2021届课标版高考理科数学大一轮复习精练：9.2　直线、圆的位置关系（试题部分） .docx

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1、9.2直线、圆的位置关系探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.直线与圆的位置关系(1)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系,能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系;(2)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题;(3)初步了解用代数方法处理几何问题的思想2018课标,6,5分直线与圆相离求范围三角形面积公式2017课标,9,5分直线与圆相交求离心率双曲线的几何性质2016课标,16,5分直线与圆相交求值解直角三角形2.圆与圆的位置关系2015课标,7,5分直线与圆相交求弦长圆的方程分析解读从近5年的高考情况来看,本节主要考查直线与圆的位置关系、弦

2、长问题、切线问题等,一般为选择题、填空题,难度中等,本节知识有时还与椭圆、双曲线、抛物线交汇命题,在解题时要充分利用圆的几何性质简化运算过程,认真体会数形结合思想的应用.通过本节的知识主要考查学生数学运算、直观想象素养.破考点 练考向【考点集训】考点一直线与圆的位置关系1.(2019甘肃西北师大附中,5)已知集合M=(x,y)|x,y为实数,且x2+y2=2,N=(x,y)|x,y为实数,且x+y=2,则MN的元素个数为()A.0B.1C.2D.3答案B2.(2019江西上饶一模,6)直线ax-by=0与圆x2+y2-ax+by=0的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不能确定答案B3.

3、(2020届四川成都七中高三零诊,15)若点P(1,1)为圆x2+y2-6x=0的弦MN的中点,则弦MN所在直线方程为.答案y=2x-1考点二圆与圆的位置关系1.(2019海南海口实验中学二模,8)已知圆O1的方程为x2+y2=1,圆O2的方程为(x+a)2+y2=4,如果这两个圆有且只有一个公共点,那么a的所有取值构成的集合是()A.1,-1,3,-3B.5,-5,3,-3C.1,-1D.3,-3答案A2.(2020届江西南昌十中高二月考,4)圆x2+4x+y2=0与圆(x-2)2+(y-3)2=r2有三条公切线,则半径r=()A.5B.4C.3D.2答案C炼技法 提能力【方法集训】方法1与

4、圆有关的切线问题的处理方法1.(2015山东,9,5分)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.-53或-35B.-32或-23C.-54或-45D.-43或-34答案D2.(2019广西玉林高中4月月考,15)若过点(2,1)总可以作两条直线与圆x2+y2+kx+2y+k2-15=0相切,则实数k的取值范围是.答案-833,-42,8333.(2019河北张家口期末,15)经过点P(4,-1)作圆x2+y2-2y=0的切线,设两个切点分别为A,B,则tanAPB=.答案199方法2与圆有关的弦长问题的处理方法1.(

5、2019湖南五市十校高三联考,6)两圆x2+y2+4x-4y=0和x2+y2+2x-8=0相交于两点M,N,则线段MN的长为()A.355B.4C.655D.1255答案D2.(2019豫西南五校3月联考,7)已知圆C:(x-2)2+y2=4,直线l1:y=3x,l2:y=kx-1,若l1,l2被圆C所截得的弦的长度之比为12,则k的值为()A.3B.1C.12D.33答案C3.(2019皖南八校联考,14)设直线y=kx+1与圆x2+y2+2x-my=0相交于A,B两点,若点A,B关于直线l:x+y=0对称,则|AB|=.答案6【五年高考】A组统一命题课标卷题组1.(2018课标,6,5分)

6、直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则ABP面积的取值范围是()A.2,6B.4,8C.2,32D.22,32答案A2.(2017课标,9,5分)若双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为()A.2B.3C.2D.233答案A3.(2015课标,7,5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=()A.26B.8C.46D.10答案C4.(2016课标,16,5分)已知直线l:mx+y+3m-3=0与圆x2+y2=12交于A,B

7、两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=23,则|CD|=.答案4B组自主命题省(区、市)卷题组1.(2015广东,5,5分)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是()A.2x+y+5=0或2x+y-5=0B.2x+y+5=0或2x+y-5=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0D.2x-y+5=0或2x-y-5=0答案A2.(2019浙江,12,6分)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),则m=,r=.答案-2;5C组教师专用题组1.(2017江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy

8、中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若PAPB20,则点P的横坐标的取值范围是.答案-52,12.(2015江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(mR)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.答案(x-1)2+y2=23.(2015湖北,14,5分)如图,圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的标准方程为;(2)过点A任作一条直线与圆O:x2+y2=1相交于M,N两点,下列三个结论:|NA|NB|=|MA|MB|;|NB|NA|-|MA|M

9、B|=2;|NB|NA|+|MA|MB|=22.其中正确结论的序号是.(写出所有正确结论的序号)答案(1)(x-1)2+(y-2)2=2(2)4.(2014课标,16,5分)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得OMN=45,则x0的取值范围是.答案-1,15.(2019江苏,18,16分)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为AC和BD(C,D为垂足),测

10、得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P,Q两点间的距离.解析本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识,考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.解法一:(1)过A作AEBD,垂足为E.由已知条件得,四边形ACDE为矩形,DE=BE=AC=6,AE=CD=8.因为PBAB,所以cosPBD=sinABE=810=45.所以PB=BDcosPBD=1245=15.因此

11、道路PB的长为15(百米).(2)不能,理由如下:若P在D处,由(1)可得E在圆上,则线段BE上的点(除B,E)到点O的距离均小于圆O的半径,所以P选在D处不满足规划要求.若Q在D处,连接AD,由(1)知AD=AE2+ED2=10,从而cosBAD=AD2+AB2-BD22ADAB=7250,所以BAD为锐角.所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上,P和Q均不能选在D处.(3)先讨论点P的位置.当OBP90时,在PP1B中,PBP1B=15.由上可知,d15.再讨论点Q的位置.由(2)知,要使得QA15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当

12、QA=15时,CQ=QA2-AC2=152-62=321. 此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上,当PBAB,点Q位于点C右侧,且CQ=321时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+321.因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+321)百米.解法二:(1)如图,过O作OHl,垂足为H.以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立平面直角坐标系.因为BD=12,AC=6,所以OH=9,直线l的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为3,-3.因为AB为圆O的直径,AB=10,所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A(4,3),B(-4,-3),直线AB的斜

13、率为34.因为PBAB,所以直线PB的斜率为-43,直线PB的方程为y=-43x-253.所以P(-13,9),PB=(-13+4)2+(9+3)2=15.因此道路PB的长为15(百米).(2)若P在D处,取线段BD上一点E(-4,0),则EO=45,所以P选在D处不满足规划要求.若Q在D处,连接AD,由(1)知D(-4,9),又A(4,3),所以线段AD:y=-34x+6(-4x4).在线段AD上取点M3,154,因为OM=32+154232+42=5,所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上,P和Q均不能选在D处.(3)先讨论点P的位置.当OBP

14、90时,在PP1B中,PBP1B=15.由上可知,d15.再讨论点Q的位置.由(2)知,要使得QA15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,设Q(a,9),由AQ=(a-4)2+(9-3)2=15(a4),得a=4+321,所以Q(4+321,9).此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上,当P(-13,9),Q(4+321,9)时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=4+321-(-13)=17+321.因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+321)百米.6.(2015广东,20,14分)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交

15、于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.解析(1)圆C1的方程x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,所以圆心坐标为(3,0).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2),M(x0,y0),则x0=x1+x22,y0=y1+y22.由题意可知直线l的斜率必存在,设直线l的方程为y=tx.将上述方程代入圆C1的方程,化简得(1+t2)x2-6x+5=0.由题意,可得=36-20(1+t2)0(*),x1+x2

16、=61+t2,所以x0=31+t2,代入直线l的方程,得y0=3t1+t2.因为x02+y02=9(1+t2)2+9t2(1+t2)2=9(1+t2)(1+t2)2=91+t2=3x0,所以x0-322+y02=94.由(*)解得t245,又t20,所以53x03.所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为x-322+y2=9453x3.(3)由(2)知,曲线C是在区间53,3上的一段圆弧.如图,D53,253,E53,-253,F(3,0),直线L过定点G(4,0).联立直线L的方程与曲线C的方程,消去y整理得(1+k2)x2-(3+8k2)x+16k2=0.令判别式=0,解得k=34,由求根公式

17、解得交点的横坐标为xH,I=12553,3,由图可知,要使直线L与曲线C只有一个交点,则kkDG,kEGkGH,kGI,即k-257,257-34,34.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2019海南海口一中模拟,7)已知点P(1,m)在椭圆x24+y2=1的外部,则直线y=2mx+3与圆x2+y2=1的位置关系为()A.相离B.相交C.相切D.相交或相切答案B2.(2020届甘肃兰州一中9月月考,3)已知直线l:x+ay-1=0(aR)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴,过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=()A.2B.42C.210D.6

18、答案D3.(2018安徽合肥一模,8)设圆x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为C,直线l过(0,3),且与圆C交于A,B两点,若|AB|=23,则直线l的方程为()A.3x+4y-12=0或4x-3y+9=0B.3x+4y-12=0或x=0C.4x-3y+9=0或x=0D.3x-4y+12=0或4x+3y+9=0答案B4.(2019河南信阳二模,9)若直线y=kx+1(k0)与圆x2+(y-1)2=1相交于A,B两点,C点坐标为(3,0),若点M(a,b)满足MA+MB+MC=0,则a+b等于()A.1B.52C.53D.73答案C5.(2020届安徽六安一中高二(上)开学考试,11)已知在

19、平面直角坐标系xOy中,圆C1:(x-m)2+(y-m-6)2=2与圆C2:(x+1)2+(y-2)2=1交于A,B两点,若|OA|=|OB|,则实数m的值为()A.1B.2C.-1D.-2答案D6.(2019四川成都外国语学校3月月考,10)若a,b,c是ABC三个内角的对边,且csin C=3asin A+3bsin B,则直线l:ax-by+c=0被圆O:x2+y2=12所截得的弦长为()A.46B.26C.6D.5答案C7.(2019内蒙古通辽模拟,9)在平面直角坐标系xOy中,过点P(1,4)向圆C:(x-m)2+y2=m2+5(1m0,b0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0所截得

20、的弦长为4,则1a+1b的最小值是.答案410.(2019四川第一次诊断性测试,16)已知直线l:y=kx与圆x2+y2-2x-2y+1=0相交于A,B两点,点M(0,b),且MAMB,若b1,32,则实数k的取值范围是.答案(1,6-23)(6+23,+)三、解答题(共15分)11.(2020届皖南八校高三(上)摸底考试,22)已知圆C的圆心C的坐标为(1,2),且圆C与直线l:x-2y-7=0相切,过点A(2,0)的动直线m与圆C相交于M,N两点,直线m与直线l的交点为B.(1)求圆C的标准方程;(2)求|MN|的最小值;(3)(AM+AN)AB是不是定值?若是,求出这个定值;若不是,请说

21、明理由.解析本题考查圆的方程的求法和运用,考查直线和圆的位置关系,以及弦长公式的运用,考查向量的加减运算和数量积的坐标表示,考查化简运算能力和分类讨论思想,体现了逻辑推理,数学运算的核心素养.(1)设圆C的半径为r,因为圆C与直线l:x-2y-7=0相切,且C(1,2),所以圆心C到直线l的距离为r,即r=|1-4-7|5=25,则圆C的方程为(x-1)2+(y-2)2=20.(2)由|MN|=2r2-d2=220-d2(d为圆心C到直线m的距离),可得d最大时,|MN|最小,当A(2,0)为MN中点时,d最大,且|AC|=(1-2)2+(2-0)2=5,则|MN|的最小值为220-5=215

22、.(3)设MN的中点为P,则CPMN,即CPAB,CPAB=0,且AM+AN=2AP,(AM+AN)AB=2APAB=2(AC+CP)AB=2ACAB+2CPAB=2ACAB,当m与x轴垂直时,m的方程为x=2,代入圆C的方程可得y=219,MN的中点P(2,2),x=2与直线l的交点为B2,-52,AB=0,-52.由AC=(-1,2),可得2ACAB=2(-5)=-10,即(AM+AN)AB=-10;当m与x轴不垂直时,设直线m的方程为y=k(x-2),与直线x-2y-7=0联立,求得B4k-72k-1,-5k2k-1,AB=-52k-1,-5k2k-1,ACAB=(-1,2)-52k-1

23、,-5k2k-1=52k-1-10k2k-1=-5,则(AM+AN)AB=-10.综上可得(AM+AN)AB是定值,且为-10.思路分析(1)设圆C的半径为r,运用直线和圆相切的条件:圆心到直线的距离与圆的半径r相等,即可得到r,进而得到圆的方程;(2)直线和圆相交时,半径r、弦心距d和弦长的一半构成直角三角形,结合勾股定理得到|MN|,可得d最大时,|MN|最小,即A为弦的中点时,d最大,由两点的距离公式,计算可得所求值;(3)设MN的中点为P,则CPMN,即CPAB,由向量垂直的条件和中点表示,以及向量的加减运算可得(AM+AN)AB=2ACAB,再讨论m与x轴是否垂直,进而求得B的坐标,由向量的数量积的坐标表示,计算可得所求定值.