2021届课标版高考文科数学大一轮复习精练：§5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理（试题部分） .docx

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1、专题五平面向量【真题探秘】5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点平面向量的线性运算及其几何意义理解平面向量的有关概念及向量的表示方法;掌握向量加法、减法、数乘的运算,理解其几何意义;理解两个向量共线的含义;了解向量线性运算的性质及其几何意义2018课标全国,7,5分平面向量的混合运算2017课标全国,4,5分平面向量的有关概念垂直、平行、模的关系平面向量基本定理及向量的坐标运算了解平面向量基本定理及其意义;掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;会用坐标对向量进行线性运算;理解用坐标表示的平面向量共线的条件201

2、8课标全国,13,5分平面向量的坐标运算两向量平行的充要条件2016课标全国,13,5分平面向量的坐标运算两向量平行的充要条件2019课标全国,3,5分平面向量的坐标运算向量的模分析解读从近几年的高考试题来看,高考对本节内容的考查以选择题和填空题为主,重点考查向量的概念、几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件和向量的坐标运算,此类问题一般难度不大.向量的有关概念、向量的线性运算、平面向量基本定理、向量的坐标运算等知识是平面向量的基础,高考主要考查基础运用,其中线性运算、坐标运算、平面向量基本定理是高考的重点与热点,要熟练掌握.破考点 练考向【考点集训】考点一平面向量的线

3、性运算及其几何意义1.(2020届西南地区名师联盟8月联考,2)如图,向量a-b等于()A.-e1+3e2 B.-4e1-2e2 C.e1-3e2D.-2e1-4e2答案A2.(2020届河北邢台第一次联考,5)如图,AB是圆O的一条直径,C,D是半圆弧的两个三等分点,则AB=()A.AC-AD B.2AC-2ADC.AD-AC D.2AD-2AC答案D3.(2018吉林调研,8)已知a,b是不共线的非零向量,AB=a+b,AC=a+b(,R),若A,B,C三点共线,则,的关系一定成立的是()A.=1 B.=-1C.-=1 D.+=2答案A4.(2019广东普宁一中月考,9)在OAB中,若点C

4、满足AC=2CB,OC=OA+OB,则1+1=()A.13 B.23C.29 D.92答案D考点二平面向量基本定理及向量的坐标运算1.(2018河北衡水中学五调,8)已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=a+b(,为实数),则m的取值范围是()A.(-,2) B.(2,+) C.(-,+) D.(-,2)(2,+)答案D2.(2020届山西长治二中等六校9月联考,3)已知平面向量a=(-1,2),b=(2,y),且ab,则3a+2b=()A.(-1,7) B.(-1,2)C.(1,2) D.(1,-2)答案D3.(2019

5、四川成都石室中学一诊,15)在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E为DC边的中点,P为线段AE上的动点,设向量AP=DB+AD,则+的最大值为.答案2炼技法 提能力【方法集训】方法1向量共线问题的求解方法1.(2018福建漳州二模,5)已知点C(1,-1),D(2,x),若向量a=(x,2)与CD的方向相反,则|a|=()A.1 B.2C.22 D.2答案C2.设a,b是不共线的两个非零向量.(1)若OA=2a-b,OB=3a+b,OC=a-3b,求证:A、B、C三点共线;(2)若8a+kb与ka+2b共线,求实数k的值;(3)设OM=ma,ON=nb,OP=a+b,其中m,n,均为实数,m

6、0,n0,若M、N、P三点共线,求证:m+n=1.答案(1)证明:AB=OB-OA=(3a+b)-(2a-b)=a+2b,BC=OC-OB=(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2AB,AB与BC共线,且有公共点B,A、B、C三点共线.(2)8a+kb与ka+2b共线,存在实数,使得8a+kb=(ka+2b)(8-k)a+(k-2)b=0.a与b为不共线的非零向量,8-k=0,k-2=08=22=2.k=2=4.(3)证法一:M、N、P三点共线,存在实数,使得MP=PN,OP=OM+ON1+=m1+a+n1+b.a,b为不共线的非零向量,OP=a+b,=m1+,=n1+.m+n=11+1

7、+=1.证法二:M、N、P三点共线,OP=xOM+yON,且x+y=1.由已知可得,xma+ynb=a+b,x=m,y=n,m+n=1.方法2利用平面向量基本定理解决问题的方法1.(2020届福建莆田一中摸底,6)如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若AC=a,BD=b,则AF=()A.14a+12b B.12a+14b C.23a+13bD.13a+23b答案C2.(2019河北衡水中学二调,14)如图,已知平面内有三个向量OA,OB,OC,其中OA与OB的夹角为120,OA与OC的夹角为30,且|OA|=|OB|=1,|OC|=

8、23,若OC=OA+OB(,R),则+的值为.答案63.(2019陕西彬州第一次教学质量监测,15)如图所示,已知点G是ABC的重心,过点G作直线分别交AB,AC两边于M,N两点,且AM=xAB,AN=yAC,则3x+y的最小值为.答案4+233【五年高考】A组统一命题课标卷题组考点一平面向量的线性运算及其几何意义1.(2018课标全国,7,5分)在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB=()A.34AB-14AC B.14AB-34ACC.34AB+14AC D.14AB+34AC答案A2.(2017课标全国,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则()A.a

9、b B.|a|=|b| C.ab D.|a|b|答案A考点二平面向量基本定理及向量的坐标运算1.(2015课标,2,5分)已知点A(0,1),B(3,2),向量AC=(-4,-3),则向量BC=()A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4)答案A2.(2019课标全国,3,5分)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=()A.2 B.2 C.52 D.50答案A3.(2016课标全国,13,5分)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且ab,则m=.答案-6B组自主命题省(区、市)卷题组1.(2015广东,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知四边

10、形ABCD是平行四边形,AB=(1,-2),AD=(2,1),则ADAC=()A.5 B.4 C.3 D.2答案A2.(2015湖南,9,5分)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且ABBC.若点P的坐标为(2,0),则|PA+PB+PC|的最大值为()A.6 B.7 C.8 D.9答案B3.(2017山东,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,).若ab,则=.答案-3C组教师专用题组考点一平面向量的线性运算及其几何意义1.(2014课标,6,5分)设D,E,F分别为ABC的三边BC,CA,AB的中点,则EB+FC=()A.AD B.12AD C.BC D.12BC答案A答案

11、D考点二平面向量基本定理及向量的坐标运算1.(2015四川,2,5分)设向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线,则实数x=()A.2 B.3 C.4 D.6答案B2.(2015福建,7,5分)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若bc,则实数k的值等于()A.-32 B.-53 C.53 D.32答案A3.(2013广东,10,5分)设a是已知的平面向量且a0.关于向量a的分解,有如下四个命题:给定向量b,总存在向量c,使a=b+c;给定向量b和c,总存在实数和,使a=b+c;给定单位向量b和正数,总存在单位向量c和实数,使a=b+c;给定正数和,总存在单位向量b和单位向量c,

12、使a=b+c.上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4答案B4.(2019浙江,17,6分)已知正方形ABCD的边长为1.当每个i(i=1,2,3,4,5,6)取遍1时,|1AB+2BC+3CD+4DA+5AC+6BD|的最小值是,最大值是.答案0;255.(2014陕西,18,12分)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在ABC三边围成的区域(含边界)上,且OP=mAB+nAC(m,nR).(1)若m=n=23,求|OP|;(2)用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.答案(1)m=

13、n=23,AB=(1,2),AC=(2,1),OP=23(1,2)+23(2,1)=(2,2),|OP|=22+22=22.(2)OP=m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n),x=m+2n,y=2m+n,两式相减,得m-n=y-x.令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.【三年模拟】时间:50分钟分值:70分一、选择题(每小题5分,共45分)1.(2020届辽宁本溪调研,3)已知点M是ABC的边BC的中点,点E在边AC上,则EC=2AE,则向量EM=() A.12AC+13AB B.12AC+16ABC.16AC+12AB D

14、.16AC+32AB答案C2.(2020届皖北第一次联考,5)已知A,B,C是ABC的三个顶点,O为平面内一点,满足OA+OB+OC=0,若实数满足AB+AC+OA=0,则的值为()A.3 B.32 C.-2 D.23答案A3.(2018辽宁六校协作体期中联考,4)设非零向量a,b,下列四个条件中,使a|a|=b|b|成立的充分条件是()A.ab B.a=2b C.ab且|a|=|b| D.a=-b答案B4.(2020届福建泉州调研,5)已知ABC的顶点分别为A(2,1),B(3,2),C(-3,-1),BC边上的高为AD,则点D的坐标为()A.-95,-75 B.92,-75 C.95,75

15、 D.-92,-75答案C5.(2020届安徽合肥一中、安庆一中等六校第一次联考,9)如图,在平行四边形ABCD中,M,N分别为AB、AD上的点,且AM=45AB,连接AC、MN交于P点,若AP=411AC,则点N在AD上的位置为()A.AD的中点B.AD上靠近点D的三等分点C.AD上靠近点D的四等分点D.AD上靠近点D的五等分点答案B6.(2019广东江门一模,7)ABC中,ACB=90,AC=3,BC=4,CDAB,垂足为D,则CD=()A.47CA+37CB B.37CA+47CBC.1625CA+925CB D.925CA+1625CB答案C7.(2020届广西柳州二中月考,10)在A

16、BC中,点D在线段BC的延长线上,且BC=3CD,点O在线段CD上(与点C,D不重合),若AO=xAB+(1-x)AC,则x的取值范围是()A.0,12 B.0,13 C.-12,0D.-13,0答案D8.(2020届宁夏银川一中第一次月考,11)设O在ABC的内部,且有OA+2OB+3OC=0,则ABC的面积与AOC的面积之比为()A.3 B.53 C.2 D.32答案A9.(2018江西宜春联考,11)设O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足OP=OA+AB|AB|cosB+AC|AC|cosC,0,+),则点P的轨迹经过ABC的()A.外心 B.内心 C.重心D.垂

17、心答案D二、填空题(每小题5分,共10分)10.(2019陕西汉中十二校联考,13)已知P为ABC所在平面内一点,且满足AP=(AB+AC),BP=(1-2)BC(,R),则+=.答案3411.(2019四川成都一诊,16)已知G为ABC的重心,过点G的直线与边AB,AC分别相交于点P,Q.若AP=35AB,则ABC与APQ的面积之比为.答案209三、解答题(共15分)12.(2018河南许昌、平顶山两市联考,21)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,M为平面上任意一点,A,B,C三点满足MC=13MA+23MB.(1)求证:A,B,C三点共线,并求|BA|BC|的值;(2)已知A(1,sin

18、x),B(1+sin x,sin x),M1+23sinx,sinx,x(0,),且函数f(x)=OAOM+2m-23|AB|的最小值为12,求实数m的值.答案(1)MC=13MA+23MB,MC-MB=13(MA-MB),BC=13BA.又BC,BA有公共点B,A,B,C三点共线.BC=13BA,|BA|BC|=3.(2)A(1,sin x),B(1+sin x,sin x),M1+23sinx,sinx,O(0,0),OA=(1,sin x),OM=1+23sinx,sinx,OAOM=1+23sin x+sin2x,又AB=(sin x,0),x(0,),|AB|=sin x,f(x)=OAOM+2m-23|AB|=sin2x+2msin x+1.设t=sin x.x(0,),t(0,1,y=t2+2mt+1=(t+m)2+1-m2.当-m0,即m0时,y=t2+2mt+1无最小值,不合题意;当0-m1,即-1m1,即m-1,不合题意.综上可知,m=-22.