）=sin（2x+6）+2；c172（II）f（2-12）=sin（C-6+6）+2=6，解之得 sinC=3520C2，cosC=1sin C=3112又a=5，SABC=252absinC=25，即25b3=25，解之得 b=65根据余弦定理，得 c2=a2+b2-2abcosC=5+36-2563=21c=21，即得 c 的值为21【思路点拨】 （I）由二倍角的三角函数公式和辅助角公式，1化简得 f（x）=sin（x+-6）+2，结合图象的两个相邻对称中心的距离为2和点(3，1)在函数图象上，建立关于 、

20、 的关系式，解之即可得到函数 f（x）的达式；c25（II）将2-12代入函数表达式，解出 sinC=3，结合 C 为锐角，算出 cosC=3根据面积正弦定理公式，由 SABC=25算出 b=6，最后由余弦定理代入题中的数据即可求出边c 的值【题文】21.已知函数（1）函数fx12x a3x2a 2ln x2.fx在点1, f1处的切线与2x y 1 0平行，求a的值；（2）讨论函数fx的单调性； n124n2ln 2mn 1n（3）若不等式对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围。【知识点】导数的应用 B121【答案】(1) a=2（2）略（3）x2ln2-22a 2fx1, f1处的切线与

21、2x y 1 0平行【详解】(1)f (x) x-a-3+x,函数在点 f (1)=a=2.2a 21(x2)(x(a1)x 2,x2 a1 f (x) （2）x-a-3+x=x,则1当 a1 时，a+12在（0,2f (x) 0,f(x)单调递增，在2,a+2上f (x) 0，f(x)单调递减，在a+1,+)，f (x) 0,f(x)单调递增。当 a=1 时，在（0，+）上f (x) 0，f(x)单调递增。当-1a1 时，在0,a1上，f (x) 0,f(x)单调递增， 在a+1,2上，f (x) 0，f(x)单调递减，在2,+),f (x) 0,f(x)单调递增,2当 a- 1 时,f(x) 在（0,单调递减，在在2,+),f (x) 0,f(x)单调递增。 n11124n2ln 2mn 12ln(1) m2nn2n（3）等价于。122(x2)(x1)xx 0,1g(x) x,1 x1 x令 g(x)=2ln(1 x)-2,=-,1x0,1在上，g(x)为增函数。所以 g(x)g(1)=2ln2-2,1所以 m 的取值范围是 x2ln2-2.【思路点拨】根据导数的意义求出a 值，再根据单调性求出 m 的范围。