[理学]概率第四章课件.ppt

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1、第一节一、一、离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望二、二、连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望四、四、数学期望的性质数学期望的性质随机变量的数学期望及其性质随机变量的数学期望及其性质 第四四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、三、随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望本节的教学要求本节的教学要求 理解随机变量数学期望的概念及性质理解随机变量数学期望的概念及性质 掌握掌握常用分布的数学期望常用分布的数学期望 会求随机变量函数的数学期望会求随机变量函数的数学期望重点重点随机变量的数学期望及其性随机变量的数学期望及其性质质

2、机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望 引例引例 某车间对工人的生产情况进行考察某车间对工人的生产情况进行考察. 我们先观察小张我们先观察小张100天的生产情况天的生产情况随机变量的数学期望及其性随机变量的数学期望及其性质质 小张每天生产的废品数小张每天生产的废品数X是一个随机变量是一个随机变量. 义义X的平均值呢？的平均值呢？车工车工如何定如何定若统计若统计100天天, 32天没有出废品天没有出废品;30天每天出一件废品天每天出一件废品;17天每天出两件废品天每天出两件废品;21天每天出三件废品天每天出三件废品;27. 110021310

3、0172100301100320可以得到这可以得到这100天中天中 每天的平均废品数为每天的平均废品数为这个数能否作为这个数能否作为X的平均值呢？的平均值呢？（假定小张每天至多出（假定小张每天至多出现三件废品现三件废品 ）随机变量的数学期望及其性随机变量的数学期望及其性质质 可以想象，若另外统计可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品、天，车工小张不出废品、出一件、二件、三件废品的天数与前面的出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般天一般不会完全相同，这另外不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不天每天的平均废品数也不一定是一定是1.27.n0天没有出废品天没有出废品;n

4、1天每天出一件废品天每天出一件废品;n2天每天出两件废品天每天出两件废品;n3天每天出三件废品天每天出三件废品.nnnnnnnn32103210可以得到可以得到n天中每天的平均废品数为天中每天的平均废品数为(假定小张每天至多出假定小张每天至多出三件废品三件废品) 一般来说一般来说, 若统计若统计n天天 ,随机变量的数学期望及其性随机变量的数学期望及其性质质 这是这是以频率为权的加权平均以频率为权的加权平均nnnnnnnn32103210 当当N很大时，频率接近于概率，很大时，频率接近于概率，所以在求废品数所以在求废品数X的平的平均值时，用均值时，用概率代替频率概率代替频率，得平均值为得平均值为

5、32103210pppp这是这是以概率为权的加权平均以概率为权的加权平均这样得到一个确定的数这样得到一个确定的数. 我们就用这个数作为随机变我们就用这个数作为随机变量量X 的平均值的平均值 .随机变量的数学期望及其性随机变量的数学期望及其性质质 定义定义1 设随机变量设随机变量X ，它的分布律是，它的分布律是: PX=xi=pi , i=1,2,注意注意 : 离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和的级数的和. 数学期望简称期望数学期望简称期望, 又称为均值。又称为均值。1iiiEXx p 若级数若级数1iiix p 绝对收敛，绝对收敛，则称级数则

6、称级数1iiix p EX即即的和为的和为随机变量随机变量X的数学期望的数学期望，记为，记为 ,随机变量的数学期望及其性随机变量的数学期望及其性质质 例例 1,21XX所得分数分别记为所得分数分别记为甲、乙二人进行打靶，甲、乙二人进行打靶，它们的分布率分别为它们的分布率分别为 0 1 2 00.2 0.8 0 1 20.6 0.3 0.11Xkp2Xkp的数学期望，的数学期望，和和解：我们先来算解：我们先来算21XX120010.220.81.8(00.610.320.10.5(EXEX 分分）分分）问应如何评定甲、乙两人技术的优劣？问应如何评定甲、乙两人技术的优劣？即即 甲的射击技术比乙好。

7、甲的射击技术比乙好。随机变量的数学期望及其性随机变量的数学期望及其性质质 ( ),.XPEX 设设求例例 20, 2 , 1 , 0,! kkekXPXk的的分分布布率率为为解解0!kkeEXkk 随机变量的数学期望及其性随机变量的数学期望及其性质质 X数数学学为为的期望EX 即11(1)!kkek ee 二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望 设设X是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为f (x), 1)(iixxdxxfiixxf)(小区间小区间xi, xi+1)阴影面积近似为阴影面积近似为iixxf)()(1iiixxxf随机变量的数学期望及其性随

8、机变量的数学期望及其性质质 在数轴上取很密的分点在数轴上取很密的分点x0 x1x20, (,)XYCov X YDXDY DY0,则称则称定义定义2 当当 时，时， 称称X 与与 Y不线性相关，不线性相关， 0XY 简称不相关简称不相关 .协方差、相关系数、矩及其性质协方差、相关系数、矩及其性质 相关系数的性质：相关系数的性质：1.| 1XY 2 .1X Y 存在常数存在常数 a,b(b0），使得使得 PY= a + b X=1.3. X和和Y独立时，独立时， =0，但其逆不真但其逆不真. .XY 221212(,) (,)X YN 4.设设 ，则，则0XY XY （1）（2）XY与与 相互独

9、立相互独立XY与与不相关不相关.协方差、相关系数、矩及其性质协方差、相关系数、矩及其性质 1()02,02( , )80,xyxyf x y ，其其他他( , )EXxf x y dxdy 22001()8dxx xydy 76 2222001()8EXdxxxydy53 2225711()( )3636DXEXEX (,)X Y例例 2 2 设设的密度函数为的密度函数为.XY 求求解解 所以所以协方差、相关系数、矩及其性质协方差、相关系数、矩及其性质 (,)X Y1()02,02( , )80,xyxyf x y ，其其他他.XY 7,6EYEX11,36DYDX 220014()(),83

10、E XYdxxy xydy (,)1.11XYCov X YDXDY 例例 2 2 设设的密度函数为的密度函数为求求解解 由密度函数的对称性可以看出由密度函数的对称性可以看出协方差、相关系数、矩及其性质协方差、相关系数、矩及其性质 定义定义1 设设X是随机变量，是随机变量，k为正整数，若为正整数，若 kEX存在，则称它为存在，则称它为X的的k阶原点矩阶原点矩，记为，记为()kE XEX 存在，称它为存在，称它为X的的k阶中心矩，记为阶中心矩，记为可见，均值可见，均值 EX是是X一阶原点矩，方差一阶原点矩，方差DX是是X的二阶中心矩。的二阶中心矩。三、三、 矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵.kv定义

11、定义2 设设X是随机变量，是随机变量，k为正整数，若为正整数，若 .k 协方差、相关系数、矩及其性质协方差、相关系数、矩及其性质 定义定义3 3 设设 (,)X Ycov(,)cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)cov( ,)DXX YX XX YX YDYX YY Y 1111cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)nnnnXXXXXXXX 是二维随机变量，称矩阵是二维随机变量，称矩阵(,)X Y为为的协方差矩阵的协方差矩阵.12(,)nXXXn维随机变量维随机变量的协方差矩阵为的协方差矩阵为.同样地，可定义同样地，可定义协方差、相关系数、矩及其性质协方差、相关系数、矩及

12、其性质 2,UXY 2,VXY ,DXDY ( ,)(2,2)Cov U VCovXYXY 4(,)( ,)Cov X XCov Y Y443DXDY 445DUDVDXDY 5335C 例例 3 设随机变量设随机变量XY与与.解解 由于由于，(,)U V.因此，因此，的协方差矩阵为的协方差矩阵为， 相互独立且都服从参数相互独立且都服从参数 的的泊松分布，泊松分布，( ,)U V.C求求的协方差矩的协方差矩阵阵协方差、相关系数、矩及其性质协方差、相关系数、矩及其性质 内容小结内容小结 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 习题习题4-3 这一节介绍了协方差、相关系数，相关系数是这一节介绍了协方差、相关系数，相关系数是刻划两个变量间刻划两个变量间线性相关程度线性相关程度的一个重要的数字特的一个重要的数字特征征.还学习了随机变量的原点矩和中心矩以及协方差矩阵还学习了随机变量的原点矩和中心矩以及协方差矩阵 . 一般地一般地 , 维随机变量的分布是不知道的维随机变量的分布是不知道的 , 或者太复杂或者太复杂 , 以至于在数学上不易处理以至于在数学上不易处理 , 因此因此在实际中协方差矩阵就显得重要了在实际中协方差矩阵就显得重要了 .协方差、相关系数、矩及其性质协方差、相关系数、矩及其性质