2021届课标版高考文科数学大一轮复习精练：§12 推理与证明（试题部分） .docx

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1、专题十二推理与证明探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点合情推理与演绎推理了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用;了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行简单的推理;了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异2019课标全国,5,5分合情推理2016课标全国,16,5分合情推理2019课标全国,4,5分合情推理直接证明与间接证明了解直接证明的两种基本方法:分析法与综合法,并了解分析法和综合法的思考过程、特点;了解间接证明的一种基本方法:反证法,并了解反证法的思考过程、特点2018江苏,20,16

2、分直接证明等差、等比数列的综合应用分析解读本专题在高考中主要考查以下几个方面:1.归纳推理与类比推理以选择题、填空题的形式出现,考查学生的逻辑推理能力,而演绎推理多出现在立体几何的证明中;2.直接证明与间接证明作为证明和推理数学命题的方法,常以不等式、立体几何、解析几何、函数为载体,考查综合法、分析法及反证法.本专题内容在高考中的分值分配:归纳推理与类比推理分值为5分左右,属于中档题;证明问题以解答题形式出现,分值为12分左右,属于中高档题.破考点 练考向【考点集训】考点一合情推理与演绎推理1.(2019安徽六校教育研究会第一次素质测试,8)如图,第1个图形由正三角形扩展而成,共12个顶点.第

3、n个图形由正(n+2)边形扩展而来,其中nN*,则第n个图形的顶点个数是() A.(2n+1)(2n+2)B.3(2n+2)C.2n(5n+1)D.(n+2)(n+3)答案D2.(命题标准样题,14)甲、乙、丙、丁参加一比赛,赛前甲、乙、丙分别作出预测.甲说:乙会获得奖牌;乙说:丙会获得金牌;丙说:丁不会获得银牌.比赛结果有3人分别获得金牌、银牌和铜牌,另外1人没获得奖牌.如果甲、乙、丙中有一人获得了金牌,而且只有获得金牌的那个人预测正确,则获得金牌的是.答案甲3.(2019广东珠海期末,14)某班级的四位学生A、B、C、D参加了文科综合知识竞赛,在竞赛结果公布前,地理老师预测得冠军的是A或B

4、;历史老师预测得冠军的是C;政治老师预测得冠军的不可能是A或D;语文老师预测得冠军的是B,而班主任老师看了竞赛结果后说以上只有两位老师都说对了,则得冠军的是.答案C考点二直接证明与间接证明1.(2018湖北普通高中联考,7)分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:设abc,且a+b+c=0,求证:b2-ac0 B.c-a0C.(c-b)(c-a)0 D.(c-b)(c-a)0答案C2.(2020届河南许昌质量检测,7)用反证法证明命题“已知x,yN*,如果xy可被7整除,那么x,y至少有一个能被7整除”时,假设的内容是()A.x,y都不能被7整除 B.x,y都能被7整除C.x,y只有一个能被7

5、整除 D.只有x不能被7整除答案A炼技法 提能力【方法集训】方法归纳推理与类比推理的应用1.(2019江西吉安教学质量检测,9)斐波那契数列又称黄金分割数列,指的是这样一个数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,在数学上,斐波那契数列an定义为a1=1,a2=1,an+2=an+an+1,斐波那契数列有种看起来很神奇的巧合,如根据an+2=an+an+1可得an=an+2-an+1,所以a1+a2+an=(a3-a2)+(a4-a3)+(an+2-an+1)=an+2-a2=an+2-1,类比这一方法,可得a12+a22+a102=()A.714B.1 870C.4 895

6、D.4 896答案C2.(2018广东肇庆一模,14)观察下列不等式:1+12232,1+122+13253,1+122+132+14274,照此规律,第五个不等式为.答案1+122+132+142+152+1620,mN*,q(1,m2,证明:存在dR,使得|an-bn|b1对n=2,3,m+1均成立,并求d的取值范围(用b1,m,q表示).答案(1)由条件知an=(n-1)d,bn=2n-1.因为|an-bn|b1对n=1,2,3,4均成立,即|(n-1)d-2n-1|1对n=1,2,3,4均成立.即11,1d3,32d5,73d9,得73d52.因此,d的取值范围为73,52.(2)由条

7、件知:an=b1+(n-1)d,bn=b1qn-1.若存在dR,使得|an-bn|b1(n=2,3,m+1)均成立,即|b1+(n-1)d-b1qn-1|b1(n=2,3,m+1).即当n=2,3,m+1时,d满足qn-1-2n-1b1dqn-1n-1b1.因为q(1,m2,所以10,对n=2,3,m+1均成立.因此,取d=0时,|an-bn|b1对n=2,3,m+1均成立.下面讨论数列qn-1-2n-1的最大值和数列qn-1n-1的最小值(n=2,3,m+1).当2nm时,qn-2n-qn-1-2n-1=nqn-qn-nqn-1+2n(n-1)=n(qn-qn-1)-qn+2n(n-1),当

8、10.因此,当2nm+1时, 数列qn-1-2n-1单调递增,故数列qn-1-2n-1的最大值为qm-2m.设f(x)=2x(1-x),当x0时,f (x)=(ln 2-1-xln 2)2x0.所以f(x)单调递减,从而f(x)f(0)=1.当2nm时,qnnqn-1n-1=q(n-1)n21n1-1n=f1n1.因此,当2nm+1时,数列qn-1n-1单调递减,故数列qn-1n-1的最小值为qmm.因此,d的取值范围为b1(qm-2)m,b1qmm.C组教师专用题组考点一合情推理与演绎推理1.(2016北京,8,5分)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表

9、为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.学生序号12345678910立定跳远(单位:米)1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳绳(单位:次)63a7560637270a-1b65在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则()A.2号学生进入30秒跳绳决赛B.5号学生进入30秒跳绳决赛C.8号学生进入30秒跳绳决赛D.9号学生进入30秒跳绳决赛答案B2.(2014课标,14,5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C

10、城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为.答案A3.(2014福建,16,4分)已知集合a,b,c=0,1,2,且下列三个关系:a2;b=2;c0有且只有一个正确,则100a+10b+c等于.答案2014.(2014江西,21,14分)将连续正整数1,2,n(nN*)从小到大排列构成一个数123n,F(n)为这个数的位数(如n=12时,此数为123 456 789 101 112,共有15个数字,F(12)=15),现从这个数中随机取一个数字,p(n)为恰好取到0的概率.(1)求p(100);(2)当n2 014时,求F(n)的表达式;(3)令g(n)为这个数中数字0的个数,

11、 f(n)为这个数中数字9的个数,h(n)=f(n)-g(n),S=n|h(n)=1,n100,nN*,求当nS时p(n)的最大值.答案(1)当n=100时,这个数中总共有192个数字,其中数字0的个数为11,所以恰好取到0的概率为p(100)=11192.(2)F(n)=n,1n9,2n-9,10n99,3n-108,100n999,4n-1 107,1 000n2 014.(3)当n=b(1b9,bN*)时,g(n)=0;当n=10k+b(1k9,0b9,kN*,bN)时,g(n)=k;当n=100时,g(n)=11,即g(n)=0,1n9,k,n=10k+b,1k9,0b9,kN*,bN

12、,11,n=100.同理有f(n)=0,1n8,k,n=10k+b-1,n-80,89n98,20,n=99,100.1k8,0b9,kN*,bN,由h(n)=f(n)-g(n)=1,可知n=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90.所以当n100时,S=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90.当n=9时,p(9)=0;当n=90时,p(90)=g(90)F(90)=9171=119;当n=10k+9(1k8,kN*)时,p(n)=g(n)F(n)=k2n-9=k20k+9,由于y=k20k+9关于k单调递增,故当n=10k+9(1k8,kN*)时,p(n)的

13、最大值为p(89)=8169.又8169119,所以当nS时,p(n)的最大值为119.5.(2014天津,20,14分)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M=0,1,2,q-1,集合A=x|x=x1+x2q+xnqn-1,xiM,i=1,2,n.(1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;(2)设s,tA,s=a1+a2q+anqn-1,t=b1+b2q+bnqn-1,其中ai,biM,i=1,2,n.证明:若anbn,则st.答案(1)当q=2,n=3时,M=0,1,A=x|x=x1+x22+x322,xiM,i=1,2,3.可得,A=0,1,2,3,4,5,6,7.(2)证明:

14、由s,tA,s=a1+a2q+anqn-1,t=b1+b2q+bnqn-1,ai,biM,i=1,2,n及anbn,可得s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1(q-1)+(q-1)q+(q-1)qn-2-qn-1=(q-1)(1-qn-1)1-q-qn-1=-10.所以,st.考点二直接证明与间接证明1.(2016浙江,20,15分)设函数f(x)=x3+11+x,x0,1.证明:(1)f(x)1-x+x2;(2)3434,所以f(x)34.综上,34f(x)32.2.(2016江苏,20,16分)记U=1,2,100.对数列an(nN

15、*)和U的子集T,若T=,定义ST=0;若T=t1,t2,tk,定义ST=at1+at2+atk.例如:T=1,3,66时,ST=a1+a3+a66.现设an(nN*)是公比为3的等比数列,且当T=2,4时,ST=30.(1)求数列an的通项公式;(2)对任意正整数k(1k100),若T1,2,k,求证:ST0,nN*,所以STa1+a2+ak=1+3+3k-1=12(3k-1)3k.因此,STak+1.(3)下面分三种情况证明.若D是C的子集,则SC+SCD=SC+SDSD+SD=2SD.若C是D的子集,则SC+SCD=SC+SC=2SC2SD.若D不是C的子集,且C不是D的子集.令E=CU

16、D,F=DUC,则E,F,EF=.于是SC=SE+SCD,SD=SF+SCD,进而由SCSD得SESF.设k为E中的最大数,l为F中的最大数,则k1,l1,kl.由(2)知,SEak+1.于是3l-1=alSFSEak+1=3k,所以l-1k,即lk.又kl,故lk-1.从而SFa1+a2+al=1+3+3l-1=3l-123k-1-12=ak-12SE-12,故SE2SF+1,所以SC-SCD2(SD-SCD)+1,即SC+SCD2SD+1.综合得,SC+SCD2SD.【三年模拟】时间:45分钟分值:60分一、选择题(每小题5分,共45分)1.(命题标准样题,3)2013年华人数学家张益唐证

17、明了孪生素数猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一,可以这样描述:存在无穷多个素数p,使得p+2是素数,素数对(p, p+2)称为孪生素数.则由不超过20的素数组成的孪生素数共有()A.2个 B.3个 C.4个 D.5个答案C2.(2018广东六校第三次联考,10)自主招生联盟成形于2009年清华大学等五校联考,主要包括“北约”联盟,“华约”联盟,“卓越”联盟和“京派”联盟.调查某高中学校学生自主招生报考的情况,得到如下结果:报考“北约”联盟的学生,都没报考“华约”联盟;报考“华约”联盟的学生,也报考了“京派”联盟;报考“卓越”联盟的学生,都没报考“京派”联

18、盟;不报考“卓越”联盟的学生,就报考“华约”联盟.根据上述调查结果,下列结论错误的是()A.没有同时报考“华约”和“卓越”联盟的学生B.报考“华约”和“京派”联盟的考生一样C.报考“北约”联盟的考生也报考了“卓越”联盟D.报考“京派”联盟的考生也报考了“北约”联盟答案D3.(2019河北衡水第十三中学质检(四),6)平面内的一条直线将平面分成2部分,两条相交直线将平面分成4部分,三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分,则平面内六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为()A.16 B.20C.21 D.22答案D4.(2020届宁夏大武口质量检测,4)大前提:奇函数的图象关于原

19、点对称,小前提:f(x)=1x是奇函数,结论:f(x)=1x的图象关于原点对称,则推理过程()A.正确B.因大前提错误导致结论错误C.因小前提错误导致结论错误D.因推理形式错误导致结论错误答案A5.(2020届河南南阳质量检测,8)我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里出现了如图所示的表,即杨辉三角,这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中,已知第n行的所有数字之和为2n-1,若去除所有为1的项,依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,则此数列的前56项和为()A.2 060 B.2 038 C.4 084 D.4 108答案C6.(2019安徽合肥一中、马鞍

20、山二中等六校教育研究会第二次联考,12)设ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,则下列命题正确的是()(1)若a2+b22;(2)若abc2,则C3;(3)若a3+b3=c3,则C(a+b)c,则C2;(5)若(a2+b2)c22a2b2,则C80;N是2的整数次幂,则满足条件的最小的n为()A.21 B.91 C.95 D.101答案C9.(2020届河南安阳质量检测,6)中国古代用算筹来进行记数,算筹的摆放形式有纵、横两种形式(如图所示),表示一个多位数时,像阿拉伯记数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,其中个位、百位、万位、用纵式表示,十位、千位

21、、十万位、用横式表示,则56 846可用算筹表示为()答案B二、填空题(每小题5分,共15分)10.(2019广东惠州模拟,15)我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算术一书中,用图的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列,俗称“杨辉三角形”,该数表的规律是每行首尾数字均为1,从第三行开始,其余的数字是它“上方”左右两个数字之和.现将杨辉三角形中的奇数换成1,偶数换成0,得到图所示的由数字0和1组成的三角形数表,由上往下数,记第n行各数字的和为Sn,如S1=1,S2=2,S3=2,S4=4,S5=2,则S33=.答案211.(2018河北衡水中学模拟,16)数列an满足an+1=12an,an是正偶数,3an+1,an是正奇数,已知a7=2,an的前7项和的最大值为S,把a1的所有可能取值从小到大排成一个新数列bn,bn所有项的和为T,则S-T=.答案6412.(命题标准样题,15)两位同学在研究三角形时,分别用三角形的周长和面积刻画三角形三个顶点的“集中程度”,你认为这两位同学的刻画方式更合理的是;请你再给出一种刻画三角形三个顶点的“集中程度”的方式: .答案三角形的周长;三角形最长边的长度、三角形三条中线的长度和、三角形三个顶点到内心的距离之和(其他合理答案均可)