2021届课标版高考文科数学大一轮复习精练：§9.5 抛物线及其性质（试题部分） .docx

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1、9.5抛物线及其性质探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点抛物线的定义及标准方程了解抛物线的定义,并会用定义进行解题;掌握求抛物线标准方程的基本步骤(定型、定位、定量)和基本方法(定义法和待定系数法)2019课标全国,21,12分抛物线定义及方程圆的方程,圆的几何性质,抛物线的几何性质抛物线的几何性质知道抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率);能用其性质解决有关抛物线的问题,了解抛物线的一些实际应用2019课标全国,9,5分抛物线的几何性质椭圆的几何性质2016课标全国,5,5分抛物线的几何性质等轴双曲线直线与抛物线的位置关系会用代数法和数形结合

2、法判断直线与抛物线的位置关系;根据所学知识熟练解决直线与抛物线位置关系的综合问题2018课标全国,20,12分直线与抛物线的位置关系直线的方程,定值问题的证明2019课标全国,21,12分直线与抛物线的位置关系直线过定点,圆的方程,直线与圆的位置关系分析解读从近几年的高考试题来看,抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与抛物线的位置关系等一直是高考命题的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题;客观题突出“小而巧”的特点,主要考查抛物线的定义、标准方程,主观题考查得较为全面,除考查定义、性质之外,还考查直线与抛物线的位置关系,考查基本运算能力、逻辑思维能力和综合分析问题的能力,着重于对数学思

3、想方法及数学语言的考查.破考点 练考向【考点集训】考点一抛物线的定义及标准方程1.(2019河北衡水三模,6)设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若A,B,C三点坐标分别为(1,2),(x1,y1),(x2,y2),且|FA|+|FB|+|FC|=10,则x1+x2=()A.6B.5C.4D.3答案A2.(2020届贵州贵阳摸底,14)若直线l过抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F,与C相交于A,B两点,且线段AB的中点M的坐标为(3,2),则抛物线C的方程为.答案y2=4x或y2=8x3.(2018云南玉溪模拟,14)已知F是抛物线y=x2的焦点,M、N是该抛物线上的

4、两点,|MF|+|NF|=3,则线段MN的中点到x轴的距离为.答案54考点二抛物线的几何性质1.(2019皖中地区调研,9)抛物线E:y2=2px(p0)的焦点为F,点A(0,2),若线段AF的中点B在抛物线上,则|BF|=()A.54B.52C.22D.324答案D2.(2019广东韶关第一中学月考,11)直线l过抛物线y2=ax(a0)的焦点F且与抛物线交于A,B两点,则|AF|BF|AF|+|BF|=()A.a2B.a4C.2aD.4a答案B考点三直线与抛物线的位置关系答案B2.(2020届山东夏季高考模拟,15)直线l过抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F(1,0),且与C交于A,B

5、两点,则p=,1|AF|+1|BF|=.(本题第一空2分,第二空3分)答案2;13.(2020届河南百校联盟10月联考,20)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,直线l:y=x+1与抛物线C相切于点P,过点P作抛物线C的割线PQ,割线PQ与抛物线C的另一个交点为Q,A为线段PQ的中点,过A作y轴的垂线,与直线l相交于点N,M为线段AN的中点.(1)求抛物线C的方程;(2)求证:点M在抛物线C上.答案(1)由y=x+1,y2=2px得y2=2p(y-1),即y2-2py+2p=0.(1分)依题意得,=(-2p)2-8p=0,由p0,解得p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.(4分)(

6、2)证明:将p=2代入得y2-4y+4=0,解得y1=y2=2,将y=2代入y=x+1,得x=1,所以点P(1,2).(5分)设Q(m,n),则n2=4m,因为A为线段PQ的中点,所以Am+12,n+22.(7分)联立y=x+1,y=n+22,得Nn2,n+22,所以线段AN的中点M的坐标为m+n+14,n+22,(9分)又4m+n+14=n24+n+1=n+222,满足y2=4x,(11分)所以线段AN的中点M在抛物线C上.(12分)炼技法 提能力【方法集训】方法1求抛物线的标准方程的方法1.(2018河南顶级名校12月联考,7)已知直线l过抛物线y2=-2px(p0)的焦点,且与抛物线交于

7、A、B两点,若线段AB的长是8,AB的中点到y轴的距离是2,则此抛物线的方程是()A.y2=-12xB.y2=-8xC.y2=-6x D.y2=-4x答案B2.(2019湖南八校第一次调研,9)在平面直角坐标系xOy中,动点P到圆(x-2)2+y2=1上的点的最小距离与其到直线x=-1的距离相等,则P点的轨迹方程是()A.y2=8x B.x2=8yC.y2=4x D.x2=4y答案A3.(2020届山西康杰中学期中,14)顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线截直线y=2x-4所得的弦长|AB|=35,则此抛物线的方程为.答案y2=4x或y2=-36x方法2抛物线定义的应用策略1.过抛物线y2=2p

8、x(p0)的焦点F的直线l与抛物线交于B、C两点,l与抛物线的准线交于点A,且|AF|=6,AF=2FB,则|BC|=()A.8B.132C.6D.92答案D2.(2019宁夏银川质量检测,14)已知P是抛物线y2=4x上一动点,定点A(0,22),过点P作PQy轴于点Q,则|PA|+|PQ|的最小值是.答案23.(2019河南顶级名校高三入学测试,15)抛物线y2=8x的焦点为F,点A(6,3),P为抛物线上一点,且P不在直线AF上,则PAF周长的最小值为.答案13方法3与直线和抛物线位置关系有关问题的求解方法1.(2018福建莆田模拟,6)已知O为坐标原点,F为抛物线C:y2=8x的焦点,

9、过F作直线l与C交于A,B两点.若|AB|=10,则OAB的重心的横坐标为()A.43B.2C.83D.3答案B2.(2019湖南衡阳一模,9)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线与C交于A、B两点,且线段AB中点的纵坐标为2,O为坐标原点,则AOB的面积为()A.22B.2C.2D.4答案A3.(2020届云南师范大学附中第二次月考,20)过F(0,1)的直线l与抛物线C:x2=4y交于A,B两点,以A,B两点为切点分别作抛物线C的切线l1,l2,设l1与l2交于点Q(x0,y0).(1)求y0;(2)过Q,F的直线交抛物线C于M,N两点,证明:QFAB,并求四边形AMBN面积的最

10、小值.答案(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l:y=kx+1,联立x2=4y,y=kx+1得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4,由x2=4y得y=x24,则y=12x,所以l1:y-y1=12x1(x-x1),即l1:y=12x1x-x124,同理l2:y=12x2x-x224,由y=12x1x-x124,y=12x2x-x224,x1+x2=4k,y1=kx1+1得x=x1+x22=2k,y=-1,所以y0=-1.(2)因为QF=-x1+x22,2,AB=(x2-x1,y2-y1),所以QFAB=-x22-x122+2(y2-y1)=-x22-x122+

11、x22-x122=0,所以QFAB,即MNAB.由(1)得|AB|=y1+y2+2=k(x1+x2)+4=4k2+4,同理|MN|=4k2+4,则S四边形AMBN=12|AB|MN|=8(k2+1)1k2+1=8k2+1k2+232,当且仅当k=1时,取“=”.所以四边形AMBN面积的最小值为32.【五年高考】A组统一命题课标卷题组1.(2019课标全国,9,5分)若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆x23p+y2p=1的一个焦点,则p=()A.2B.3C.4D.8答案D2.(2016课标全国,5,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=kx(k0)与C交于点P,PFx轴,则k=(

12、)A.12B.1C.32D.2答案D3.(2018课标全国,20,12分)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点.(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;(2)证明:ABM=ABN.答案(1)当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得M的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线BM的方程为y=12x+1或y=-12x-1.(2)证明:当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线,所以ABM=ABN.当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-2)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2),则x10,x20.由y=k(x-2),y2=2x得ky2-

13、2y-4k=0,可知y1+y2=2k,y1y2=-4.直线BM,BN的斜率之和为kBM+kBN=y1x1+2+y2x2+2=x2y1+x1y2+2(y1+y2)(x1+2)(x2+2).将x1=y1k+2,x2=y2k+2及y1+y2,y1y2的表达式代入式分子,可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)=2y1y2+4k(y1+y2)k=-8+8k=0.所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以ABM=ABN.综上,ABM=ABN.4.(2017课标全国,20,12分)设A,B为曲线C:y=x24上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C

14、在M处的切线与直线AB平行,且AMBM,求直线AB的方程.答案(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,y1=x124,y2=x224,x1+x2=4,于是直线AB的斜率k=y1-y2x1-x2=x1+x24=1.(2)由y=x24,得y=x2,设M(x3,y3),由题设知x32=1,解得x3=2,于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将y=x+m代入y=x24得x2-4x-4m=0.当=16(m+1)0,即m-1时,x1,2=22m+1.从而|AB|=2|x1-x2|=42(m+1).由题设知|AB|=2|MN

15、|,即42(m+1)=2(m+1),解得m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.5.(2016课标全国,20,12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明ARFQ;(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.答案由题设知F12,0.设l1:y=a,l2:y=b,易知ab0,且Aa22,a,Bb22,b,P-12,a,Q-12,b,R-12,a+b2.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(3分)(1)证明:由于F在线段AB上,

16、故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=a-b1+a2=a-ba2-ab=1a=-aba=-b=k2.所以ARFQ.(5分)(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则SABF=12|b-a|FD|=12|b-a|x1-12,SPQF=|a-b|2.由题设可得212|b-a|x1-12=|a-b|2,所以x1=0(舍去)或x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得2a+b=yx-1(x1).而a+b2=y,所以y2=x-1(x1).当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.(12分)B组自主命题省(区、

17、市)卷题组考点一抛物线的定义及标准方程(2016浙江,19,15分)如图,设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.(1)求p的值;(2)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.答案(1)由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离,由抛物线的定义得p2=1,即p=2.(2)由(1)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设A(t2,2t),t0,t1.因为AF不垂直于y轴,可设直线AF:x=sy+1(s0),由y2=4x,x=sy+1消去x

18、得y2-4sy-4=0,故y1y2=-4,所以,B1t2,-2t.又直线AB的斜率为2tt2-1,故直线FN的斜率为-t2-12t.从而得直线FN:y=-t2-12t(x-1),直线BN:y=-2t.所以Nt2+3t2-1,-2t.设M(m,0),由A,M,N三点共线得2tt2-m=2t+2tt2-t2+3t2-1,于是m=2t2t2-1.所以m2.经检验,m2满足题意.综上,点M的横坐标的取值范围是(-,0)(2,+).考点二抛物线的几何性质答案D2.(2018北京,10,5分)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为.答案(1,0

19、)3.(2017天津,12,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若FAC=120,则圆的方程为.答案(x+1)2+(y-3)2=1考点三直线与抛物线的位置关系(2019浙江,21,15分)如图,已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p0)的焦点.过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线上,使得ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F的右侧.记AFG,CQG的面积分别为S1,S2.(1)求p的值及抛物线的准线方程;(2)求S1S2的最小值及此时点G的坐标.答案本题主要考查抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置

20、关系等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.体现了数学抽象的核心素养和转化与化归的思想方法.(1)由题意得p2=1,即p=2.所以,抛物线的准线方程为x=-1.(2)设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),重心G(xG,yG).令yA=2t,t0,则xA=t2.由于直线AB过F,故直线AB方程为x=t2-12ty+1,代入y2=4x,得y2-2(t2-1)ty-4=0,故2tyB=-4,即yB=-2t,所以B1t2,-2t.又由于xG=13(xA+xB+xC),yG=13(yA+yB+yC)及重心G在x轴上,故2t-2t+yC=0,得C1t-t2,21t-t,G2t4-

21、2t2+23t2,0.所以,直线AC方程为y-2t=2t(x-t2),得Q(t2-1,0).由于Q在焦点F的右侧,故t22.从而S1S2=12|FG|yA|12|QG|yC|=2t4-2t2+23t2-1|2t|t2-1-2t4-2t2+23t22t-2t=2t4-t2t4-1=2-t2-2t4-1.令m=t2-2,则m0,S1S2=2-mm2+4m+3=2-1m+3m+42-12m3m+4=1+32.当m=3时,S1S2取得最小值1+32,此时G(2,0).C组教师专用题组考点一抛物线的定义及标准方程1.(2014课标,10,5分)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点

22、,|AF|=54x0,则x0=()A.1B.2C.4D.8答案A答案C3.(2011课标,9,5分)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则ABP的面积为()A.18B.24C.36D.48答案C4.(2017山东,15,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.答案y=22x考点二抛物线的几何性质(2013课标,10,5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交

23、于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为()A.y=x-1或y=-x+1B.y=33(x-1)或y=-33(x-1)C.y=3(x-1)或y=-3(x-1)D.y=22(x-1)或y=-22(x-1)答案C考点三直线与抛物线的位置关系1.(2015四川,10,5分)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是()A.(1,3) B.(1,4)C.(2,3) D.(2,4)答案D2.(2014课标,10,5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交C于A,

24、B两点,则|AB|=()A.303 B.6 C.12 D.73答案C3.(2014四川,10,5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,OAOB=2(其中O为坐标原点),则ABO与AFO面积之和的最小值是()A.2 B.3 C.1728 D.10答案B4.(2014湖南,14,5分)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是.答案(-,-1)(1,+)5.(2015浙江,19,15分)如图,已知抛物线C1:y=14x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P

25、(t,0)(t0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标;(2)求PAB的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.答案(1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t),由y=k(x-t),y=14x2消去y,整理得x2-4kx+4kt=0,由于直线PA与抛物线相切,得k=t.因此,点A的坐标为(2t,t2).设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0),由题意知:点B,O关于直线PD对称,故y02=-x02t+1,x0t-y0=0,解

26、得x0=2t1+t2,y0=2t21+t2.因此,点B的坐标为2t1+t2,2t21+t2.(2)由(1)知|AP|=t1+t2,和直线PA的方程tx-y-t2=0.点B到直线PA的距离是d=t21+t2,设PAB的面积为S(t),所以S(t)=12|AP|d=t32.6.(2014湖北,22,14分)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1).求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.答案(1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即

27、(x-1)2+y2=|x|+1,化简整理得y2=2(|x|+x).故点M的轨迹C的方程为y2=4x,x0,0,x0.(2)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x,C2:y=0(x0),依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).由方程组y-1=k(x+2),y2=4x,可得ky2-4y+4(2k+1)=0.(i)当k=0时,y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x=14.故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点14,1.(ii)当k0时,方程的判别式为=-16(2k2+k-1).设直线l与x轴的交点为(x0,0),则由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-2k+1k.若0,x00,由解

28、得k12,即当k(-,-1)12,+时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.若=0,x00,x00,由解得k-1,12或-12k0,x00,由解得-1k-12或0k0)的焦点为F,准线为l.A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.(1)若BFD=90,ABD的面积为42,求p的值及圆F的方程;(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.答案(1)由已知可得BFD为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F的半径|FA|=2p.由抛物线定义可知A到l的距离d=|FA|=

29、2p.因为ABD的面积为42,所以12|BD|d=42,即122p2p=42,解得p=-2(舍去)或p=2.所以F(0,1),圆F的方程为x2+(y-1)2=8.(2)因为A,B,F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,ADB=90.由抛物线定义知|AD|=|FA|=12|AB|,所以ABD=30,m的斜率为33或-33.当m的斜率为33时,由已知可设n:y=33x+b,代入x2=2py得x2-233px-2pb=0.由于n与C只有一个公共点,故=43p2+8pb=0.解得b=-p6.因为m在y轴上的截距b1=p2,所以|b1|b|=3,所以坐标原点到m,n距离的比值为3.当m的斜率为-3

30、3时,由图形对称性可知,坐标原点到m,n距离的比值为3.8.(2010全国,22,12分)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点K(-1,0)的直线l与C相交于A、B两点,点A关于x轴的对称点为D.(1)证明:点F在直线BD上;(2)设FAFB=89,求BDK的内切圆M的方程.答案设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x1,-y1),l的方程为x=my-1(m0).(1)证明:将x=my-1代入y2=4x并整理得y2-4my+4=0,从而y1+y2=4m,y1y2=4.直线BD的方程为y-y2=y2+y1x2-x1(x-x2),即y-y2=4y2-y1x-y224.令y=0,得x=y1y

31、24=1.所以点F(1,0)在直线BD上.(2)由(1)知,x1+x2=(my1-1)+(my2-1)=4m2-2,x1x2=(my1-1)(my2-1)=1.因为FA=(x1-1,y1),FB=(x2-1,y2),FAFB=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+4=8-4m2,故8-4m2=89,解得m=43.所以l的方程为3x+4y+3=0,或3x-4y+3=0.又由知y2-y1=(4m)2-44=437,故直线BD的斜率为4y2-y1=37,因而直线BD的方程为3x+7y-3=0,或3x-7y-3=0.因为KF为BKD的平分线,故可设圆心M(t,0)(-1t0

32、)在C上,|AF|=3.若直线AF与C交于另一点B,则|AB|的值是()A.12 B.10C.9 D.45答案C5.(2019名校联盟模拟二,11)直线l与抛物线y2=2px(p0)交于A,B两点,O为坐标原点,OAOB,若AOB的面积的最小值为4,则抛物线的方程为()A.y2=x B.y2=2x C.y2=4x D.y2=8x答案B6.(2019江西九江二模,12)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线l与抛物线C交于A,B两点,连接AF并延长交抛物线C于点D,若AB中点的纵坐标为|AB|-1,则当AFB最大时,|AD|=()A.4 B.8 C.16 D.163答案C二、填空题(每小题5分

33、,共15分)7.(2020届河南南阳一中10月月考,13)点M(2,1)到抛物线y=ax2(a0)准线的距离为2,则a的值为.答案14或-1128.(2020届河南中原联盟第四次测评,15)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,过F且倾斜角为60的直线交抛物线C于A,B两点,AMl,BNl,M、N为垂足,点Q是MN的中点,|QF|=2,则p=.答案39.(2018安徽安庆二模,14)设抛物线x2=4y的焦点为F,点A,B在抛物线上,且满足AF=FB,若|AF|=32,则的值为.答案12三、解答题(共25分)10.(2020届内蒙古包头一中月考,20)已知直线l:x-y+1=0

34、与焦点为F的抛物线C:y2=2px(p0)相切.(1)求抛物线C的方程;(2)过点F的直线m与抛物线C交于A,B两点,求A,B两点到直线l的距离之和的最小值.答案(1)由x-y+1=0,y2=2px消去x,得y2-2py+2p=0,(2分)直线l:x-y+1=0与抛物线C相切,=4p2-8p=0,解得p=2(p=0舍去).(4分)抛物线C的方程为y2=4x.(5分)(2)设直线m的方程为ty=x-1,A(x1,y1),B(x2,y2),(6分)由ty=x-1,y2=4x消去x,得y2-4ty-4=0,(7分)y1+y2=4t,从而x1+x2=4t2+2,(8分)线段AB的中点M的坐标为(2t2

35、+1,2t).(9分)设点A到直线l的距离为dA,点B到直线l的距离为dB,点M到直线l的距离为d,则dA+dB=2d=2|2t2-2t+2|2=22|t2-t+1|=22t-122+34,(11分)当t=12时,dA+dB取最小值,即A、B两点到直线l的距离之和最小,最小值为322.(12分)11.(2020届山西长治重点中学11月联考,20)已知点F为抛物线E:y2=2px(p0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.(1)求抛物线E的方程;(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.答案(1)由抛物线的定义知

36、|AF|=2+p2.又因为|AF|=3,所以2+p2=3,解得p=2,所以抛物线E的方程为y2=4x.(2)证法一:因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=22.由抛物线的对称性,不妨设A(2,22).由A(2,22),F(1,0)可得直线AF的方程为y=22(x-1).由y=22(x-1),y2=4x得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=12,从而B12,-2.又G(-1,0),所以kGA=22-02-(-1)=223,kGB=-2-012-(-1)=-223,所以kGA+kGB=0,从而AGF=BGF,所以点F到直线GA,GB的距离相等,故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.证法二:设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=22.由抛物线的对称性,不妨设A(2,22).由A(2,22),F(1,0)可得直线AF的方程为y=22(x-1),由y=22(x-1),y2=4x得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=12,从而B12,-2.又G(-1,0),故直线GA的方程为22x-3y+22=0,从而r=|22+22|8+9=4217.又直线GB的方程为22x+3y+22=0,所以点F到直线GB的距离d=|22+22|8+9=4217=r,所以以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.