2020-2021学年山东省实验中学高一(上)期中数学试卷及答案.pdf

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1、2020-20212020-2021 学年山东省实验中学高一（上）期中数学试卷学年山东省实验中学高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. .1 （5 分）已知集合 U1，2，3，4，5，6，A2，3，5，B1，3，6，则U（AB）（）A4BC1，2，4，5，6 D1，2，3，5，62 （5 分）下列各组函数中，表示同一函数的是（）Af（x）2x，g（x）Bf（x）|x|，g（x）Cf（x）Df（x

2、），g（x）x+1，g（x）3 （5 分）命题“x0，x3+x0”的否定是（）Ax0，x3+x0Cx0，x3+x0Bx0，x3+x0Dx0，x3+x04 （5 分）在同一坐标系中，函数f（x）ax+与 g（x）ax2的图象可能是（）ABCD5 （5 分）已知 4 枝郁金香和 5 枝丁香的价格小于 22 元，而 6 枝郁金香和 3 枝丁香的价格大于 24 元设 2 枝郁金香的价格为 A 元，3 枝丁香的价格为 B 元，则 A，B 的大小关系为（）第1 1页（共1919页）AABBABCABD不确定6（5分） 若函数y （ f x） 为偶函数， 且在 （0， +） 上是减函数， 又（ f 3） 0

3、， 则的解集为（）A （3，3）C （，3）（0，3）7 （5 分）若正实数 a，b，满足 a+b1，则A2B2B （3，0）（3，+）D （，3）（3，+）+的最小值为（）C5D48 （5 分）定义域是 R R 的函数 f（x）满足 f（x）f（x） ，当 x（0，2时，f（x）若 x2，0）时，f（x）围是（）A （，2C （，22+，+）B （，2D （，（0，2+（0，有解，则实数 t 的取值范（0，2+二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共4 4 小题，每小题小题，每小题5 5 分，共分，共2020 分分. .在每小题给出的四个选项中，有多在每小题给出的四个选项中，有多项符合题

4、目要求全部选对的得项符合题目要求全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分. .9 （5 分）满足 Ma1，a2，a3，a4，且 Ma1，a2，a3a1，a2的集合 M 可能是（）Aa1，a2Ca1，a2，a4Ba1，a2，a3Da1，a2，a3，a410 （5 分）设函数 f（x）定义域（1.1） ，且满足：xe（1，0）时，f（x）0；f（x）+f（y）f（） ，x，y（1，1） 则下列说法正确的是（）Af（x）是奇函数Bf（x）是偶函数Cf（x）在定义域上是减函数Df（x）在定义域上是增函数11 （5 分）若 a，b，c 为

5、实数，下列说法正确的是（）A若 ab，则 ac2bc2第2 2页（共1919页）B若 ab0，则 a2abb2C “关于 x 的不等式 ax2+bx+c0 恒成立”的充要条件是“a0，b24ac0”D “a1”是“关于 x 的方程 x2+x+a0 有两个异号的实根”的必要不充分条件12 （5 分）对于定义在 R R 上的函数 f（x） ，下列说法正确的是（）A若 f（x）是奇函数，则 f（x1）的图象关于点（1，0）对称B若对 x R R，有 f（x+1）f（x1） ，则 f（x）的图象关于直线 x1 对称C若函数 f（x+1）的图象关于直线 x1 对称，则 f（x）为偶函数D若 f（1+x）

6、+f（1x）2，则 f（x）的图象关于点（1，1）对称三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. .13 （5 分）14 （5 分）幂函数 y（m2m5）x为的图象分布在第一、二象限，则实数m 的值15 （5 分）某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价该地区的电网销售电价表如图：高峰时间段用电价格表高峰月用电量（单位：千瓦时）50 及以下的部分超过 50 至 200 的部分超过 200 的部分高峰电价（单位：元/千瓦时）0.5680.5980.668低谷时间段用电价格表低谷月用电量（单位：千瓦时）50 及以下的

7、部分超过 50 至 200 的部分超过 200 的部分低谷电价（单位：元/千瓦时）0.2880.3180.388若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时，低谷时间段用电量为 100 千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为元（用数字作答）16 （5 分）函数 f（x）x的函数值表示不超过 x 的最大整数，例如：3.54，2.12若 Ay|yx+2x+3x，0 x1，则 A 中所有元素的和为四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .17 （10 分）已知关于

8、x 的不等式 ax2+5x20 的解集是 M（1）若 a3，求解集 M；（2）若 Mx|x2，解关于 x 的不等式 ax25x+a210第3 3页（共1919页）18 （12 分）已知函数（1）若函数 g（x）f（x）a 为奇函数，求 a 的值；（2）试判断函数 f（x）在（0，+）上的单调性，并用定义证明19 （12 分）已知函数 f（x）（1）解不等式 f（x）1；（2）若 f（x）+t0 对任意实数 x 都成立，求实数 t 的取值范围20 （12 分）已知函数 f（x）ax22ax+1+b（a0） （1）若 ab1，求 f（x）在t，t+1上的最大值；（2）若 f（x）在区间2，4上的最

9、大值为 9，且最小值为 1，求实数 a，b 的值21 （12 分）2020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，在党和国家强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情，之后一方面防止境外输入，另一方面复工复产，某厂经调查测算，某种商品原来每件售价为 25 元，年销售量 8 万件（1）据市场调查，若价格每提高 1 元，销售量将相应减少 2000 件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并将定价提高到 x 元公司拟投入 （x2600）万元作为技改费用，投入 50 万元作为固定宣传费用，投入x 万元作为

10、浮动宣传费用试问：当该商品明年的销售量 a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价22 （12 分）已知函数 f（x）x24x+a+3，g（x）mx+52m（1）当 a3，m0 时，求方程 f（x）g（x）0 的解；（2）若方程 f（x）0 在1，1上有实数根，求实数 a 的取值范围；（3）当 a0 时，若对任意的 x11，4，总存在 x21，4，使 f（x1）g（x2）成立，求实数 m 的取值范围第4 4页（共1919页）2020-20212020-2021 学年山东省实验中学高一（上）期中数学试卷学年山东省实验中学高一（上）期中数学试

11、卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. .1 （5 分）已知集合 U1，2，3，4，5，6，A2，3，5，B1，3，6，则U（AB）（）A4BC1，2，4，5，6 D1，2，3，5，6【分析】求出 AB3，由此能求出U（AB） 【解答】解：集合 U1，2，3，4，5，6，A2，3，5，B1，3，6，AB3，U（AB）1，2，4，5，6故选：C【点评】本题考查交集、补集的求法，考查

12、交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2 （5 分）下列各组函数中，表示同一函数的是（）Af（x）2x，g（x）Bf（x）|x|，g（x）Cf（x）Df（x），g（x）x+1，g（x）【分析】判断每个选项的两函数的定义域和对应关系是否都相同， 都相同的为同一函数，否则不是同一函数【解答】解：Af（x）2x 的定义域为 R R，同，不是同一函数；Bf（x）|x|的定义域为 R R，是同一函数；C.一函数；第5 5页（共1919页）的定义域为x|x0，定义域不|x|的定义域为 R R，定义域和对应关系都相同，的定义域为x|x1，g（x）x+1 的定义域为 R R，定义域不同，不是同D

13、.的定义域为x|x1，的定义域为x|x1 或 x1，定义域不同，不是同一函数故选：B【点评】本题考查了函数的定义，判断两函数是否为同一函数的方法：看定义域和对应关系是否都相同，考查了计算能力，属于基础题3 （5 分）命题“x0，x3+x0”的否定是（）Ax0，x3+x0Cx0，x3+x0Bx0，x3+x0Dx0，x3+x0【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为x0，x3+x0，故选：C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础4 （5 分）在同一坐标系中，函数f（x）ax+与 g（x）ax2的图象可能是（）ABCD【分析】可先根据 a 的

14、符号判断一次函数的图象的倾斜角以及它与 y 轴的交点，二次函数的图象的开口方向，然后作出选择【解答】解：当 a0 时，g（x）ax2的图象是开口向上的抛物线，函数f（x）ax+的图象是一条斜率为 a 直线，倾斜角为锐角，故A 满足条件，B、C、D 不满足条件当 a0 时，g（x）ax2的图象是开口向下的抛物线，函数f（x）ax+的图象是一条第6 6页（共1919页）斜率为 a 直线，倾斜角为钝角，且直线过定点（0，） ，4 个选项都不满足条件故选：A【点评】本题主要考查函数的图象特征，一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等，体现了分类讨论的

15、数学思想，属于基础题5 （5 分）已知 4 枝郁金香和 5 枝丁香的价格小于 22 元，而 6 枝郁金香和 3 枝丁香的价格大于 24 元设 2 枝郁金香的价格为 A 元，3 枝丁香的价格为 B 元，则 A，B 的大小关系为（）AABBABCABD不确定【分析】设每枝郁金香和每枝丁香的价格分别为 x 元和 y 元，列出不等式组，把不等式组的右侧常数化为同一个数，得出不等式即可得出结论【解答】解：设每枝郁金香和每枝丁香的价格分别为x 元和 y 元，由题意可知：，即，22x+11y16x+20y，即 2x3y故 AB故选：A【点评】本题考查了不等式的性质，属于基础题6（5分） 若函数y （ f x

16、） 为偶函数， 且在 （0， +） 上是减函数， 又（ f 3） 0， 则的解集为（）A （3，3）C （，3）（0，3）B （3，0）（3，+）D （，3）（3，+）【分析】利用函数的奇偶性将不等式进行化简，然后利用函数的单调性确定不等式的解集【解答】解：因为 yf（x）为偶函数，所以，第7 7页（共1919页）所以不等式等价为因为函数 yf（x）为偶函数，且在（0，+）上是减函数，又f（3）0，所以解得 x3 或3x0，即不等式的解集为（3，0）（3，+） 故选：B【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用数形结合的思想是解决本题的关键7 （5 分）若正实数 a，b，满足 a+b1，则A2

17、B2+的最小值为（）C5+D4【分析】根据题意，分析可得质分析可得答案+3，结合基本不等式的性【解答】解：根据题意，若正实数a，b，满足 a+b1，则+32+35，当且仅当 b3a时等号成立，即+的最小值为 5；故选：C【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，注意基本不等式的形式，属于基础题8 （5 分）定义域是 R R 的函数 f（x）满足 f（x）f（x） ，当 x （0，2时，f（x）第8 8页（共1919页）若 x2，0）时，f（x）围是（）A （，2C （，22+，+）B （，2D （，有解，则实数 t 的取值范（0，2+（0，（0，2+【分析】由题意可知函数 f（x）是R 上的奇

18、函数，画出函数f（x）在2，2上的大致图象，得到当 x2，0）时，0f（x）1，由题意可知范围【解答】解：定义域是R R 的函数 f（x）满足 f（x）f（x） ，函数 f（x）是 R 上的奇函数，又当 x（0，2时，f（x），从而求出 t 的取值利用函数的奇偶性画出函数 f（x）在2，2上的大致图象，如图所示：，当 x2，0）时，0f（x）1，若 x2，0）时，f（x）即解得：x故选：B第9 9页（共1919页）有解，或 0，【点评】本题主要考查了分段函数的应用，考查了解不等式，是中档题二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共4 4 小题，每小题小题，每小题5 5 分，共分，共2020

19、分分. .在每小题给出的四个选项中，有多在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得项符合题目要求全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分. .9 （5 分）满足 Ma1，a2，a3，a4，且 Ma1，a2，a3a1，a2的集合 M 可能是（）Aa1，a2Ca1，a2，a4Ba1，a2，a3Da1，a2，a3，a4【分析】根据条件即可得出集合M 一定含元素 a1，a2，可能含a4，然后即可得出集合M可能的情况【解答】解：Ma1，a2，a3，a4，且 Ma1，a2，a3a1，a2，集合 M 一定含元素 a1，a2，可能

20、含 a4，Ma1，a2或a1，a2，a4故选：AC【点评】本题考查了列举法的定义，子集的定义，交集的定义及运算，属于基础题10 （5 分）设函数 f（x）定义域（1.1） ，且满足：xe（1，0）时，f（x）0；f（x）+f（y）f（） ，x，y（1，1） 则下列说法正确的是（）Af（x）是奇函数Bf（x）是偶函数Cf（x）在定义域上是减函数Df（x）在定义域上是增函数【分析】由条件，令 xy0，可得 f（0）0，再令 yx，即可得到 f（x）+f（x）0，从而可得函数的奇偶性，判断选项A，B；利用函数单调性的定义，结合条件 可得函数 f（x）的单调性，从而判断选项C，D【解答】解：f（x）+

21、f（y）f（令 xy0，则 f（0）+f（0）f（0） ，所以 f（0）0，令 yx，则 f（x）+f（x）f（0）0，又因为 x（1，1） ，第1010页（共1919页） ，所以 f（x）为奇函数，故 A 对，B 错；任取1x1x20，所以 f（x1）f（x2）f（x1）+f（x2）f（） ，因为1x1x20，所以 x1x20，0 x1x21，所以 1x1x20，所以0，因为+10，所以1，所以10，由条件得 f（）0，所以 f（x1）f（x2）0，所以 f（x）在（1，0）上单调递减，所以 f（x）在（1，1）上单调递减，故 C 对，D 错故选：AC【点评】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单

22、调性的判断，属于中档题11 （5 分）若 a，b，c 为实数，下列说法正确的是（）A若 ab，则 ac2bc2B若 ab0，则 a2abb2C “关于 x 的不等式 ax2+bx+c0 恒成立”的充要条件是“a0，b24ac0”D “a1”是“关于 x 的方程 x2+x+a0 有两个异号的实根”的必要不充分条件【分析】根据不等式的基本性质，可以判断选项 A、B 是否正确；通过举反例可以判断选项 C 错误；求出命题成立的充要条件，判断选项D 正确【解答】解：对于 A：若 ab，则 ac2bc2，在 c0 时不成立，所以 A 错误；对于 B：根据不等式的性质，若ab0，则ab0，所以a2ab，ab

23、b2，所以 a2ab，abb2，即 a2abb2，选项 B 正确；对于 C：ab0，c0 时，不等式 ax2+bx+c0 也恒成立，所以选项C 错误；对于 D：方程 x2+x+a0 有两个异号的实根的充要条件是a0，所以 a1 是“关于 x 的方程 x2+x+a0 有两个异号的实根” 的必要不充分条件， D 正确第1111页（共1919页）故选：BD【点评】本题考查了命题真假的判断问题，也考查了简易逻辑推理的应用问题，是基础题12 （5 分）对于定义在 R R 上的函数 f（x） ，下列说法正确的是（）A若 f（x）是奇函数，则 f（x1）的图象关于点（1，0）对称B若对 xR R，有 f（x

24、+1）f（x1） ，则 f（x）的图象关于直线 x1 对称C若函数 f（x+1）的图象关于直线 x1 对称，则 f（x）为偶函数D若 f（1+x）+f（1x）2，则 f（x）的图象关于点（1，1）对称【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于 A，将 f（x）的图象向右平移1 个单位得到函数 f（x1）的图象，f（x）为奇函数，则其图象关于点（0，0）对称，则函数 f（x1）的图象关于点（1，0）对称，A 正确；对于 B，若对 xR R，有 f（x+1）f（x1） ，即 f（x2）f（x） ，函数 f（x）是周期为2 的周期函数，其图象不一定

25、关于直线x1 对称，B 错误，对于 C，将 f（x+1）的图象向右平移 1 个单位得到函数 f（x）的图象，若函数 f（x+1）的图象关于直线 x1 对称，则 f（x）的图象关于直线 x0 对称，即 f（x）为偶函数，C 正确，对于 D，若 f（1+x）+f（1x）2，即 f（1+x）1f（1x）1，则 f（x）的图象关于点（1，1）对称，D 正确，故选：ACD【点评】本题考查函数的奇偶性的性质，涉及函数的周期性分析，属于基础题三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. .13 （5 分）【分析】利用指数幂的运算法则即可得出【

26、解答】解：原式故答案为：1+【点评】本题考查了指数幂的运算法则，属于基础题第1212页（共1919页）14 （5 分）幂函数 y（m2m5）x为m3的图象分布在第一、二象限，则实数m 的值【分析】由题意利用幂函数的定义和性质可得 m2m51，且 m24m+1 为偶数，由此求得 m 的值【解答】解：幂函数 y（m2m5）x的图象分布在第一、二象限，m2m51，且 m24m+1 为偶数，求得 m3，故答案为：3【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题15 （5 分）某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价该地区的电网销售电价表如图：高峰时间段用电价格表高峰月用电量（单位：千

27、瓦时）50 及以下的部分超过 50 至 200 的部分超过 200 的部分0.668超过 200 的部分0.388高峰电价（单位：元/千瓦时）0.5680.598低谷时间段用电价格表低谷月用电量（单位：千瓦时）50 及以下的部分超过 50 至 200 的部分低谷电价（单位：元/千瓦时）0.2880.318若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时，低谷时间段用电量为 100 千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为148.4元（用数字作答）【分析】先计算出高峰时间段用电的电费，和低谷时间段用电的电费，然后把这两个电费相加【解答】 解： 高峰时间段用电的电费为 500.568+

28、1500.59828.4+89.7118.1 （元） ，低谷时间段用电的电费为 500.288+500.31814.4+15.930.3 （元） ，本月的总电费为 118.1+30.3148.4 （元） ，故答案为：148.4【点评】本题考查分段函数的函数值的求法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题16 （5 分）函数 f（x）x的函数值表示不超过 x 的最大整数，例如：3.54，2.12若 Ay|yx+2x+3x，0 x1，则 A 中所有元素的和为12第1313页（共1919页）【分析】推导出 Ay|yx+2x+3x，0 x10，1，2，3，6，由此能求出A 中所有元素的和【解答】解：函数

29、 f（x）x的函数值表示不超过x 的最大整数，Ay|yx+2x+3x，0 x10，1，2，3，6，则 A 中所有元素的和为 0+1+2+3+612故答案为：12【点评】本题考查集合中所有元素的和的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .17 （10 分）已知关于 x 的不等式 ax2+5x20 的解集是 M（1）若 a3，求解集 M；（2）若 Mx|x2，解关于 x 的不等式 ax25x+a210【分析】 （1）不等式为

30、 3x2+5x20 化为（3x1） （x+2）0，解得即可（2），2 是方程 ax2+5x20 的两根，利用韦达定理求出 a 的值，再代入不等式 ax25x+a210 易解出其解集【解答】解： （1）当 a3 时，所以不等式为3x2+5x20，即（3x1） （x+2）0，解得 x2 或 x，所以集合 Mx|x2 或 x，（2）Mx|x2，2 是方程 ax2+5x20 的两根，2，a2，不等式 ax25x+a210 即为2x25x+30，即（2x1） （x+3）0，解得3x，故解集为x|3x【点评】本题考查的知识点是一元二次不等式的解法，及三个二次之间的关系，其中根据三个二次之间的关系求出a 的

31、值，是解答本题的关键第1414页（共1919页）18 （12 分）已知函数（1）若函数 g（x）f（x）a 为奇函数，求 a 的值；（2）试判断函数 f（x）在（0，+）上的单调性，并用定义证明【分析】 （1）根据函数的奇偶性求出a 的值即可；（2）根据函数的单调性的定义证明即可【解答】解： （1）由已知 g（x）f（x）a，得 g（x）1a，g（x）是奇函数，g（x）g（x） ，即 1a（1a） ，解得 a1（5 分）（2）函数 f（x）在（0，+）上是增函数 （6 分）证明如下：设任意 x1，x2满足 0 x1x2，f（x1）f（x2）（1）（1），0 x1x2，x1x20，x1x20从而

32、0，即 f（x1）f（x2） ，函数 f（x）在（0，+）上是增函数（12 分）【点评】本题考查了函数的奇偶性问题， 考查根据单调性的定义证明函数的单调性问题，是一道中档题19 （12 分）已知函数 f（x）（1）解不等式 f（x）1；（2）若 f（x）+t0 对任意实数 x 都成立，求实数 t 的取值范围【分析】 （1）分段求出不等式 f（x）1 的解集再取并集即可（2）分段求出 f（x）的范围，再取并集得到f（x）的范围，进而求出f（x）的范围，f第1515页（共1919页）（x）+t0 对任意实数 x 都成立，等价于 tf（x）对任意实数 x 都成立，只需 t 小于f（x）的最小值即可【

33、解答】解： （1）由题意 f（x），当 x1 时，f（x）x51，解得：x6，又x1，无解，当1x2 时，f（x）3x31，解得：x，又1x2，当 x2 时，f（x）x+51，解得：x4，又x2，2x4，综上所述，不等式 f（x）1 的解集为： （，4） （2）当 x1 时，f（x）x56，当1x2 时，6f（x）3x33，当 x2 时，f（x）x+53，所以 f（x）3，所以f（x）3，f（x）+t0 对任意实数 x 都成立，tf（x）对任意实数 x 都成立，t3，即实数 t 的取值范围为： （，3） 【点评】本题主要考查了分段函数的应用，考查了解不等式，是中档题20 （12 分）已知函数

34、f（x）ax22ax+1+b（a0） 第1616页（共1919页）（1）若 ab1，求 f（x）在t，t+1上的最大值；（2）若 f（x）在区间2，4上的最大值为 9，且最小值为 1，求实数 a，b 的值【分析】 （1）对称轴定，区间动，分类讨论，利用对称轴与区间的位置关系，解出函数在区间的最值；（2）由函数解析式可知函数在区间2，4上单调递增，可解出 a，b 的值【解答】解： （1）f（x）x22x+2，xt，t+1，因为对称轴 x1，而t+1，即 tt+，即 t，所以，时，最大值 f（t）t22t+2；时，最大值 f（t+1）t2+1；时，最大值为 t22t+2；t时，最大值 t2+1；综

35、合可知，t（2）因为函数 f（x）图象的开口方向向上，且对称轴方程为x1，所以，函数 f（x）在区间2，4上单调递增，解得，【点评】本题考查了含参的二次函数求最值问题，已知最值求参数问题，属于中档题21 （12 分）2020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，在党和国家强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情，之后一方面防止境外输入，另一方面复工复产，某厂经调查测算，某种商品原来每件售价为 25 元，年销售量 8 万件（1）据市场调查，若价格每提高 1 元，销售量将相应减少 2000 件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定明年对该商

36、品进行全面技术革新和营销策略改革，并将定价提高到 x 元公司拟投入 （x2600）万元作为技改费用，投入 50 万元作为固定宣传费用，投入x 万元作为浮动宣传费用试问：当该商品明年的销售量 a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价【分析】 （1）设每件定价为 t 元，由题意列关于 t 的不等式求解；第1717页（共1919页）（2）当x25 时，不等式ax25本不等式求最值，则答案可求【解答】解： （1）设每件定价为 t 元，依题意得，成立，分离参数a，再由基258，整理得 t265t+10000，解得 25t40要使销售的总收入不低于

37、原收入，该商品每件定价最多为40 元；（2）依题意，当 x25 时，不等式 ax25等价于 x25 时，a由于a10.2故当该商品明年的销售量a 至少应达到 10.2 万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时商品的每件定价为30 元【点评】本题考查函数模型的选择及应用，训练了不等式的解法及利用基本不等式求最值，是基础题22 （12 分）已知函数 f（x）x24x+a+3，g（x）mx+52m（1）当 a3，m0 时，求方程 f（x）g（x）0 的解；（2）若方程 f（x）0 在1，1上有实数根，求实数 a 的取值范围；（3）当 a0 时，若对任意的 x11，4，总存在 x2

38、1，4，使 f（x1）g（x2）成立，求实数 m 的取值范围【分析】 （1）直接把 a3，m0 代入方程，求解一元二次方程得答案；（2）求出函数 f（x）的对称轴，得到 f（x）在区间1，1上是减函数，由函数在区间1，1上存在零点得不等式组，求解不等式组得实数a 的取值范围；有解，当且仅当，即 x30 时等号成立成立，（3）把对任意的 x11，4，总存在 x21，4，使 f（x1）g（x2）成立转化为函数 yf（x）的值域为函数 yg（x）的值域的子集，然后求g（x）的值域得答案【解答】解： （1）当 a3，m0 时，求方程 f（x）g（x）0 化为 x24x50，解得：x1 或 x5；（2）

39、函数 f（x）x24x+a+3 的对称轴是 x2，f（x）在区间1，1上是减函数，函数在区间1，1上存在零点，则必有：第1818页（共1919页），即，解得8a0故所求实数 a 的取值范围为8，0；（3）若对任意的 x11，4，总存在 x21，4，使 f（x1）g（x2）成立，只需函数 yf（x）的值域为函数 yg（x）的值域的子集f（x）x24x+3，x1，4的值域为1，3，下面求 g（x）mx+52m 的值域当 m0 时，g（x）52m 为常数，不符合题意舍去；当 m0 时，g（x）的值域为5m，5+2m，要使1，35m，5+2m，需，解得 m6；当 m0 时，g（x）的值域为5+2m，5m，要使1，35+2m，5m，需，解得 m3综上，m 的取值范围为（，36，+） 【点评】本题考查了函数的零点，考查了函数恒成立问题，训练了数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，是中档题第1919页（共1919页）