2021届课标版高考文科数学大一轮复习精练：§9.2 直线、圆的位置关系（试题部分） .docx

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1、9.2直线、圆的位置关系探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点点与直线、直线与直线的位置关系能根据两条直线的斜率判断两直线的位置关系;能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标;掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两平行直线间的距离2016课标全国,6,5分点到直线的距离圆的方程2015课标全国,7,5分两点间的距离圆的方程直线、圆的位置关系能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系;能用直线和圆的方程解决一些简单的问题;初步了解用代数方法处理几何问题的思想2018课标全国,8,5分与圆有关的最值问题点到

2、直线的距离公式,三角形的面积2018课标全国,15,5分圆的弦长;直线与圆的位置关系2016课标全国,15,5分直线与圆的位置关系点到直线的距离公式,解三角形分析解读从近几年的高考试题来看,直线与圆以及圆与圆的位置关系一直是高考考查的重点和热点问题,题型以选择题和填空题为主,分值大约为5分.主要考查:方程中含有参数的直线与圆的位置关系的判定;利用相切或相交的条件求参数的值或取值范围;利用相切或相交的条件求圆的切线长或弦长;由两圆的位置关系判定两圆的公切线条数.同时考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力,考查化归与转化思想、分类讨论思想、方程思想以及数形结合思想的应用.破考点 练考向【考点集训】考

3、点一点与直线、直线与直线的位置关系1.经过两点C(3,1),D(-2,0)的直线l1与经过点M(1,-4)且斜率为15的直线l2的位置关系为()A.平行 B.垂直 C.重合 D.无法确定答案A2.(2019宁夏一中月考,6)已知A(-1,2),B(1,3),C(0,-2),ADBC,ABCD,则点D的坐标为()A.-97,47 B.547,137 C.383,133 D.387,57答案D3.(2020届豫北六校10月联考,13)直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与直线l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,则k=.答案3或5考点二直线、圆的位置关系1.(2019山东枣庄第二次检测,

4、5)两圆(x-2)2+(y-1)2=4与(x+1)2+(y-2)2=1的公切线有()A.1条 B.2条C.3条 D.4条答案D2.(2019湖南五市十校高三联考,6)两圆x2+y2+4x-4y=0和x2+y2+2x-8=0相交于两点M,N,则线段MN的长为()A.355 B.4 C.655 D.1255答案D3.(2020届皖南八校第二次联考,9)已知直线l:(2-a)x-y+1-a=0a52,圆C:x2+y2-2x+4y-11=0,则l与圆C的位置关系为()A.相离 B.相切C.相交 D.以上均有可能答案C4.已知圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0.(1)当a为何值

5、时,直线l与圆C相切?(2)当直线l与圆C相交于A,B两点,且|AB|=22时,求直线l的方程.答案将圆的方程x2+y2-8y+12=0化成标准方程为x2+(y-4)2=4,则圆心为(0,4),半径为2.(1)若直线l与圆C相切,则有|4+2a|a2+1=2,解得a=-34.(2)过圆心C作CDAB,连接AC,则根据题意和圆的性质,得|CD|=|4+2a|a2+1,|CD|2+|DA|2=|AC|2=22,|DA|=12|AB|=2,解得a=-7或a=-1.故所求直线方程为7x-y+14=0或x-y+2=0.炼技法 提能力【方法集训】方法1直线与圆、圆与圆位置关系的判断方法1.(2016山东,

6、7,5分)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a0)截直线x+y=0所得线段的长度是22.则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A.内切 B.相交C.外切 D.相离答案B2.(2018广东深圳二模,7)已知点P(1,m)在椭圆x24+y2=1的外部,则直线y=2mx+3与圆x2+y2=1的位置关系为()A.相离 B.相交C.相切 D.相交或相切答案B3.(2019河南郑州外国语中学调研,9)已知圆C1:(x+2a)2+y2=4和圆C2:x2+(y-b)2=1只有一条公切线,若a,bR且ab0,则1a2+1b2的最小值为()A.2 B.4 C.8 D.9答案D方法2求解与圆有

7、关的切线和弦长问题的方法1.(2019豫南九校联考,9)已知直线l:x+ay-1=0(aR)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴,过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=()A.2 B.42 C.6 D.210答案C2.(2020届湖南长沙一中11月周考,20)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4,直线l1过定点A(1,0).(1)若l1与圆C相切,求l1的方程;(2)若l1与圆C相交于P,Q两点,求三角形CPQ面积的最大值,并求此时直线l1的方程.答案(1)若直线l1的斜率不存在,则直线l1:x=1,符合题意.若直线l1的斜率存在,设直线l1的方程为y=k(x

8、-1),即kx-y-k=0.由题意知,圆心(3,4)到直线l1的距离等于半径2,即|3k-4-k|k2+1=2,解得k=34.此时l1的方程为3x-4y-3=0.故所求直线l1的方程是x=1或3x-4y-3=0.(2)直线l1与圆C相交,斜率必定存在,且不为0,设直线l1的方程为kx-y-k=0,则圆心C到直线l1的距离d=|2k-4|1+k2.又CPQ的面积S=12d24-d2=d4-d2=4d2-d4=-(d2-2)2+4,当d=2时,S取得最大值2.d=|2k-4|1+k2=2,解得k=1或k=7.故直线l1的方程为x-y-1=0或7x-y-7=0.方法3解决对称问题的方法1.(2020

9、届云南玉溪一中10月月考,14)已知点P在直线l:3x-y-1=0上,A(4,1),B(0,4),则|PA|-|PB|的值最大时点P的坐标为.答案(2,5)2.(2020届豫南、豫北精英对抗赛,14)已知ABC的一个顶点A(2,-4),且B,C的平分线所在直线的方程分别为x+y-2=0,x-3y-6=0,则BC边所在的直线方程为.答案x+7y-6=03.一条光线经过点P(2,3)射在直线l:x+y+1=0上,反射后经过点Q(1,1),求:(1)入射光线所在直线的方程;(2)这条光线从P到Q所经路线的长度.答案(1)设点Q(x,y)为Q关于直线l的对称点,QQ交l于M点,kl=-1,kQQ=1,

10、QQ所在直线的方程为y-1=1(x-1),即x-y=0.由x+y+1=0,x-y=0,解得x=-12,y=-12,交点M-12,-12,1+x2=-12,1+y2=-12,解得x=-2,y=-2,Q(-2,-2).设入射光线与l交于点N,则P,N,Q三点共线,又P(2,3),Q(-2,-2),故入射光线所在直线的方程为y-(-2)3-(-2)=x-(-2)2-(-2),即5x-4y+2=0.(2)|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ|=|PQ|=2-(-2)2+3-(-2)2=41,故这条光线从P到Q所经路线的长度为41.【五年高考】A组统一命题课标卷题组考点一点与直线、直线与直线的位置关系1

11、.(2016课标全国,6,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A.-43 B.-34 C.3 D.2答案A2.(2015课标,7,5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=()A.26 B.8 C.46 D.10答案C考点二直线、圆的位置关系1.(2018课标全国,8,5分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则ABP面积的取值范围是()A.2,6 B.4,8C.2,32D.22,32答案A2.(2018课标全国,15,5分)直线y=x+1与圆x

12、2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=.答案223.(2016课标全国,15,5分)已知直线l:x-3y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.则|CD|=.答案44.(2017课标全国,20,12分)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:(1)能否出现ACBC的情况?说明理由;(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.答案(1)不能出现ACBC的情况,理由如下:设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2满足x2+mx-2=0,所以x1x2

13、=-2.又C的坐标为(0,1),故AC的斜率与BC的斜率之积为-1x1-1x2=-12,所以不能出现ACBC的情况.(2)证明:BC的中点坐标为x22,12,可得BC的中垂线方程为y-12=x2x-x22.由(1)可得x1+x2=-m,所以AB的中垂线方程为x=-m2.联立x=-m2,y-12=x2x-x22,又x22+mx2-2=0,可得x=-m2,y=-12.所以过A,B,C三点的圆的圆心坐标为-m2,-12,半径r=m2+92.故圆在y轴上截得的弦长为2r2-m22=3,即过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.B组自主命题省(区、市)卷题组1.(2015湖南,13,5分)若直线3

14、x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r0)相交于A,B两点,且AOB=120(O为坐标原点),则r=.答案22.(2018江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若ABCD=0,则点A的横坐标为.答案3C组教师专用题组1.(2015安徽,8,5分)直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是()A.-2或12B.2或-12 C.-2或-12D.2或12答案D2.(2014北京,7,5分)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m0).若

15、圆C上存在点P,使得APB=90,则m的最大值为()A.7 B.6 C.5 D.4答案B3.(2014浙江,5,5分)已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是()A.-2 B.-4 C.-6 D.-8答案B4.(2014课标,12,5分)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得OMN=45,则x0的取值范围是()A.-1,1 B.-12,12 C.-2,2D.-22,22答案A5.(2016课标全国,15,5分)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=23,则圆C的面积为.答案46.(

16、2015山东,13,5分)过点P(1,3)作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则PAPB=.答案327.(2015重庆,12,5分)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为.答案x+2y-5=08.(2014重庆,14,5分)已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B两点,且ACBC,则实数a的值为.答案0或69.(2017江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若PAPB20,则点P的横坐标的取值范围是.答案-52,110.(2014课标,20,12

17、分)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及POM的面积.答案(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.设M(x,y),则CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y).由题设知CMMP=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,2为半径的圆.由于|OP

18、|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ONPM.因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-13,故l的方程为y=-13x+83.又|OM|=|OP|=22,O到l的距离为4105,|PM|=4105,所以POM的面积为165.11.(2011课标,20,12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上.(1)求圆C的方程;(2)若圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点,且OAOB,求a的值.答案(1)曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(3+22,0),(3-22,0).故可设C的圆心为(3,t),则有32+(t-1)

19、2=(22)2+t2,解得t=1.则圆C的半径为32+(t-1)2=3.所以圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组:x-y+a=0,(x-3)2+(y-1)2=9.消去y,得到方程2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0.由已知可得,判别式=56-16a-4a20.因此x1,2=(8-2a)56-16a-4a24,从而x1+x2=4-a,x1x2=a2-2a+12.由于OAOB,可得x1x2+y1y2=0.又y1=x1+a,y2=x2+a,所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0.由,得a=-1,满足0,故a=-1.12.(

20、2015课标,20,12分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.(1)求k的取值范围;(2)若OMON=12,其中O为坐标原点,求|MN|.答案(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.因为l与C交于两点,所以|2k-3+1|1+k21.解得4-73k0,所以BAD为锐角.所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上,P和Q均不能选在D处.(3)先讨论点P的位置.当OBP90时,在PP1B中,PBP1B=15.由上可知,d15.再讨论点Q的位置.由(2)知,要使得QA15,点Q只有位于点C的右侧

21、,才能符合规划要求.当QA=15时,CQ=QA2-AC2=152-62=321. 此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上,当PBAB,点Q位于点C右侧,且CQ=321时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+321.因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+321)百米.解法二:(1)如图,过O作OHl,垂足为H.以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立平面直角坐标系.因为BD=12,AC=6,所以OH=9,直线l的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为3,-3.因为AB为圆O的直径,AB=10,所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A(4,3),B(-4

22、,-3),直线AB的斜率为34.因为PBAB,所以直线PB的斜率为-43,直线PB的方程为y=-43x-253.所以P(-13,9),PB=(-13+4)2+(9+3)2=15.因此道路PB的长为15(百米).(2)若P在D处,取线段BD上一点E(-4,0),则EO=45,所以P选在D处不满足规划要求.若Q在D处,连接AD,由(1)知D(-4,9),又A(4,3),所以线段AD:y=-34x+6(-4x4).在线段AD上取点M3,154,因为OM=32+154232+42=5,所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上,P和Q均不能选在D处.(3)先讨

23、论点P的位置.当OBP90时,在PP1B中,PBP1B=15.由上可知,d15.再讨论点Q的位置.由(2)知,要使得QA15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,设Q(a,9),由AQ=(a-4)2+(9-3)2=15(a4),得a=4+321,所以Q(4+321,9).此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上,当P(-13,9),Q(4+321,9)时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=4+321-(-13)=17+321.因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+321)百米.【三年模拟】时间:60分钟分值:65分一、选择题(每小题5分,共45分

24、)1.(2020届贵州遵义一中、凯里中学等六校10月联考,7)已知直线l过点P(-2,0),当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时,其斜率k的取值范围为()A.(-22,22) B.-24,24C.(-2,2) D.-18,18答案B2.(2020届甘肃兰州、张掖9月联考,9)若直线x-my+m=0与圆(x-1)2+y2=1相交,且两个交点位于坐标平面上不同的象限,则m的取值范围是()A.(0,1) B.(0,2) C.(-1,0) D.(-2,0)答案D3.(2018山西临汾模拟,8)设直线l1:x-2y+1=0与直线l2:mx+y+3=0的交点为A,P,Q分别为l1,l2上的点,点M为P

25、Q的中点,若|AM|=12|PQ|,则m的值为()A.2 B.-2 C.3 D.-3答案A4.(2020届安徽合肥调研,5)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆截直线x+ay+2=0所得弦长的最小值等于()A.23 B.43 C.13 D.213答案B5.(2019广东天河一模,10)已知圆C的方程为x2-2x+y2=0,直线l:kx-y+2-2k=0与圆C交于A,B两点,则当ABC面积最大时,直线l的斜率k为()A.1 B.6 C.1或7 D.2或6答案C6.(2020届江西南昌三校10月联考,7)若直线y=k(x-2)+4与曲线y=4-x2有两个交点,则k的取值范围是()A

26、.1,+) B.-1,-34C.34,1 D.(-,-1答案C7.(2019广西柳州模拟,10)已知点M是抛物线y2=2x上的动点,以点M为圆心的圆被y轴截得的弦长为8,则该圆被x轴截得的弦长的最小值为()A.10 B.43C.8 D.215答案D8.(2020届豫北六校第三次联考,8)已知直线y=x+m和圆x2+y2=1交于A,B两点,O为坐标原点,若AOAB=32,则实数m的值为()A.1 B.32 C.22 D.12答案C9.(2019河南天一大联考诊断卷A,11)过点A(0,a)作倾斜角为锐角的直线l,若圆C:(x-a)2+y2=2上的点与直线l上的点的距离的最小值为2,则实数a的取值

27、范围是()A.(-22,-22,22)B.(-,-22,+)C.(-22-2,-22,22+2)D.-2,2答案A二、解答题(共20分)10.(2020届百师联盟第一次联考,20)已知圆C:(x-a)2+(y-1)2=13(aR),点P(3,3)在圆内,在过点P所作的圆的所有弦中,弦长最小值为42.(1)求实数a的值;(2)若点M为圆外的动点,过点M向圆C所作的两条切线始终互相垂直,求点M的轨迹方程.答案(1)易知圆心坐标为(a,1),半径r=13,又点P(3,3)在圆C内,所以(3-a)2+(3-1)213,解得0a0),由题意得a0,b=0,|a|=r,|a-3b+2|2=r,解得a=2,b=0,r=2.则圆C的标准方程为(x-2)2+y2=4.(2)将y=x+m代入圆C的方程,消去y并整理得2x2+2(m-2)x+m2=0,则=4(m-2)2-8m20,得-2-22m0,即x1x2+(x1+m-1)(x2+m-1)0m2+m-10,解得m-1+52.故实数m的取值范围是-2-22,-1-52-1+52,-2+22.