2021届课标版高考理科数学大一轮复习精练：9.5　抛物线及其性质（试题部分） .docx

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1、9.5抛物线及其性质探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.抛物线的定义及标准方程掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质2019课标,8,5分求抛物线标准方程中的p椭圆的方程2017课标,16,5分利用抛物线的定义求线段长度梯形的中位线2.抛物线的几何性质2018课标,16,5分利用抛物线的几何性质求参数的值向量的数量积运算,中点坐标公式2016课标,10,5分利用抛物线的几何性质求焦准距圆的几何性质3.直线与抛物线的位置关系2019课标,19,12分直线与抛物线相交,求弦长直线方程,向量的坐标运算2019课标,21,12分直线与抛物线相切,弦中点

2、导数的几何意义,向量的数量积2018课标,8,5分直线与抛物线的位置关系向量的坐标运算2017课标,10,5分直线与抛物线的位置关系基本不等式分析解读从近5年的高考情况来看,抛物线的定义、标准方程及简单几何性质等基础知识常以选择题、填空题的形式考查,直线与抛物线的位置关系常以解答题的形式考查.在复习备考中,对抛物线的切线问题以及抛物线的焦点弦问题应予以高度关注,本节主要考查学生的数学运算、直观想象的核心素养,以及转化与化归思想的运用.破考点 练考向【考点集训】考点一抛物线的定义及标准方程1.(2018陕西西安一模,3)若抛物线y2=2px的焦点与双曲线x22-y22=1的右焦点重合,则p的值为

3、()A.-2B.2C.-4D.4答案D2.(2019黑龙江哈六中二模,5)已知抛物线x2=2py(p0)的准线与圆C:(x-2)2+(y-1)2=1相切,则抛物线的方程为()A.x2=-4yB.x2=-8yC.x2=2yD.x2=-4y或x2=4y答案B3.(2020届甘肃兰州9月月考,14)已知抛物线方程为y2=-4x,直线l的方程为2x+y-4=0,在抛物线上有一动点A,点A到y轴的距离为m,点A到直线l的距离为n,则m+n的最小值为.答案655-1考点二抛物线的几何性质1.(2018青海西宁模拟,8)抛物线y2=16x的焦点为F,点A在y轴上,且满足|OA|=|OB|,B是抛物线的准线与

4、x轴的交点,则FAAB=()A.-4B.4C.0D.-4或4答案C2.(2020届贵州贵阳第一次适应性考试,6)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若PF=3QF,则|QF|=.答案83考点三直线与抛物线的位置关系1.(2019福建福州9月质检,9)抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴上,直线x-y=0与抛物线C交于A、B两点,若P(1,1)为线段AB的中点,则抛物线C的方程为()A.y=2x2B.y2=2xC.x2=2yD.y2=-2x答案B2.(2020届安徽合肥9月调研,11)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,斜率为k的直线过F交

5、C于点A,B,AF=2FB,则直线AB的斜率为()A.22B.23C.22D.23答案C炼技法 提能力【方法集训】方法抛物线焦点弦问题的求解方法1.(2019云南曲靖一中1月月考,10)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为()A.334B.938C.6332D.94答案D2.(2018陕西西安一模,6)抛物线有如下光学性质:由焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴;反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线y2=4x的焦点为F,一条平行于x轴的光线从点M(3,1)射出,经过抛物线上

6、的点A反射后,再经抛物线上的另一点B射出,则直线AB的斜率为()A.-43B.43C.43D.-169答案A3.(2019广东韶关第一中学月考,11)直线l过抛物线y2=ax(a0)的焦点F且与抛物线交于A,B两点,则|AF|BF|AF|+|BF|=()A.a2B.a4C.2aD.4a答案B【五年高考】A组统一命题课标卷题组考点一抛物线的定义及标准方程1.(2019课标,8,5分)若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆x23p+y2p=1的一个焦点,则p=()A.2B.3C.4D.8答案D2.(2017课标,16,5分)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点

7、N.若M为FN的中点,则|FN|=.答案6考点二抛物线的几何性质1.(2016课标,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=42,|DE|=25,则C的焦点到准线的距离为()A.2B.4C.6D.8答案B2.(2018课标,16,5分)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若AMB=90,则k=.答案2考点三直线与抛物线的位置关系1.(2018课标,8,5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C交于M,N两点,则FMFN=()A.5B.6C.7D.8答案

8、D2.(2019课标,19,12分)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为32的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若AP=3PB,求|AB|.解析本题主要考查抛物线的定义、几何性质、直线与抛物线相交的综合问题等内容,考查学生运算求解的能力,以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力,体现了直观想象与数学运算的核心素养.设直线l:y=32x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F34,0,故|AF|+|BF|=x1+x2+32,由题设可得x1+x2=52.由y=32x+t,y2=3x可得9x2+12(t-1)x+4

9、t2=0,则x1+x2=-12(t-1)9.从而-12(t-1)9=52,得t=-78.所以l的方程为y=32x-78.(2)由AP=3PB可得y1=-3y2.由y=32x+t,y2=3x可得y2-2y+2t=0.所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=13.故|AB|=4133.思路分析(1)由|AF|+|BF|=4确定A、B两点横坐标之和,联立直线l的方程(含参)与抛物线方程,由根与系数的关系得A、B两点横坐标之和的含参表达式.两者相等,列方程求出参数.(2)P点在x轴上,由AP=3PB知A、B两点纵坐标的比例关系,由根与系数的关系

10、得A、B两点纵坐标之和,二者联立,确定A、B的纵坐标,进而确定A、B的坐标,从而求得|AB|.3.(2019课标,21,12分)已知曲线C:y=x22,D为直线y=-12上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.(1)证明:直线AB过定点;(2)若以E0,52为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积.解析本题考查直线与抛物线相切,弦的中点,直线与圆相切等知识点,通过直线与抛物线的方程运算,考查了学生在解析几何中的运算求解能力,以直线与抛物线相切为背景考查了数学运算的核心素养.(1)证明:设Dt,-12,A(x1,y1),则x12=2y1.由于y=x,所以切

11、线DA的斜率为x1,故y1+12x1-t=x1.整理得2tx1-2y1+1=0.设B(x2,y2),同理可得2tx2-2y2+1=0.故直线AB的方程为2tx-2y+1=0.所以直线AB过定点0,12.(2)由(1)得直线AB的方程为y=tx+12.由y=tx+12,y=x22可得x2-2tx-1=0.于是x1+x2=2t,x1x2=-1,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1,|AB|=1+t2|x1-x2|=1+t2(x1+x2)2-4x1x2=2(t2+1).设d1,d2分别为点D,E到直线AB的距离,则d1=t2+1,d2=2t2+1.因此,四边形ADBE的面积S=12|AB|(

12、d1+d2)=(t2+3)t2+1.设M为线段AB的中点,则Mt,t2+12.由于EMAB,而EM=(t,t2-2),AB与向量(1,t)平行,所以t+(t2-2)t=0.解得t=0或t=1.当t=0时,S=3;当t=1时,S=42.因此,四边形ADBE的面积为3或42.解题关键(1)设出A、B坐标,求导、列等式是解题的突破口.(2)由(1)得出AB的方程,用坐标表示出EMAB,求AB方程中的参数是关键.B组自主命题省(区、市)卷题组考点一抛物线的定义及标准方程1.(2016浙江,9,4分)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是.答案92.(2015陕西,14,5分)

13、若抛物线y2=2px(p0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=.答案22考点二抛物线的几何性质(2015浙江,5,5分)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则BCF与ACF的面积之比是() A.|BF|-1|AF|-1B.|BF|2-1|AF|2-1C.|BF|+1|AF|+1D.|BF|2+1|AF|2+1答案A考点三直线与抛物线的位置关系(2017北京,18,14分)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点0,12作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,

14、ON交于点A,B,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:A为线段BM的中点.解析本题考查抛物线方程及性质,直线与抛物线的位置关系.(1)由抛物线C:y2=2px过点P(1,1),得p=12.所以抛物线C的方程为y2=x.所以抛物线C的焦点坐标为14,0,准线方程为x=-14.(2)易知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+12(k0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).由y=kx+12,y2=x得4k2x2+(4k-4)x+1=0.则x1+x2=1-kk2,x1x2=14k2.因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=

15、x,点A的坐标为(x1,x1).直线ON的方程为y=y2x2x,点B的坐标为x1,y2x1x2.因为y1+y2x1x2-2x1=y1x2+y2x1-2x1x2x2=kx1+12x2+kx2+12x1-2x1x2x2=(2k-2)x1x2+12(x2+x1)x2=(2k-2)14k2+1-k2k2x2=0,所以y1+y2x1x2=2x1.故A为线段BM的中点.方法总结在研究直线与圆锥曲线位置关系时,常涉及弦长、中点、面积等问题.一般是先联立方程,再根据根与系数关系,用设而不求,整体代入的技巧进行求解.易错警示在设直线方程时,若要设成y=kx+m的形式,注意先讨论斜率是否存在;若要设成x=ty+n

16、的形式,注意先讨论斜率是不是0.C组教师专用题组考点一抛物线的定义及标准方程(2013课标,11,5分)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为()A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x答案C考点二抛物线的几何性质(2016天津,14,5分)设抛物线x=2pt2,y=2pt(t为参数,p0)的焦点为F,准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B.设C72p,0,AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|,且ACE的面积为32,则p的值为.答案6

17、考点三直线与抛物线的位置关系1.(2016江苏,22,10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y2=2px(p0).(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求证:线段PQ的中点坐标为(2-p,-p);求p的取值范围.解析(1)抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为p2,0,由点p2,0在直线l:x-y-2=0上,得p2-0-2=0,即p=4.所以抛物线C的方程为y2=8x.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点M(x0,y0).因为点P和Q关于直线l对称,所以直线l垂直平

18、分线段PQ,于是直线PQ的斜率为-1,则可设其方程为y=-x+b.证明:由y2=2px,y=-x+b消去x得y2+2py-2pb=0.(*)因为P和Q是抛物线C上的相异两点,所以y1y2,从而=(2p)2-4(-2pb)0,化简得p+2b0.方程(*)的两根为y1,2=-pp2+2pb,从而y0=y1+y22=-p.因为M(x0,y0)在直线l上,所以x0=2-p.因此,线段PQ的中点坐标为(2-p,-p).因为M(2-p,-p)在直线y=-x+b上,所以-p=-(2-p)+b,即b=2-2p.由知p+2b0,于是p+2(2-2p)0,所以pb0)的一个焦点,C1与C2的公共弦的长为26.(1

19、)求C2的方程;(2)过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且AC与BD同向.(i)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率;(ii)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,MFD总是钝角三角形.解析(1)由C1:x2=4y知其焦点F的坐标为(0,1).因为F也是椭圆C2的一个焦点,所以a2-b2=1.又C1与C2的公共弦的长为26,C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为x2=4y,由此易知C1与C2的公共点的坐标为6,32,所以94a2+6b2=1.联立得a2=9,b2=8.故C2的方程为y29+x28=1.(2)如图,设A(x1,y1),B(x

20、2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).(i)因AC与BD同向,且|AC|=|BD|,所以AC=BD,从而x3-x1=x4-x2,即x1-x2=x3-x4,于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4.设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1.由y=kx+1,x2=4y得x2-4kx-4=0.而x1,x2是这个方程的两根,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.由y=kx+1,x28+y29=1得(9+8k2)x2+16kx-64=0.而x3,x4是这个方程的两根,所以x3+x4=-16k9+8k2,x3x4=-649+8k2.将代入,得16(k2+1)=162k2

21、(9+8k2)2+4649+8k2,即16(k2+1)=1629(k2+1)(9+8k2)2,所以(9+8k2)2=169,解得k=64,即直线l的斜率为64.(ii)由x2=4y得y=x2,所以C1在点A处的切线方程为y-y1=x12(x-x1),即y=x1x2-x124.令y=0,得x=x12,即Mx12,0,所以FM=x12,-1.而FA=(x1,y1-1),于是FAFM=x122-y1+1=x124+10,因此AFM是锐角,从而MFD=180-AFM是钝角.故直线l绕点F旋转时,MFD总是钝角三角形.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2020届安徽合肥模拟,11)设抛

22、物线的顶点为坐标原点,焦点F的坐标为(1,0).若该抛物线上两点A,B的横坐标之和为5,则弦长|AB|的最大值为()A.8B.7C.6D.5答案B2.(2019广西南宁二中4月月考,10)若直线l过抛物线的焦点并与抛物线交于A、B两点,O是抛物线的顶点,则ABO的形状是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定答案C3.(2018云南昆明质检,7)已知点M是抛物线C:y2=2px(p0)上一点,F为C的焦点,MF的中点坐标是(2,2),则p的值为()A.1B.2C.3D.4答案D4.(2019甘肃兰州一中模拟,9)过抛物线x2=8y的焦点F作直线l,与抛物线相交于A,B两点,点A

23、在第一象限,点M(12,0),O为坐标原点,则四边形OMAB面积的最小值为()A.10B.13C.36-162D.20答案B5.(2018安徽六安一中4月月考,10)若曲线y=2xx-1的对称中心在抛物线C:y2=2px(p0)上,过抛物线C的焦点F的直线l与C交于A,B两点,则|AF|+2|BF|的最小值是()A.22B.6C.3D.22+3答案D6.(2019河南郑州二模,12)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过焦点F与抛物线C交于A,B两点,且直线l不与x轴垂直,线段AB的垂直平分线与x轴交于点T(5,0),O为坐标原点,则SAOB=()A.22B.3C.6D.36答案A二、填

24、空题(每小题5分,共15分)7.(2020届四川成都摸底考试,16)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l.若位于x轴上方的动点A在准线l上,线段AF与抛物线C相交于点B,且|AF|BF|-|AF|=1,则抛物线C的标准方程为.答案y2=2x8.(2020届四川成都双流中学9月月考,16)已知点A(0,1),抛物线C:y2=ax(a0)的焦点为F,连接FA,与抛物线C相交于点M,延长FA,与抛物线C的准线相交于点N,若|MN|=2|FM|,则实数a的值为.答案4339.(2020届山东夏季高考模拟,15)直线l过抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F(1,0),且与C交于A,B

25、两点,则p=,1|AF|+1|BF|=.(本题第一空2分,第二空3分)答案2;1三、解答题(共40分)10.(2019云南瑞丽质检二,20)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F.(1)若过点F且斜率为-1的直线l与抛物线C交于A,B两点,求|AF|+|BF|的值;(2)过点M(m,0)(m0)作直线l与抛物线C交于A,B两点,且FAFB0),l与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),x1=14y12,x2=14y22.将l的方程代入抛物线的方程,化简得y2-4ty-4m=0,=16(t2+m)0,y1+y2=4t,y1y2=-4m.FA=(x1-1,y1),FB=(x2-1,y2),

26、FAFB=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=116(y1y2)2+y1y2-14(y12+y22)+1=116(y1y2)2+y1y2-14(y1+y2)2-2y1y2+1=m2-6m+1-4t2.又FAFB0,m2-6m+1-4t20恒成立,m2-6m+14t2恒成立.4t20,只需m2-6m+10即可,解得3-22m2),焦点为F,准线l与x轴交于点M,P(x0,4)为抛物线上一点,过P作PNl,垂足为N,若四边形MFPN的周长为16.(1)求p的值;(2)过点M作直线交抛物线于点A,B,设直线FA,FB的斜率分别为k1,k2,求k1+k2的值.解析本题考查了直线与抛物线的位置关系,

27、直线的斜率,考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.(1)由P(x0,4)为抛物线上一点,可得2px0=16,由抛物线的定义可得|PF|=|PN|=x0+p2,因为四边形MFPN的周长为16,所以p+2x0+p2+4=16,联立,解得p=4或p=2(舍去).(2)由(1)得抛物线的方程为y2=8x,故抛物线的准线方程为x=-2,M(-2,0),F(2,0),显然直线AB的斜率不为0,可设直线AB的方程为x=my-2,与抛物线方程联立可得y2-8my+16=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),可得=64m2-640,即m1或m-1,y1+y2=8m,y1y2=16,则k1+k2=y1x1-2+

28、y2x2-2=y1(my2-4)+y2(my1-4)(x1-2)(x2-2)=2my1y2-4(y1+y2)(x1-2)(x2-2)=32m-32m(x1-2)(x2-2)=0,则k1+k2的值为0.12.(2020届陕西部分学校摸底考试,21)已知圆O:x2+y2=1和抛物线E:y=x2-2,O为坐标原点.(1)已知直线l与圆O相切,与抛物线E交于M,N两点,且满足OMON,求直线l的方程;(2)过抛物线E上一点P(x0,y0)作两条直线PQ,PR与圆O相切,且分别交抛物线E于Q,R两点,若直线QR的斜率为-3,求点P的坐标.解析本题主要考查直线与圆,直线与抛物线的位置关系,直线的方程与斜率

29、,考查方程思想,设而不求的思想,考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.(1)由题意知直线l的斜率存在,设l:y=kx+b,M(x1,y1),N(x2,y2),由l与圆O相切,得|b|k2+1=1,所以b2=k2+1.由y=kx+b,y=x2-2消去y得x2-kx-b-2=0,所以x1+x2=k,x1x2=-b-2.由OMON,得OMON=0,即x1x2+y1y2=0,所以x1x2+(kx1+b)(kx2+b)=0,所以(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2=0,所以b2(-b-2)+(b2-1)b+b2=0,解得b=-1或b=0(舍去).所以k=0,故直线l的方程为y=-1.(2)设Q(

30、x3,y3),R(x4,y4),则kRQ=y3-y4x3-x4=(x32-2)-(x42-2)x3-x4=x3+x4,所以x3+x4=-3.由题意知直线PQ,PR的斜率均存在.设PQ:y-y0=k1(x-x0).由直线PQ与圆O相切,得|y0-k1x0|k12+1=1,即(x02-1)k12-2x0y0k1+y02-1=0,设PR:y-y0=k2(x-x0),同理可得(x02-1)k22-2x0y0k2+y02-1=0.由题意可得x021,故k1,k2是方程(x02-1)k2-2x0y0k+y02-1=0的两个根,所以k1+k2=2x0y0x02-1.由y=k1x+y0-k1x0,y=x2-2,得x2-k1x+k1x0-y0-2=0,故x0+x3=k1,同理可得x0+x4=k2,则2x0+x3+x4=k1+k2,即2x0-3=2x0y0x02-1,所以2x0-3=2x0(x02-2)x02-1,解得x0=-33或x0=3.当x0=-33时,y0=-53;当x0=3时,y0=1.故P的坐标为-33,-53或(3,1).