2022年人教八年级数学特殊平行四边形相关知识归纳总结与例题精讲 .pdf

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1、特殊的平行四边形相关知识归纳和常见题型精讲附: 矩形菱形正方形的性质和判定总表矩形菱形正方形性质边对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等角四个角都是直角对角相等四个角都是直角对角线互相平分且相等互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等 ,每条对角线平分一组对角判定 有三个角是直角; 是平行四边形且有一个角是直角 ; 是平行四边形且两条对角线相等 . 四边相等的四边形；是平行四边形且有一组邻边相等；是平行四边形且两条对角线互相垂直。是矩形，且有一组邻边相等；是菱形，且有一个角是直角。对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形一. 矩形矩形定义 : 有一个角是直角的平行四边

2、形叫做矩形(通常也叫长方形或正方形). 矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴；矩形的性质 :(具有平行四边形的一切特征) 矩形性质 1:矩形的四个角都是直角矩形性质 2:矩形的对角线相等且互相平分如 图 ， 在 矩 形ABCD中 ， AC 、 BD相 交 于 点O ， 由 性 质2有AO=BO=CO=DO=21AC=21BD 因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半矩形的判定方法矩形判定方法1： 对角钱相等的平行四边形是矩形矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形精选学习资料 - - - -

3、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页矩形判定方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形矩形判定方法4： (4)对角线相等且互相平分的四边形是矩形例 1 已知：如图，矩形ABCD ，AB 长 8 cm ，对角线比AD 边长 4 cm求 AD 的长及点A 到 BD 的距离 AE 的长例 2 已知：如图，矩形ABCD 中， E 是 BC 上一点， DFAE 于 F，若 AE=BC 求证：CEEF例 3 如图，已知矩形ABCD 中，E 是 AD 上的一点， F 是 AB 上的一点， EFEC， 且 EF=EC，DE=4cm，矩形 ABCD 的周长为32cm

4、，求 AE 的长例 4、如图，在ABCD 中， E 为 BC 的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F(1)求证： AB=CF ；(2)当 BC 与 AF 满足什么数量关系时，四边形ABFC 是矩形，并说明理由FEDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页二菱形菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形【强调】菱形（ 1）是平行四边形； （2）一组邻边相等菱形的性质性质 1菱形的四条边都相等；性质 2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；菱形的判定菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱

5、形注意此方法包括两个条件： （1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形例 1已知：如图，四边形ABCD 是菱形， F 是 AB 上一点， DF 交 AC 于 E求证： AFD= CBE 例 2 已知：如图ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边AD 、 BC 分别交于E、F求证：四边形AFCE 是菱形ABCD 中，O 是对角线 AC 的中点，过点O 作 AC 的垂线与边AD 、例3 、如 图 ， 在BC 分别交于 E、F，求证：四边形AFCE 是菱形 . ABCDEFO12精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

6、 - - - -第 3 页，共 12 页例 4、已知如图，菱形ABCD 中， E 是 BC 上一点， AE 、 BD 交于 M，若 AB=AE, EAD=2 BAE 。求证： AM=BE 。例 5 （10 湖南益阳）如图，在菱形ABCD 中， A=60 ,AB=4,O 为对角线BD 的中点，过 O 点作 OEAB，垂足为E(1)求线段BE的长例 6、（ 2008 四川自贡）如图，四边形 ABCD 是菱形，DEAB 交 BA 的延长线于E， DF BC，交 BC 的延长线于F。请你猜想DE 与 DF 的大小有什么关系？并证明你的猜想例 7、（ 2008 山东烟台）如图，菱形ABCD 的边长为2，

7、BD=2 ，E、F 分别是边AD，CD 上的两个动点，且满足 AE+CF=2. （1）求证： BDE BCF；（2）判断 BEF 的形状，并说明理由；（3）设 BEF 的面积为 S，求 S 的取值范围 . BMADCEDABCOE60精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页三正方形正方形是在平行四边形的前提下定义 的，它包含两层意思：有一组邻边相等的平行四边形（菱形）有一个角是直角的平行四边形（矩形）正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做

8、正方形正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质总结如下：边： 对边平行，四边相等；角： 四个角都是直角；对角线： 对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角注意： 正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是 45 ；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质正方形的判定方法：?(1)有一个角是直角的菱形是正方形；?(2)有

9、一组邻边相等的矩形是正方形?注意： 1、正方形概念的三个要点：?（1）是平行四边形；?（2）有一个角是直角；?（3）有一组邻边相等2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页例 1 已知：如图，正方形ABCD 中，对角线的交点为O， E 是OB 上的一点， DGAE 于 G，DG 交 OA 于 F求证： OE=OF例 2 已知：如图，四边形ABCD 是正方形，分别过点A、C 两点作 l1l2，作 BM l1于 M，DN l1于 N，

10、直线 MB 、DN 分别交 l2于 Q、P 点求证：四边形PQMN 是正方形例 3、（ 2008 海南） 如图， P 是边长为1 的正方形ABCD 对角线 AC 上一动点（ P 与 A、C不重合），点E 在射线 BC 上，且 PE=PB . （ 1）求证：PE=PD； PEPD；（ 2）设 AP=x, PBE 的面积为y. 求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； 当 x 取何值时， y 取得最大值，并求出这个最大值. 例 4（ 2006 年河南省）如图，梯形ABCD 中， AD BC ，AB=AD=DC，E为底边 BC的中点，且DEAB ，试判断 ADE的形状，并给出证明A

11、B C P D E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页图 5EDCBA例 5：（ 2008 深圳） 如图，在梯形ABCD 中， AB DC， DB 平分 ADC ，过点 A 作 AEBD ，交 CD 的延长线于点E，且 C2E（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形（2）若 BDC 30， AD 5，求 CD 的长例题讲解例一 .分析：（ 1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质， 而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法解： 设 AD=xcm ， 则对角线

12、长（x+4） cm， 在 RtABD 中， 由勾股定理：222)4(8xx，解得 x=6 则 AD=6cm （2）“ 直角三角形斜边上的高” 是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式：AE DB AD AB，解得AE 4.8cm例二 分析： CE、 EF 分别是 BC， AE 等线段上的一部分，若AFBE，则问题解决，而证明AFBE，只要证明 ABE DFA 即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形证明：四边形 ABCD 是矩形，B=90，且 AD BC1=2DFAE ，AFD=90 B=AFD 又AD=AE ，ABE DFA （AAS）AF=BE EF=E

13、C此题还可以连接DE ，证明 DEF DEC，得到 EFEC菱形 例 1 证明： 四边形 ABCD 是菱形，CB=CD ， CA 平分 BCD BCE=DCE又CE=CE，BCE COB（SAS） CBE=CDE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页在菱形 ABCD 中， ABCD， AFD= FDC AFD= CBE 例 2 证明 ：四边形 ABCD 是平行四边形，AEFC1=2又AOE= COF，AO=CO ，AOE COFEO=FO四边形 AFCE 是平行四边形又EFAC ，AFCE 是菱形 (对角线互相垂直的平

14、行四边形是菱形)例 6、解： DEDF 证明如下：连结 BD 四边形 ABCD 是菱形 CBD ABD( 菱形的对角线平分一组对角) DFBC，DEAB DFDE(角平分线上的点到角两边的距离相等) 例 7 、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页正方形例 1 分析：要证明OE=OF，只需证明 AEO DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等， 可以得到 AOE= DOF=90 ，AO=DO ，再由同角或等角的余角相等可以得到 EAO= FDO，根据 ASA 可以得到这两个三角形全等，故结论可得证明：四边形 ABCD

15、是正方形， AOE= DOF=90 ，AO=DO （正方形的对角线垂直平分且相等）又DGAE， EAO+ AEO= EDG+AEO=90 EAO= FDO AEO DFOOE=OF例 2 分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证ABM DAN ，证出AM=DN ，用同样的方法证AN=DP 即可证出MN=NP 从而得出结论证明： PNl1，QMl1，PNQM， PNM=90 PQNM ，四边形 PQMN 是矩形四边形 ABCD 是正方形BAD= ADC=90 ，AB=AD=DC （正方形的四条边都相等，四个角都是直角） 1+2=90 又3+2=90 ，1=3ABM DAN AM=DN 同理

16、AN=DP AM+AN=DN+DP 即MN=PN 四边形 PQMN 是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）例 3 （ 1）证法一： 四边形 ABCD 是正方形， AC 为对角线， BC=DC , BCP=DCP= 45 . PC=PC， PBC PDC （SAS）. PB= PD， PBC=PDC. 又PB= PE ， PE=PD. （ i）当点 E 在线段 BC 上(E 与 B、C 不重合 )时， PB=PE， PBE=PEB， PEB=PDC， PEB+PEC=PDC+PEC=180 ，A B C D P E 1 2 H 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

17、 - - - - - -第 9 页，共 12 页 DPE=360 -(BCD+PDC+PEC)=90 ， PEPD. ）（ii ）当点 E 与点 C 重合时，点P 恰好在 AC 中点处，此时，PEPD. （iii ）当点 E 在 BC 的延长线上时，如图. PEC=PDC， 1=2， DPE=DCE=90 ， PEPD. 综合（ i）（ ii ）（ iii ）, PEPD. （2）过点 P 作 PFBC，垂足为F，则 BF=FE. AP=x，AC=2 ， PC=2 - x，PF=FC=xx221)2(22. BF=FE=1-FC=1-(x221)=x22. SPBE=BF PF=x22(x22

18、1)xx22212. 即xxy22212(0 x2 ). 41)22(21222122xxxy. 21a0， 当22x时， y最大值41. （1）证法二：过点 P 作 GFAB，分别交AD、BC 于 G、F. 如图所示 . 四边形 ABCD 是正方形， 四边形 ABFG 和四边形GFCD 都是矩形，AGP 和 PFC 都是等腰直角三角形. GD=FC =FP，GP=AG=BF， PGD=PFE=90 . 又PB=PE， BF=FE， GP=FE， EFP PGD （SAS）. PE=PD. 1=2. 1+ 3=2+3=90 . DPE=90 . PEPD. （2）AP=x， BF=PG=x22

19、，PF=1-x22. SPBE=BF PF=x22(x221)xx22212. A B C P D E F A B C P D E F G 1 2 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页即xxy22212(0 x2 ). 41)22(21222122xxxy. 21a0， 当22x时， y最大值41. (注：用其它方法求解参照以上标准给分.) 例 4 【解析】 ADE是等边三角形理由如下：AB=CD ，梯形ABCD 为等腰梯形， B=CE为 BC的中点，BE=CE 在 ABE和 DCE中，,ABDCBCBECE

20、ABE DCE AE=DE AD BC ，DEAB ，四边形 ABCD 为平行四边形AB=DE AB=AD ，AD=AE=DE ADE为等边三角形例 5：（ 1）证明： AE BD, E BDC DB 平分 ADC ADC 2BDC 又 C2E ADC BCD 梯形 ABCD 是等腰梯形（2）解：由第（ 1）问，得 C2E2BDC60，且 BCAD 5 在 BCD 中， C60, BDC 30 DBC 90DC2BC10精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页