2022年二次方程根的分布情况归纳 .pdf

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1、精品资料欢迎下载二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02cbxax根的分布情况设方程200axbxca的不等两根为12,x x且12xx，相应的二次函数为20fxaxbxc，方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一： （两根与 0 的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0 120,0 xx两个正根即两根都大于0 120,0 xx一正根一负根即一个根小于0，一个大于0120 xx大致图象（0a）得出的结论00200baf00200baf00f大致图象（0a）得出的结论00200baf00200baf

2、00f综合结论（不讨论a）00200baa f00200baaf00fa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页精品资料欢迎下载表二： （两根与k的大小比较）分布情况两根都小于k即kxkx21,两根都大于k即kxkx21,一个根小于k，一个大于k即21xkx大致图象（0a）得出的结论020bkafk020bkafk0kf大致图象（0a）得出的结论020bkafk020bkafk0kf综合结论（不讨论a）020bkaa fk020bkaa fk0kfakkk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

3、- - - - - -第 2 页，共 8 页精品资料欢迎下载表三： （根在区间上的分布）分布情况两根都在nm,内两根有且仅有一根在nm,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在nm,内，另一根在qp,内，qpnm大致图象（0a）得出的结论0002fmfnbmna0nfmf0000fmfnfpfq或00fmfnfpfq大致图象（0a）得出的结论0002fmfnbmna0nfmf0000fmfnfpfq或00fmfnfpfq综合结论（不讨论a）0nfmf00qfpfnfmf根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间nm,外，即在区间两侧12,xm xn， （图形分别如下）需满足的条件是精选学习资料

4、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页精品资料欢迎下载（ 1）0a时，00fmfn；（ 2）0a时，00fmfn对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（ 1）两根有且仅有一根在nm,内有以下特殊情况：1若0f m或0fn， 则此时0fmf n不成立， 但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，可以求出另外一根， 然后可以根据另一根在区间nm,内， 从而可以求出参数的值。如方程2220mxmx在区间1,3上有一根，因为10f，所以22212mxmxxmx，另一根为2m，由213m得223m即为所求；2方程有且只有一根，且这个根在区间

5、nm,内，即0，此时由0可以求出参数的值，然后再将参数的 值 带 入 方 程 ， 求 出 相 应 的 根 ， 检 验 根 是 否 在 给 定 的 区 间 内 ， 如 若 不 在 ， 舍 去 相 应 的 参 数 。 如 方 程24260 xmxm有 且 一 根 在 区 间3, 0内 ， 求m的 取 值 范 围 。 分 析 ： 由300ff即141530mm得出15314m；由0即2164 260mm得出1m或32m，当1m时，根23,0 x，即1m满足题意；当32m时，根33,0 x，故32m不满足题意；综上分析，得出15314m或1m根的分布练习题例 1、已知二次方程221210mxmxm有一

6、正根和一负根，求实数m的取值范围。解：由2100mf即2110mm，从而得112m即为所求的范围。例 2、已知方程2210 xmxm有两个不等正实根，求实数m的取值范围。解：由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页精品资料欢迎下载0102 200mf218010mmmm32 232 20mmm或032 2m或32 2m即为所求的范围。例 3、已知二次函数222433ymxmxm与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围。解：由210mf即2210mm122m即为所求的范围。例 4、已知二次方程22340

7、mxmx只有一个正根且这个根小于1，求实数m的取值范围。解：由题意有方程在区间0,1上只有一个正根，则010ff4 310m13m即为所求范围。（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在0,1内，由0计算检验， 均不复合题意，计算量稍大）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页精品资料欢迎下载2、二次函数在闭区间nm,上的最大、最小值问题探讨设002acbxaxxf，则二次函数在闭区间nm,上的最大、最小值有如下的分布情况：abnm2nabm2即nmab,2nmab2图象最大、最小值nfxfmfxfminm

8、axabfxfmfnfxf2,maxminmaxmfxfnfxfminmax对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：（ 1）若nmab,2，则nfabfmfxf,2,maxmax，nfabfmfxf,2,minmin；（ 2）若nmab,2，则nfmfxf,maxmax，nfmfxf,minmin另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开x轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开x轴越远，则对应的函数值越小。二次函数在闭区间上的最值练习二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，

9、以下三个例题各代表一种情况。例 1、函数2220fxaxaxb a在2,3上有最大值5 和最小值2，求,a b的值。解：对称轴012,3x，故函数fx在区间2,3上单调。（ 1）当0a时，函数fx在区间2,3上是增函数，故maxmin32fxffxf32522abb10ab；（ 2）当0a时，函数fx在区间2,3上是减函数，故maxmin23fxffxf25322bab13ab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页精品资料欢迎下载例 2、求函数221,1,3fxxaxx的最小值。解：对称轴0 xa（ 1）当1a时，min

10、122yfa；（ 2）当13a时，2min1yfaa；（ 3）当3a时，min3106yfa改： 1本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？解： （1）当2a时，max3106fxfa；（2）当2a时，max122fxfa。2本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？解： （1）当1a时，max3106fxfa，min122fxfa；（2）当12a时，max3106fxfa，2min1fxfaa；（3）当23a时，max122fxfa，2min1fxf aa；（4）当3a时，max122fxfa，min3106fxfa。例 3、求函数243yxx在区间,1t t上的最小值。解：对称轴02x（

11、 1）当2t即2t时，2min43yf ttt；（ 2）当21tt即12t时，min21yf；（ 3）当21t即1t时，2min12yf ttt例 4、讨论函数21fxxxa的最小值。解：2221,11,xaxxafxxxaxaxxa，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为直线12x，12x，当12a，1122a，12a时原函数的图象分别如下（1） ， （2） ， （3）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页精品资料欢迎下载因此， （1）当12a时，min1324fxfa；（2）当1122a时，2min1fxf aa；（3）当12a时，min1324fxfa以上内容是自己研究整理，有什么错误的地方，欢迎各位指正，不胜感激！精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页