2022年二次函数的实际应用之利润最大值、面积最值问题 .pdf

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1、精品资料欢迎下载二次函数的实际应用最大利润问题、面积最大( 小)值问题一：最大利润问题知识要点：二次函数的一般式cbxaxy2(0a)化成顶点式abacabxay44)2(22，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）即当0a时，函数有最小值，并且当abx2，abacy442最小值；当0a时，函数有最大值，并且当abx2，abacy442最大值如果自变量的取值范围是21xxx，如果顶点在自变量的取值范围21xxx内，则当abx2，abacy442最值，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性；如果在此范围内y随x的增大而增大，则当2xx时，c

2、bxaxy222最大，当1xx时，cbxaxy121最小；如果在此范围内y随x的增大而减小，则当1xx时，cbxaxy121最大，当2xx时，cbxaxy222最小商品定价一类利润计算公式：经常出现的数据： 商品进价；商品售价；商品销售量；涨价或降价；销售量变化；其他成本。总利润 =总售价 -总进价 -其他成本 =单位商品利润总销售量其他成本单位商品利润 =商品定价商品进价总售价 =商品定价总销售量；总进价 =商品进价总销售量例 1：某电子厂商投产一种新型电子厂品，每件制造成本为18 元，试销过程中发现，每月销售量y （万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y= 2x+100

3、 （利润 = 售价制造成本）（1 ）写出每月的利润z （万元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（2 ）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得3502 万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（3 ）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32 元，如果厂商要获得每月不低于350 万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？解：（ 1 ）z= （x -18 ）y= （x -18 ）（ -2x+100 ）= -2x2+136x-1800 ，z 与 x 之间的函数解析式为z= -2x2+136x-1800 ；（2 ） 由 z=350 ，

4、 得 350= -2x2+136x -1800 ，解这个方程得x1=25 ， x2=43 所以，销售单价定为25 元或 43 元，将 z =-2x2+136x-1800 配方，得 z=-2 （ x-34 ）2+512 ，因此， 当销售单价为34 元时，每月能获得最大利润，最大利润是512 万元；（3 ）结合（ 2 ）及函数z=-2x2+136x 1800 的图象（如图所示）可知，当 25x 43时 z 350 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页精品资料欢迎下载又由限价32 元，得 25 x 32 ，根据一次函数的性

5、质，得y=-2x+100 中 y 随 x 的增大而减小，当 x=32 时，每月制造成本最低最低成本是18 （-2 32+100 ）=648 （万元），因此，所求每月最低制造成本为648 万元练习 ：1某商品现在的售价为每件60 元，每星期可卖出300 件，市场调查反映：每涨价1 元，每星期少卖出 10 件；每降价1 元，每星期可多卖出20 件，已知商品的进价为每件40 元，如何定价才能使利润最大？解：设涨价（或降价）为每件x元，利润为y元，1y为涨价时的利润，2y为降价时的利润则：)10300)(4060(1xxy)60010(102xx6250)5(102x当5x，即：定价为65 元时，62

6、50maxy（元）)20300)(4060(2xxy)15)(20(20 xx6125)5.2(202x当5. 2x，即：定价为57.5 元时，6125maxy（元）综合两种情况，应定价为65 元时，利润最大例 2： 市“ 健益 ” 超市购进一批20 元/千克的绿色食品，如果以30?元/千克销售，那么每天可售出400 千克由销售经验知，每天销售量y(千克 )?与销售单价x(元) (30 x）存在如下图所示的一次函数关系式试求出y与x的函数关系式；设 “ 健益 ” 超市销售该绿色食品每天获得利润P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不

7、超过4480 元， ?现该超市经理要求每天利润不得低于4180 元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围 (?直接写出答案)解：设y=kx+b 由图象可知，3040020,:402001000kbkkbb解之得，即一次函数表达式为100020 xy)5030(xyxP)20()100020)(20(xx2 0 0 0 01 4 0 0202xx020a P有最大值当35)20(21400 x时，4500maxP（元）（或通过配方，4500)35(202xP，也可求得最大值）答：当销售单价为35 元/千克时，每天可获得最大利润4500 元44804500)35(2041802x16)35(

8、12x31x?34或 36x39 练习2某公司投资 700万元购甲、乙两种产品的生产技术和设备后， 进行这两种产品加工 已知生产甲种产品每件还需成本费30 元，生产乙种产品每件还需成本费20 元经市场调研发现：甲种产品的销售单价为x（元） ，年销售量为 y（万件） ，当 35 x50 时，y 与 x 之间的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页精品资料欢迎下载函数关系式为 y=200.2x；当 50 x 70 时，y 与 x 的函数关系式如图所示，乙种产品的销售单价，在 25 元（含）到 45 元（含）之间，且年销售量稳

9、定在10 万件物价部门规定这两种产品的销售单价之和为90 元（1）当 50 x 70 时，求出甲种产品的年销售量y（万元）与 x（元）之间的函数关系式（2）若公司第一年的年销售量利润（年销售利润=年销售收入生产成本）为W（万元） ，那么怎样定价，可使第一年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少？（3）第二年公司可重新对产品进行定价，在（2）的条件下，并要求甲种产品的销售单价x（元）在 50 x 70 范围内，该公司希望到第二年年底，两年的总盈利（总盈利=两年的年销售利润之和投资成本）不低于85 万元请直接写出第二年乙种产品的销售单价m（元）的范围解：（1）设y与x的函数关系式为 y=kx+b（

10、k0 ），函数图象经过点（ 50，10），（ 70，8），解得，所以， y=0.1x+15；（2）乙种产品的销售单价在25元（含）到 45元（含）之间，解之得 45x65，45x50时，W=（x30）（200.2x）+10（90 x20），=0.2x2+16x+100，=0.2（x280 x+1600）+320+100，=0.2（x40）2+420，0.20，x40时，W随x的增大而减小，当x=45时，W有最大值， W最大=0.2（4540）2+420=415万元；50 x65时，W=（x30）（0.1x+15）+10（90 x20），=0.1x2+8x+250，=0.1（x280 x+160

11、0）+160+250，=0.1（x40）2+410，0.10，x40时，W随x的增大而减小，当x=50时，W有最大值， W最大=0.1（5040）2+410=400万元综上所述，当 x=45，即甲、乙两种产品定价均为45元时，第一年的年销售利润最大，最大年销售利润是 415万元；（3）根据题意得， W=0.1x2+8x+250+415700=0.1x2+8x35，令W=85，则 0.1x2+8x35=85，解得x1=20，x2=60又由题意知， 50 x65，根据函数性质分析， 50 x60，即5090 m 60，30m 40 二、面积最大（最小）值问题实际问题中图形面积的最值问题分析思路为：

12、（1）分析图形的成因（ 2）识别图形的形状（ 3）找出图形面积的计算方法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页精品资料欢迎下载（4）把计算中要用到的所有线段用未知数表示（5）把线段长度代入计算方法形成图形面积的函数解析式，注意自变量的取值范围（6）根据函数的性质以及自变量的取值范围求出面积的最值。例 1：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10 米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32 米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及

13、在左右花圃各放一个1 米宽的门（木质） 花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？解：设花圃的宽为x米，面积为S平方米则长为：xx4342432(米) 则：)434(xxSxx34424289)417(42x104340 x2176x6417，S与x的二次函数的顶点不在自变量x的范围内，而当2176x内，S随x的增大而减小，当6x时，604289)4176(42maxS(平方米 ) 答：可设计成宽6米，长 10 米的矩形花圃，这样的花圃面积最大练习 1 在矩形 ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm，点 P 从点 A 出发， 沿 AB 边向点 B 以 1cms 的速度移动，同时点 Q 从

14、点 B 出发沿 BC 边向点 C 以 2cms 的速度移动，如果P、 Q 两点同时出发，分别到达B、C两点后就停止移动（1）运动第t 秒时， PBQ 的面积 y(cm2)是多少？（2）此时五边形APQCD 的面积是S(cm2 )，写出 S 与 t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围（3）t 为何值时s 最小，最小值时多少？6336333607266126262621)1(2222有最小值等于时；当）（）（）（）（）（）（SttStttttStttty例 2.如图，把一张长10cm，宽 8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）x精

15、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页精品资料欢迎下载（1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2 个同样大小的正方形和2 个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由解： （1）设正方形的边长为cm，则即解得（不合题意

16、，舍去） ，剪去的正方形的边长为1cm（2）有侧面积最大的情况设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2，则与的函数关系式为：即改写为当时，即当剪去的正方形的边长为2.25cm 时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm2（3）有侧面积最大的情况设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2若按图 1 所示的方法剪折，则与的函数关系式为：xxxxy22102)28(2即当时，若按图 2 所示的方法剪折，则与的函数关系式为：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页精品资料欢迎下载xxxxy2282)210(2即当时，比较以上两种剪

17、折方法可以看出，按图2 所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为cm 时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm2例 3、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c 经过 A（3，0） ，B（1，0） ，C（0，3）三点，其顶点为 D，对称轴是直线 l，l 与 x 轴交于点 H（1）求该抛物线的解析式；（2）若点 P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求 PBC 周长的最小值；（3）如图（ 2） ，若 E 是线段 AD 上的一个动点（E 与 A、D 不重合） ，过 E 点作平行于 y 轴的直线交抛物线于点F，交 x 轴于点 G，设点 E 的横坐标为 m，ADF 的面积为

18、 S求 S 与 m 的函数关系式；S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由解： （1） 由题意可知：解得：抛物线的解析式为： y=x22x+3；（2） PBC 的周长为：PB+PC+BCBC 是定值，当 PB+PC最小时， PBC 的周长最小，点 A、点 B 关于对称轴 I 对称，连接 AC 交 l 于点 P，即点 P 为所求的点AP=BPPBC的周长最小是： PB+PC+BC=AC+BC A（3，0） ，B（1，0） ，C（0，3） ，AC=3，BC=；故 PBC 周长的最小值为 3+（3）抛物线 y=x22x+3 顶点 D 的坐标为（ 1，4）A（3，

19、0）直线 AD 的解析式为 y=2x+6 点 E 的横坐标为 m，E（m，2m+6） ，F（m，m22m+3）EF=m22m+3（2m+6）=m24m3 S=SDEF+SAEF= EF?GH+ EF?AG=EF?AH = （m24m3） 2=m24m3；S=m24m3=（m+2）2+1；当 m=2 时，S最大，最大值为1 此时点 E 的坐标为（ 2，2） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页精品资料欢迎下载练习 2 如图，已知抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴交于 A、B 两点，过点 A 的直线 l 与抛物线交于

20、点 C，其中 A 点的坐标是（ 1，0） ，C 点坐标是（ 4，3） （1）求抛物线的解析式；（2）在（ 1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使 BCD 的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点 E 是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC 的下方，试求 ACE 的最大面积及 E 点的坐标解： （1）抛物线 y=ax2+bx+3 经过点 A（1，0） ，点 C（4，3） ，解得，所以，抛物线的解析式为y=x24x+3；（2）点 A、B 关于对称轴对称，点 D 为 AC 与对称轴的交点时 BCD 的周长最小，设直线 AC 的解析式为 y=kx+b（k 0） ，则，

21、解得，所以，直线 AC 的解析式为 y=x1，y=x24x+3=（x2）21，抛物线的对称轴为直线x=2，当 x=2 时，y=21=1，抛物线对称轴上存在点D（2，1） ，使 BCD 的周长最小；（3）过点 E 作 EF垂直于 x 轴交 AC 于 F 设 E（m，m2-4m+3）则 F（m，m-1）EF=m-1-（m2-4m+3）=-m2+5m-4 SACE= （-m2+5m-4） 3=-23（m-25）2+827当 m=25时， ACE 的最大面积为827，此时， m2-4m+3=-43，E（25，-43）.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页