山东省实验中学立体几何多选题试题含答案.pdf

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1、山东省实验中学立体几何多选题试题含答案山东省实验中学立体几何多选题试题含答案一、立体几何多选题一、立体几何多选题1如图，在棱长为 2 的正方体ABCD ABCD中，M为BC边的中点，下列结论正确的有（）AAM与DB所成角的余弦值为1010B过三点A、M、D的正方体ABCD ABCD的截面面积为C四面体ACBD的内切球的表面积为923D正方体ABCD ABCD中，点P在底面ABCD（所在的平面）上运动并且使MACPAC，那么点P的轨迹是椭圆【答案】AB【分析】构建空间直角坐标系，由异面直线方向向量的夹角cos AM,DB AM DB为| AM | DB|AM与DB所成角的余弦值判断A 的正误；同

2、样设P(x,y,0)结合向量夹角的坐标表示，且由等角的余弦值相等可得2y2x2 y24 315，进而判断 P 的轨迹知 D 的正误；5由立方体的截面为梯形，分别求MN,AD,AM,DN，进而得到梯形的高即可求面积，判断 B 的正误；由四面体的体积与内切球半径及侧面面积的关系求内切球半径r，进而求内切球表面积，判断 C 的正误.【详解】A：构建如下图所示的空间直角坐标系：则有：A(0,0,2), M(1,2,2),B(0,2,0), D(2,0,0)，AM (1,2,0), DB (2,2,0)，cos AM,DB AM DB210，故正确.10| AM | DB|5 8B：若 N 为CC的中点

3、，连接 MN，则有MN / /AD，如下图示， 梯形 AMND为过三点A、M、D的正方体ABCD ABCD的截面，而MN 2, AD 2 2, AM DN 5，可得梯形的高为3 2，213 293 2，故正确.222C：如下图知：四面体ACBD的体积为正方体体积减去四个直棱锥的体积， 梯形的面积为S V 84811328，而四面体的棱长都为2 2，有表面积为31S 42 22 2sin8 3，23 若其内切圆半径为r，则有8 3r 1383，即r ，所以内切球的表面积为334r24.故错误.3D：正方体ABCD ABCD中，点P在底面ABCD（所在的平面）上运动且MACPAC，即P的轨迹为面A

4、BCD截以 AM、AP 为母线，AC为轴的圆锥体侧面所得曲线，如下图曲线GPK，构建如下空间直角坐标系，A(0,0, 2),M(2 3 2,2),C(0,2 2,0)，若P(x,y,0)，则22AM (2 3 2,0), AC (0,2 2,2), AP (x, y,2)，22cosMACAM AC615，5| AM | AC|5 122y2x2 y24 3，即cosPAC AP AC| AP| AC |2y2x2 y24 315，整理得5(y 10 2)29x2 216(y 0)，即轨迹为双曲线的一支，故错误.故选：AB【点睛】关键点点睛：应用向量的坐标表示求异面直线的夹角，并结合等角的余弦

5、值相等及向量数量积的坐标表示求动点的轨迹，综合立方体的性质求截面面积，分割几何体应用等体积法求内切球半径，进而求内切球的表面积.2已知球 O 为正方体ABCD A1B1C1D1的内切球，平面A1C1B截球 O 的面积为24，下列命题中正确的有（）A异面直线AC与BC1所成的角为 60BBD1平面A1C1BC球 O 的表面积为36D三棱锥B1 AC11B的体积为 288【答案】AD【分析】连接A1C1，A1B，通过平移将AC与BC1所成角转化为A1C1与BC1所成角可判断 A；通过反证法证明 B；由已知平面A1C1B截球 O 的面积为24求出正方体棱长，进而求出内切球的表面积可判断 C；利用等体

6、积法可求得三棱锥B1 AC11B的体积可判断 D.【详解】对于 A，连接A1C1，A1B，由正方体ABCD A1B1C1D1，可知A1C1/ /AC，AC11B为异面直线AC与BC1所成的角，设正方体边长为a，则AC，由等边11 A1B BC12a三角形知A1C1B 60，即异面直线AC与BC1所成的角为60，故 A 正确；对于 B，假设BD1平面A1C1B，又A1B 平面A1C1B，则BD1 A1B，设正方体边长为a，则A1D1 a，A，BD13a，由勾股定理知A1D1 A1B，与假设矛盾，1B 2a假设不成立，故BD1不垂直于平面A1C1B，故 B 错误；对于 C，设正方体边长为 a，则A

7、C112a，内切球半径为a，设内切球的球心 O 在面2A1C1B上的投影为O，由等边三角形性质可知O为等边A1C1B的重心，则23363，又OA1AC 2a aOA a，球心 O 到面A1C1B的距离11132332363为OA12OA12aaa，又球心与截面圆心的连线垂直于截236a 36面，截面圆的半径为aa，又截面圆的面积26666S 6a 24，解得a 12，则内切球半径为 ，内切球表面积22222S 462144，故 C 错误；对于 D，由等体积法知VB1A1C1BVBA1C1B1确；故选：AD1S311a 121212 288，故 D 正A1C1B132【点睛】关键点点睛：本题考查

8、了正方体和它的内切球的几何结构特征，关键是想象出截面图的形状，从而求出正方体的棱长，进而求出内切球的表面积及三棱锥的体积，考查了空间想象能力，数形结合的思想，属于较难题.3在棱长为 1 的正方体ABCD A1B1C1D1中，P 为底面 ABCD 内（含边界）一点（）A若AP 点有且只有一个1P 3，则满足条件的B若A，则点 P 的轨迹是一段圆弧1P 2C若A1P/平面B1D1C，则A1P长的最小值为2D若A且A1P/平面B1D1C，则平面A1PC1截正方体外接球所得截面的面积为1P 223【答案】ABD【分析】选项 A，B 可利用球的截面小圆的半径来判断；由平面A1BD/平面B1D1C，知满足

9、A1P/平面B1D1C的点 P 在 BD 上，A1P长的最大值为2；结合以上条件点 P 与 B 或 D 重合，利用2r 【详解】P 在以A1为球心，半径为3的球上，又因为 P对 A 选项，如下图：由A1P 3，知点在底面 ABCD 内（含边界），底面截球可得一个小圆，由A1A 底面 ABCD，知点 P 的轨迹是在底面上以 A 为圆心的小圆圆弧，半径为r 满足，故 A 正确；A1P6，求出r ，进而求出面积.sin603A1P2 A1A22，则只有唯一一点 C对 B 选项，同理可得点 P 在以 A 为圆心，半径为r A1P2 A1A21的小圆圆弧上，在底面 ABCD 内（含边界）中，可得点P 轨

10、迹为四分之一圆弧BD.故 B 正确；对 C 选项，移动点 P 可得两相交的动直线与平面B1D1C平行，则点 P 必在过A1且与平面B1D1C平行的平面内，由平面A1BD/平面B1D1C，知满足A1P/平面B1D1C的点 P 在 BDC 不正确；上，则A1P长的最大值为A1B 2，则对选项 D，由以上推理可知，点P 既在以 A 为圆心，半径为 1 的小圆圆弧上，又在线段BD上，即与 B 或 D 重合，不妨取点 B，则平面A1PC1截正方体外接球所得截面为A1BC1的外接圆，利用2r A1B2 662.故 D 正确.,r ,S r2sin60333故选：ABD【点睛】（1）平面截球所得截面为圆面，

11、且满足R2=r2 d2（其中R为球半径，r为小圆半径，d为球心到小圆距离）；（2）过定点 A 的动直线平行一平面，则这些动直线都在过 A 且与平行的平面内.4在三棱锥M ABC中，下列命题正确的是（）12ABAC，则BC 3BD33111B若 G 为ABC的重心，则MG MAMBMC333A若AD C若MABC 0，MC AB 0，则MB AC 0D若三棱锥M ABC的棱长都为 2，P，Q 分别为 MA，BC 中点，则PQ 2【答案】BC【分析】作出三棱锥M ABC直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得.【详解】对于 A ，由已知AD 即2CD DB，则12AB AC 3AD 2AC A

12、B 2AD2AC AB AD，333BD BD DC BC，故 A 错误；2对于 B，由 G 为ABC的重心，得GAGB GC 0，又MG MA AG，MG MB BG，MG MC CG，MA MB MC 3MG，即111MG MAMBMC，故 B 正确；333对于 C，若MABC 0，MC AB 0，则MABC MC AB 0，即MABC MC(AC CB) 0 MABC MCAC MCCB 0 MABC MC AC MC BC 0 MA MC BC MC AC 0 CABC MC AC 0 AC CB MC AC 0 CB MC AC 0，即MB AC 0，故 C 正确；对于 D，PQ M

13、QMP 111(MBMC)MA(MB MC MA)22211 PQ MB MC MA 22MB MC MA222，又MBMCMA2 MB MC MA 2MBMC2MBMA2MCMA21111 2222222222222228， PQ 8 2，故2222D 错误.故选：BC【点睛】关键点睛：本题考查向量的运算，用已知向量表示某一向量的三个关键点：(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立5如图，

14、矩形ABCD中，AB 2AD 2，E为边AB的中点.将ADE沿直线DE翻折成A1DE（点A1不落在底面BCDE内），若M在线段A1C上（点M与A1，C不重合），则在ADE翻转过程中，以下命题正确的是（）A存在某个位置，使DE A1CB存在点M，使得BM 平面A1DC成立C存在点M，使得MB/平面A1DE成立D四棱锥A1 BCDE体积最大值为【答案】CD【分析】利用反证法可得 A、B 错误，取M为A1C的中点，取A1D的中点为I，连接MI,IE，可证明MB/平面A1DE，当平面A1DE 平面BCDE时，四棱锥A1 BCDE体积最大值，利用公式可求得此时体积为【详解】242.4如图（1），取DE的

15、中点为F，连接A1F,CF，则CDF 45，DF 21225，故CF2 422，22222故DC2 DF2CF2即CFD 2若CA1 DE，因为A1D A1E,DF FE，故A1F DE，而A1F A1C A1，故DE 平面A1FC，因为CF 平面A1FC，故DE CF，矛盾，故 A 错若BM 平面A1DC，因为DC平面A1DC，故BM DC，因为DC CB，BM CB B，故CD平面A1CB，平面A1CB，故CD A1C，但A1D CD，矛盾，故 B 错因为AC1当平面A1DE 平面BCDE时，四棱锥A1 BCDE体积最大值，由前述证明可知A1F DE，而平面A1DE平面BCDE DE，A1

16、F 平面A1DE，故A1F 平面BCDE，因为A1DE为等腰直角三角形，A1D A1E 1，故A1F 又四边形BCDE的面积为21故此时体积为2，21311，221322，故 D 正确3224对于 C，如图（2），取M为A1C的中点，取A1D的中点为I，连接MI,IE，11CD，而BE/CD,BE CD，22故IM /BE,IM BE即四边形IEBM为平行四边形，则IM /CD,IM 故IE/BM，因为IE 平面A1DE，BM 平面A1DE，故MB/平面A1DE，故 C 正确故选：CD.【点睛】本题考查立体几何中的折叠问题，注意对于折叠后点线面的位置的判断，若命题的不成立，往往需要利用反证法来

17、处理，本题属于难题.6在边长为 2 的等边三角形ABC中，点D,E分别是边AC,AB上的点，满足DE / BC且ADAC，（01），将ADE沿直线DE折到ADE的位置.在翻折过程中，下列结论不成立的是（）A在边AE上存在点F，使得在翻折过程中，满足BF /平面ACD1B存在0,，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面ABC 平面BCDE2C若1，当二面角A DEB为直二面角时，| AB|210439D在翻折过程中，四棱锥ABCDE体积的最大值记为f【答案】ABC【分析】，f的最大值为2对于 A.在边AE上点 F，在AD上取一点 N，使得FN / /ED，在ED上取一点 H，使得NH / /EF，

18、作HG/ /BE交BC于点 G，即可判断出结论.1对于 B，0,，在翻折过程中，点A在底面BCDE的射影不可能在交线BC上，即2可判断出结论.对于 C，1，当二面角A DEB为直二面角时，取 ED 的中点 M，可得AM 平面2BCDE.可得AB AM2 BM2，结合余弦定理即可得出.对于 D.在翻折过程中，取平面AED平面BCDE，四棱锥ABCDE体积1，fSBCDE 33，01，利用导数研究函数的单调性即可得出.3【详解】对于 A.在边AE上点 F，在AD上取一点 N，使得FN / /ED，在ED上取一点 H，使得NH / /EF，作HG/ /BE交BC于点 G，如图所示，则可得FN平行且等

19、于BG，即四边形BGNF为平行四边形，NG/BE，而GN始终与平面ACD相交，因此在边AE上不存在点 F，使得在翻折过程中，满足BF /平面ACD，A 不正确.1对于 B，0,，在翻折过程中，点A在底面BCDE的射影不可能在交线BC上，因2此不满足平面ABC 平面BCDE，因此 B 不正确.对于 C.1，当二面角A DEB为直二面角时，取ED的中点 M，如图所示：2可得AM 平面BCDE，则AB C 不正确；对于 D.在翻折过程中，取平面 AED平面 BCDE，四棱锥ABCDE体积AM2 BM2(32111010，因此) 1( )221cos120 222241，fSBCDE 33，01，f1

20、32，可得3时，函数33f取得最大值f3 12 3，因此 D 正确.1339综上所述，不成立的为 ABC.故选：ABC.【点睛】本题考查了利用运动的观点理解空间线面面面位置关系、四棱锥的体积计算公式、余弦定理、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力空间想象能力与计算能力，属于难题.7如图，点O是正四面体P ABC底面ABC的中心，过点O的直线交AC，BC于点M，N，S是棱PC上的点，平面SMN与棱PA的延长线相交于点Q，与棱PB的延长线相交于点R，则（）A若MN / /平面PAB，则AB/ /RQB存在点 S 与直线 MN，使PC 平面SRQC存在点S与直线MN，使PS PQ PR

21、 0【答案】ABD【分析】1DPQ1PR1PS是常数对于选项 A，根据线面平行的性质定理，进行推理判断即可；1PC时，通过线面垂直的判定定理，证3明此时PC 平面SRQ，即可证明，存在点 S 与直线 MN，使PC 平面SRQ；对于选项 B，当直线MN平行于直线AB，SC 对于选项 C，假设存在点S与直线MN，使PS PQ PR 0，利用线面垂直的判定定理可证得PC 平面PAB，此时通过反证法说明矛盾性，即可判断；对于选项 D，利用VSPQRVOPSRVOPSQVOPQR，即可求得【详解】对于选项 A，若MN / /平面PAB，平面SMN与棱PA的延长线相交于点Q，与棱PB的延长线相交于点R,1

22、PQ1PR1PS是常数.平面SMN平面PAB=RQ，又MN 平面SMN，MN / /平面PAB，MN / /RQ，点O在面ABC上，过点O的直线交AC，BC于点M，N，MN 平面ABC，又MN / /平面PAB，平面ABC平面PAB AB，MN/ AB，AB/ /RQ，故 A 正确；对于选项 B，当直线MN平行于直线AB，S为线段PC上靠近C的三等分点，即SC 此时PC 平面SRQ，以下给出证明：在正四面体P ABC中，设各棱长为a，1PC，3ABC，PBC，PAC，PAB均为正三角形，点O为ABC的中心，MN/ AB，由正三角形中的性质，易得CN CM 在CNS中，2a，321CN a，SC

23、 a，SCN ，333a 2a a 2a3由余弦定理得，SN 2cosa，333333SC2SN22242a CN2，则SN PC，9同理，SM PC，又SMSN S，SM平面SRQ，SN平面SRQ，PC 平面SRQ，存在点 S 与直线 MN，使PC 平面SRQ，故 B 正确；对于选项 C，假设存在点S与直线MN，使PS PQ PR 0，设QR中点为K，则PQ PR 2PK，PS PK，即PC PK，PC AB PC PB PA PC PB cosCPB PC PA cosCPA 0，PC AB，又易知AB与PK为相交直线，AB与PK均在平面PQR上，PC 平面PQR，即PC 平面PAB，与正

24、四面体P ABC相矛盾，所以假设不成立，故 C 错误；对于选项 D，易知点O到面PBC，面PAC，面PAB的距离相等，记为d，记PC与平面PAB所处角的平面角为，为常数，则sin也为常数，则点S到PQR的距离为PSsin，又SPQR13PQ PR sinPQ PR234VSPQR，又SPSR1PS sinS3PQR133PS sinPQ PR PQ PR PS sin341213PS PR sinPS PR，234SSPSQ13PS PQ sinPS PQ，23413PQ PR sinPQ PR，2343dPS PR PS PQ PQ PR，12PQRVSPQRVOPSRVOPSQVOPQR3

25、3PQ PR PS sindPS PR PS PQ PQ PR，12121PQ1PR1PSsind为常数，故 D 正确.故选：ABD.【点睛】本题考查了线面平行的性质定理、线面垂直的判定定理，考查了三棱锥体积的计算，考查了向量的运算，考查了转化能力与探究能力，属于较难题.8如图所示，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交棱AA1于点E，交棱CC1于点F，得四边形BFD1E，在以下结论中，正确的是（）A四边形BFD1E有可能是梯形B四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形C四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1DD四边形BFD1E面积的最小值为【

26、答案】BCD【分析】四边形BFD1E有两组对边分别平行知是一个平行四边形四边形；BFD1E在底面ABCD内的投影是四边形ABCD；当与两条棱上的交点是中点时，四边形BFD1E垂直于面62BB1D1D；当E，F分别是两条棱的中点时，四边形BFD1E的面积最小为6.2【详解】过BD1作平面与正方体ABCD A1B1C1D1的截面为四边形BFD1E，如图所示，因为平面ABB1A1/ /平面DCC1D1，且平面BFD1E平面BFD1E平面ABB1A1 BE.平面DCC1D1 D1F,BE / /D1F，因此，同理D1E / /BF，故四边形BFD1E为平行四边形，因此 A 错误；对于选项 B，四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形ABCD，因此 B 正确；对于选项 C，当点E、F分别为AA1,CC1的中点时，EF 平面BB1D1D，又EF 平面BFD1E，则平面BFD1E 平面BB1D1D，因此 C 正确；对于选项 D，当F点到线段BD1的距离最小时，此时平行四边形BFD1E的面积最小，此时点E、F分别为AA1,CC1的中点，此时最小值为故选：BCD16，因此 D 正确.23 22【点睛】关键点睛：解题的关键是理解想象出要画的平面是怎么样的平面，有哪些特殊的性质，考虑全面即可正确解题.