2022年二次函数知识点总结与典型例题 .pdf

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1、学习必备欢迎下载二次函数知识点总结及典型例题一、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地，如果)0,(2acbacbxaxy是常数，那么 y 叫做 x 的 二次函数 。)0,(2acbacbxaxy是常数，叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx2对称的曲线，这条曲线叫抛物线 。抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。3、二次函数图像的画法-五点法：二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：（1） 一般式：)0,(2acbacbxaxy是常数，（2） 顶点式：)0,()(2akhakhxay是常数，（3）当抛物线cbxaxy2与 x 轴有交点时，

2、 即对应二次好方程02cbxax有实根1x和2x存在时，根据二次三项式的分解因式)(212xxxxacbxax，二次函数cbxaxy2可转化为 两根式)(21xxxxay。如果没有交点，则不能这样表示。三、抛物线cbxaxy2中，cba,的作用（1）a决定开口方向及开口大小，这与2axy中的a完全一样 . （2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2，故：0b时，对称轴为y轴所在直线； 0ab（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；0ab（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧 . （3）c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置. 精选学习资料 -

3、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学习必备欢迎下载当0 x时，cy，抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点（0，c） ：0c，抛物线经过原点; 0c, 与y轴交于正半轴；0c, 与y轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立. 如抛物线的对称轴在y轴右侧，则0ab. 四、二次函数的性质1、二次函数的性质函数二次函数)0,(2acbacbxaxy是常数，图像a0 a0 y 0 x y 0 x 性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442） ；（3）在对称轴的左

4、侧，即当xab2时， y 随 x 的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当x=ab2时，y 有最小值，abacy442最小值（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是 x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442） ；（3）在对称轴的左侧，即当xab2时， y 随 x 的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当x=ab2时，y 有最大值，abacy442最大值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习必备欢迎下载五、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与

5、x 轴的交点坐标。因此一元二次方程中的ac4b2，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。当0 时，图像与x 轴有两个交点；当=0 时，图像与x 轴有一个交点；当0 时，图像与x 轴没有交点。补充：函数平移规律：左加右减、上加下减六、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx2时，abacy442最值。如果自变量的取值范围是21xxx，那么，首先要看ab2是否在自变量取值范围21xxx内，若在此范围内，则当x=ab2时，abacy442最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21xxx范围内的增减性，如果在此范围内， y 随 x 的增大而增大

6、， 则当2xx时，cbxaxy222最大， 当1xx时，cbxaxy121最小；如果在此范围内， y 随 x 的增大而减小， 则当1xx时，cbxaxy121最大， 当2xx时，cbxaxy222最小。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学习必备欢迎下载典型例题1. 已知函数22113513xxyxx， 则使 y=k 成立的 x 值恰好有三个， 则 k 的值为（）A0 B1 C2 D3 2. 如图为抛物线2yaxbxc的图像，A、 B、 C 为抛物线与坐标轴的交点，且 OA=OC=1，则下列关系中正确的是（）Aab=

7、1 B ab=1 C b2aDac0 3. 二次函数2yaxbxc的图象如图所示，则反比例函数ayx与一次函数ybxc在同一坐标系中的大致图象是（）. 4. 如图，已知二次函数cbxxy2的图象经过点（1，0） ， （1， 2） ，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是5. 在平面直角坐标系中，将抛物线223yxx绕着它与y 轴的交点旋转180 ，所得抛物线的解析式是（） A2(1)2yxB2(1)4yxC2(1)2yxD2(1)4yx6. 已 知 二 次 函 数cbxaxy2的 图 像 如 图 ， 其 对 称 轴1x， 给 出 下 列 结 果acb420abc02ba0cba0cba，则正确

8、的结论是xyO11（1,- 2）cbxxy2- 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习必备欢迎下载（）A B C D 7抛物线2yaxbxc上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x 2 1 0 1 2 y 0 4 6 6 4 从上表可知，下列说法中正确的是 （填写序号）抛物线与x轴的一个交点为（3,0） ； 函数2yaxbxc的最大值为6；抛物线的对称轴是12x；在对称轴左侧，y随x增大而增大8. 如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 的坐标是（ 2，4） ，过点 A 作 ABy轴，垂足为B，连

9、结 OA(1)求 OAB 的面积；(2)若抛物线22yxxc经过点 A求 c 的值；将抛物线向下平移m 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在OAB 的内部（不包括OAB 的边界），求 m 的取值范围（直接写出答案即可）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习必备欢迎下载9已知二次函数y=14x 2+ 32x 的图像如图（1）求它的对称轴与x 轴交点 D 的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x 轴、 y 轴的交点分别为 A、B、C 三点，若 ACB=90 ，求此时抛物线的解析式；（3）设（

10、2）中平移后的抛物线的顶点为M，以 AB 为直径， D 为圆心作 D，试判断直线 CM 与 D 的位置关系，并说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学习必备欢迎下载10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中， AB 在 x 轴上， AB 10，以 AB 为直径的 O 与 y 轴正半轴交于点C，连接 BC，AC.CD 是 O 的切线， AD CD 于点 D，tan CAD21，抛物线cbxaxy2过 A，B，C 三点 . （1）求证： CAD CAB；（2）求抛物线的解析式；判定抛物线的顶点E 是否在直线CD 上，

11、并说明理由；（3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA 是直角梯形 .若存在，直接写出点P的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习必备欢迎下载11. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是直角梯形， BCAD， BAD= 90 ，BC 与 y 轴相交于点M，且 M 是 BC 的中点， A、B、D 三点的坐标分别是A（ -1，0） ，B( -1，2)，D( 3，0)，连接 DM，并把线段DM 沿 DA 方向平移到ON，若抛物线y=ax2+bx+c 经过点

12、D、M、N（1）求抛物线的解析式（2）抛物线上是否存在点P使得 PA= PC若存在，求出点P 的坐标；若不存在请说明理由。（3）设抛物线与x 轴的另 个交点为E点 Q 是抛物线的对称轴上的个动点，当点Q 在什么位置时有QEQC最大？并求出最大值。A B C D O E N M x y 图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学习必备欢迎下载12如图， 抛物线 y=21x2+bx 2 与 x 轴交于 A、B 两点， 与 y 轴交于 C 点，且 A （一 1，0）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；判断 ABC的形状，证明你

13、的结论；点 M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习必备欢迎下载13.在平面直角坐标系中，如图1，将 n 个边长为 1 的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA 和 OC 分别落在x 轴和 y 轴的正半轴上，设抛物线y=ax2+bx+c(a0)过矩形顶点B、C. （1）当 n1 时，如果a=1，试求 b 的值；（2）当 n2 时，如图2，在矩形OABC 上方作一边长为1 的正方形EFMN ，使 EF 在线段CB 上，如果M，N 两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；（3）将矩形 OABC 绕点 O 顺时针旋转，使得点B 落到 x 轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点 O，试求出当n=3 时 a 的值； 直接写出a 关于 n 的关系式 . NMFEyxCBAO图 1 图 2 图 3 yxCBAOCD = 1.1 厘yxCBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页