2021届课标版高考理科数学大一轮复习精练：2.8　函数模型及函数的综合应用（试题部分） .docx

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1、2.8函数模型及函数的综合应用探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点函数模型及函数的综合应用了解指数函数、对数函数、幂函数增长特征,体会直线增长、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义;了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用2019课标,4,5分函数的实际应用问题根式运算2016四川,5,5分函数的实际应用问题对数运算2019课标,12,5分函数的综合应用二次函数2017浙江,17,5分函数的综合应用函数的单调性及最值分析解读为了考查学生的综合能力与素养,高考加强了函数综合应用问题的考查力度,这一

2、问题一般涉及的知识点较多,综合性也较强,属于中档以上的试题,题型以填空题和解答题为主,在高考中分值为5分左右,通常在以下方面考查:1.对函数实际应用问题的考查,常以社会实际生活为背景,以解决最优问题的形式出现,如现实中的生产经营、企业盈利与亏损等热点问题中的增长、减少问题,主要考查二次函数、指数函数、对数函数模型的应用.2.以课本知识为载体,把函数与方程、不等式、数列、解析几何等知识联系起来,构造不等式(组)求参数范围,利用分离参数法求函数值域,进而求字母的取值(范围)等.破考点 练考向【考点集训】考点函数模型及函数的综合应用1.(2019广东深圳第一次(2月)调研,9)已知偶函数f(x)的图

3、象经过点(-1,2),且当0ab时,不等式f(b)-f(a)b-a0恒成立,则使得f(x-1)2成立的x的取值范围是()A.(0,2)B.(-2,0)C.(-,0)(2,+)D.(-,-2)(0,+)答案C2.(2019河北五个一名校联盟第一次诊断,9)函数f(x)的定义域为R,且f(x)=f(x-3),当-2x0时, f(x)=(x+1)2;当0x1)的图象过定点(-1,2);若x1是函数f(x)的零点,且mx1n,则f(m)f(n)q.(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围;(2)(i)求F(x)的最小值m(a);(ii)求F(x)在区间0,6上的最大值M(a)

4、.解析(1)由于a3,故当x1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)0,当x1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).所以,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为2,2a.(2)(i)设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,则f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2,所以,由F(x)的定义知m(a)=minf(1),g(a),即m(a)=0,3a2+2,-a2+4a-2,a2+2.(ii)当0x2时,F(x)f(x)maxf(0), f(2)=2=F(

5、2),当2x6时,F(x)g(x)maxg(2),g(6)=max2,34-8a=maxF(2),F(6).所以,M(a)=34-8a,3a0,b0,a1,b1).(1)设a=2,b=12.求方程f(x)=2的根;若对于任意xR,不等式f(2x)mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值;(2)若0a1,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.解析(1)因为a=2,b=12,所以f(x)=2x+2-x.方程f(x)=2,即2x+2-x=2,亦即(2x)2-22x+1=0,所以(2x-1)2=0,于是2x=1,解得x=0.由条件知f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=

6、(f(x)2-2.因为f(2x)mf(x)-6对于xR恒成立,且f(x)0,所以m(f(x)2+4f(x)对于xR恒成立.而(f(x)2+4f(x)=f(x)+4f(x)2f(x)4f(x)=4,且(f(0)2+4f(0)=4,所以m4,故实数m的最大值为4.(2)因为函数g(x)=f(x)-2只有1个零点,而g(0)=f(0)-2=a0+b0-2=0,所以0是函数g(x)的唯一零点.因为g(x)=axln a+bxln b,又由0a1知ln a0,所以g(x)=0有唯一解x0=logba-lnalnb.令h(x)=g(x),则h(x)=(axln a+bxln b)=ax(ln a)2+bx

7、(ln b)2,从而对任意xR,h(x)0,所以g(x)=h(x)是(-,+)上的单调增函数.于是当x(-,x0)时,g(x)g(x0)=0.因而函数g(x)在(-,x0)上是单调减函数,在(x0,+)上是单调增函数.下证x0=0.若x00,则x0x020,于是gx02aloga2-2=0,且函数g(x)在以x02和loga2为端点的闭区间上的图象不间断,所以在x02和loga2之间存在g(x)的零点,记为x1.因为0a1,所以loga20.又x020,所以x10,同理可得,在x02和logb2之间存在g(x)的非0的零点,矛盾.因此,x0=0.于是-lnalnb=1,故ln a+ln b=0

8、,所以ab=1.6.(2015江苏,17,14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=ax2+b(其中a,b为常数)模型.(1)求a,b的值;(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式f(t),并

9、写出其定义域;当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.解析(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5).将其分别代入y=ax2+b,得a25+b=40,a400+b=2.5,解得a=1 000,b=0.(2)由(1)知,y=1 000x2(5x20),则点P的坐标为t,1 000t2,设在点P处的切线l交x轴,y轴分别于A,B点,易知y=-2 000x3,则l的方程为y-1 000t2=-2 000t3(x-t),由此得A3t2,0,B0,3 000t2.故f(t)=3t22+3 000t22=32t2+4106t4,t5,20.设g(t)=t2+4106t4,则g

10、(t)=2t-16106t5.令g(t)=0,解得t=102.当t(5,102)时,g(t)0,g(t)是增函数;从而,当t=102时,函数g(t)有极小值,也是最小值,所以g(t)min=300,则f(t)min=153.答:当t=102时,公路l的长度最短,最短长度为153千米.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共50分)1.(2020届黑龙江哈尔滨师范大学附中9月月考,9)已知函数f(x)=e-x,x0,-x2-2x+1,x0,若f(a-1)f(-a2+1),则实数a的取值范围是()A.-2,1B.-1,2C.(-,-21,+)D.(-,-12,+)答案A2.(2020届黑龙江实验中学

11、第一次月考,9)若定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)且x-1,1时, f(x)=|x|,则方程f(x)=log3|x|的根的个数是()A.4B.5C.6D.7答案A3.(2020届甘肃会宁第一中学第一次月考,12)设minm,n表示m,n二者中较小的一个,已知函数f(x)=x2+8x+14,g(x)=min12x-2,log2(4x)(x0),若x1-5,a(a-4),x2(0,+),使得f(x1)=g(x2)成立,则a的最大值为()A.-4B.-3C.-2D.0答案C4.(2019山西吕梁4月模拟,10)设函数f(x)=(a-3)x+3a,x2,则a的取值范围是()A.1,5

12、4B.54,3C.(2,3)D.54,2答案D5.(2019河南八所重点高中第二次联合测评,10)已知函数f(x)=ex-1-e-x+1,则下列说法正确的是()A.函数f(x)的最小正周期是1B.函数f(x)是单调递减函数C.函数f(x)的图象关于直线x=1对称D.函数f(x)的图象关于点(1,0)对称答案D6.(2019安徽安庆二模,12)若函数f(x)=logax(a0且a1)的定义域与值域都是m,n(mn),则a的取值范围是()A.(1,+)B.(e,+)C.(1,e)D.(1,e1e)答案D7.(2019福建八校一模,12)已知函数f(x)=|lnx|,0xe,ex,xe,若函数g(x

13、)=f(x)-m有三个不同的零点x1,x2,x3,且x1x20,若f(m-2)-f(m)-3m2+6m-4,则实数m的取值范围为()A.-1,1B.(-,1C.1,+)D.(-,-11,+)答案B二、填空题(每小题5分,共15分)11.(2020届重庆巴蜀中学高三第一次月考,16)已知aR,函数f(x)=ax3-x,若存在tR,使得|f(t+2)-f(t)|2,则实数a的最大值为.答案212.(2019湖南湘潭第二次模拟,16)已知定义在R上的偶函数y=f(x+2),其图象连续不间断,当x2时,函数y=f(x)是单调函数,则满足f(x)=f1-1x+4的所有x之积为.答案3913.(2019福

14、建漳州模拟,16)中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美,如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案,充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.给出定义:能够将圆的周长和面积同时平分的图象对应的函数称为这个圆的“优美函数”,给出下列命题:对于任意一个圆O,其“优美函数”有无数个;函数f(x)=ln(x2+x2+1)可以是某个圆的“优美函数”;函数y=1+sin x可以同时是无数个圆的“优美函数”;函数y=2x+1可以同时是无数个圆的“优美函数”;函数y=f(x)是“优美函数”的充要条件为函数y=f(x)的图象是中心对称图形.其中正确的命题是.答案三、解答题(共25分)14.(202

15、0届福建南平邵武第一中学开学考试,19)已知某企业生产某种产品的年固定成本为200万元,且每生产1吨该产品需另投入12万元,现假设该企业一年内共生产该产品x吨并全部销售完.每吨的销售收入为R(x)万元,且R(x)=112-13x2,015.(1)求该企业年总利润y(万元)关于年产量x(吨)的函数关系式;(2)当年产量为多少吨时,该企业在这一产品的生产中所获年总利润最大?解析(1)由题意得y=xR(x)-(200+12x)=100x-13x3-200,015.(2)当00,x(10,15时,y15时,y=1 030-10 800x+1+12x,10 800x+1+12x=10 800x+1+12

16、(x+1)-12210 800x+112(x+1)-12=708,y=1 030-10 800x+1+12x1 030-708=322,当且仅当10 800x+1=12(x+1),即x=29时,y取最大值322.3221 4003,当且仅当x=10时,y有最大值1 4003.故当年产量为10吨时,该化工厂在这一产品的生产中所获年利润最大,最大利润为1 4003万元.解题点睛本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及导数的应用,属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向,这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识,解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题,只有吃透题意,才能将

17、实际问题转化为数学模型进行解答.15.(命题标准样题,19)给出一个满足以下条件的函数f(x),并证明你的结论.f(x)的定义域是R,且其图象是一条连续不断的曲线;f(x)是偶函数;f(x)在(0,+)上不是单调函数;f(x)恰有2个零点.解析试题考查函数图象、函数的单调性、偶函数的概念与性质、函数零点的概念等数学知识,考查了函数的研究方法,数形结合的思想.试题采用开放式设计,答案不唯一.试题体现了理性思维和数学探究的学科素养,考查了逻辑推理能力、运算求解能力、创新能力,落实了基础性、综合性、创新性的考查要求.可取f(x)=|x2-1|.f(x)的定义域是R,且其图象是一条连续不断的曲线.因为f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数.当0x1时, f(x)=x2-1, f(x)是增函数,所以f(x)在(0,+)上不是单调函数.f(x)=0恰有两个根x1=-1,x2=1,因此f(x)恰有2个零点.