2021届课标版高考理科数学大一轮复习精练:专题十三 推理与证明(试题部分) .docx
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1、专题十三推理与证明探考情 悟真题【真题探秘】【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.合情推理与演绎推理(1)了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用.(2)了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理.(3)了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异2019课标,4,5分运用黄金分割估计身高不等式性质2017课标,7,5分根据给出的说法进行推理2016课标,15,5分根据给出的说法进行推理2.直接证明与间接证明 (1)了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点.(2)
2、了解间接证明的一种基本方法反证法;了解反证法的思考过程、特点2018江苏,19,16分直接证明利用导数研究函数的性质3.数学归纳法 了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题2017浙江,22,15分用数学归纳法证明 数列及不等式的性质分析解读1.能利用已知结论类比未知结论或归纳猜想结论并加以证明.2.了解直接证明与间接证明的基本方法,体会数学证明的思想方法.3.掌握“归纳猜想证明”的推理方法及数学归纳法的证明步骤.4.归纳推理与类比推理是高考的热点.本章在高考中的推理问题一般以填空题形式出现,分值约为5分,属中档题;证明问题一般以解答题形式出现,分值约为12分,属中高档题.破
3、考点 练考向【考点集训】考点一合情推理与演绎推理1.(2019湖南株洲模拟,5)下面四个推理中,不属于演绎推理的是()A.因为函数y=sin x(xR)的值域为-1,1,2x-1R,所以y=sin(2x-1)(xR)的值域为-1,1B.昆虫都是6条腿,竹节虫是昆虫,所以竹节虫有6条腿C.在平面中,对于三条不同的直线a,b,c,若ab,bc,则ac,将此结论放到空间中也是如此D.如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行,那么,墙上字迹离地的高度大约是他的身高,凶手在墙上写字的位置与他的视线平行,福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六尺多,于是,他得出了凶手身高六尺多的结论答案C2.(2019安徽阜阳模
4、拟,6)“结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶,人们通过在绳子上打结来记录数量.如图所示是一位农民记录自己采摘果实的个数.在从右向左依次排列的不同绳子上打结,满四进一.根据图示可知,农民采摘的果实个数是()A.493B.383C.183D.123答案C3.(2019江西赣州一模,14)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量.在平面直角坐标系中,利用求动点轨迹方程的方法,可以求出过点A(-2,3)且法向量为n=(4,-1)的直线(点法式)方程为4(x+2)+(-1)(y-3)=0,化简得4x-y+11=0.类比以上方法,在空间直角坐标系中,经过点B(2,3,4)且法向量为n=(-1,-2
5、,1)的平面(点法式)方程为.答案x+2y-z-4=0考点二直接证明与间接证明1.(2019湖南张家界模拟,5)用反证法证明命题“已知a、b、c为非零实数,且a+b+c0,ab+bc+ca0,求证a、b、c中至少有两个为正数”时,要做的假设是()A.a、b、c中至少有两个为负数B.a、b、c中至多有一个为负数C.a、b、c中至多有两个为正数D.a、b、c中至多有两个为负数答案A2.(2018湖北普通高中联考,7)分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:设abc,且a+b+c=0,求证:b2-ac0B.c-a0C.(c-b)(c-a)0D.(c-b)(c-a)0答案C考点三数学归纳法(2020届
6、吉林延边二中高三开学考试,4)用数学归纳法证明“1+2+3+n3=n6+n32,nN*”,则当n=k+1(kN*)时,左端应在n=k的基础上加上()A.(k3+1)+(k3+2)+(k+1)3B.(k3+1)+(k3+2)+(k3+k+1)C.(k+1)3D.(k+1)6+(k+1)32答案A炼技法 提能力【方法集训】方法归纳推理与类比推理的应用1.(2019湖南邵阳二模,9)在平面几何里有射影定理:设三角形ABC的两边ABAC,D是A点在BC上的射影,则AB=BDBC.拓展到空间,在四面体ABCD中,AD面ABC,点O是A在面BCD内的射影,且O在BCD内,类比平面三角形射影定理,得出正确的
7、结论是()A.SABC2=SBCOSBCDB.SABD2=SBODSBOCC.SADC2=SDOCSBOCD.SBDC2=SABDSABC答案A2.(2019安徽六安高三下学期开学考试,16)观察下列等式:13+23=1;73+83+103+113=12;163+173+193+203+223+233=39;则当n0,判断是否存在b0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+)内存在“S点”,并说明理由.解析本题主要考查利用导数研究初等函数的性质,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力以及逻辑推理能力.(1)证明:函数f(x)=x,g(x)=x2+2x-2,则f (x)=1,g(x)=2x
8、+2,由f(x)=g(x)且f (x)=g(x),得x=x2+2x-2,1=2x+2,此方程组无解.因此, f(x)=x与g(x)=x2+2x-2不存在“S点”.(2)函数f(x)=ax2-1,g(x)=ln x,则f (x)=2ax,g(x)=1x,设x0为f(x)与g(x)的“S点”,由f(x0)=g(x0)且f (x0)=g(x0),得ax02-1=ln x0,2ax0=1x0,即ax02-1=ln x0,2ax02=1,(*)得ln x0=-12,即x0=e-12,则a=12(e-12)2=e2.当a=e2时,x0=e-12满足方程组(*),即x0为f(x)与g(x)的“S点”,因此,
9、a的值为e2.(3)f (x)=-2x,g(x)=bex(x-1)x2,x0, f (x0)=g(x0)bex0=-2x03x0-10x0(0,1),f(x0)=g(x0)-x02+a=bex0x0=-2x02x0-1a=x02-2x02x0-1,令h(x)=x2-2x2x-1-a=-x3+3x2+ax-a1-x,x(0,1),a0,设m(x)=-x3+3x2+ax-a,x(0,1),a0,则m(0)=-a0m(0)m(1)0,存在b0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+)内存在“S点”.思路分析本题是新定义情境下运用导数研究函数零点问题,前两问只需按新定义就能解决问题,第三问中先利用f
10、(x0)=g(x0)对x0加以限制,然后将f(x0)=g(x0)转化成a=x02-2x02x0-1,从而转化为研究h(x)=-x3+3x2+ax-a1-x,x(0,1),a0的零点存在性问题,再研究函数m(x)=-x3+3x2+ax-a,x(0,1),a0,由m(0)0,可判断出m(x)在(0,1)上存在零点,进而解决问题.考点三数学归纳法(2017浙江,22,15分)已知数列xn满足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(nN*).证明:当nN*时,(1)0xn+10.当n=1时,x1=10.假设n=k时,xk0,那么n=k+1时,若xk+10,则00.因此xn0(nN*).所以x
11、n=xn+1+ln(1+xn+1)xn+1.因此0xn+10(x0).函数f(x)在0,+)上单调递增,所以f(x)f(0)=0,因此xn+12-2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1)=f(xn+1)0,故2xn+1-xnxnxn+12(nN*).(3)因为xn=xn+1+ln(1+xn+1)xn+1+xn+1=2xn+1,所以xn12n-1.由xnxn+122xn+1-xn得1xn+1-1221xn-120,所以1xn-1221xn-1-122n-11x1-12=2n-2,故xn12n-2.综上,12n-1xn12n-2(nN*).方法总结1.证明数列单调性的方法.差比法:作差an
12、+1-an,然后分解因式,判断符号,或构造函数,利用导数求函数的值域,从而判断其符号.商比法:作商an+1an,判断an+1an与1的大小,同时注意an的正负.数学归纳法.反证法:例如求证:nN*,an+10),则有n2时,an=a1a2a1a3a2anan-1a1qn-1(其中a10).放缩为等比数列:利用不等式性质,把非等比数列an放缩成等比数列bn,求和后,再进行适当放缩.C组教师专用题组考点一合情推理与演绎推理1.(2017北京,14,5分)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点Bi的横、纵坐标分别
13、为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3.记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1,Q2,Q3中最大的是;记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是.答案Q1p22.(2015福建,15,5分)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2xn(nN*),其中xk(k=1,2,n)称为第k位码元.二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0).已知某种二元码x1x2x7的码元满足如下校验方程组:x4x5x6x7=0,x2x3x6x7=0,x1x3x5x7=0,其中运算定义为:00=0,01=
14、1,10=1,11=0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k等于.答案53.(2014课标,14,5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为.答案A考点二直接证明与间接证明1.(2018北京,20,14分)设n为正整数,集合A=|=(t1,t2,tn),tk0,1,k=1,2,n.对于集合A中的任意元素=(x1,x2,xn)和=(y1,y2,yn),记M(,)=12(x1+y1-|x1-y1
15、|)+(x2+y2-|x2-y2|)+(xn+yn-|xn-yn|).(1)当n=3时,若=(1,1,0),=(0,1,1),求M(,)和M(,)的值;(2)当n=4时,设B是A的子集,且满足:对于B中的任意元素,当,相同时,M(,)是奇数;当,不同时,M(,)是偶数.求集合B中元素个数的最大值;(3)给定不小于2的n,设B是A的子集,且满足:对于B中的任意两个不同的元素,M(,)=0.写出一个集合B,使其元素个数最多,并说明理由.解析(1)因为=(1,1,0),=(0,1,1),所以M(,)=12(1+1-|1-1|)+(1+1-|1-1|)+(0+0-|0-0|)=2,M(,)=12(1+
16、0-|1-0|)+(1+1-|1-1|)+(0+1-|0-1|)=1.(2)设=(x1,x2,x3,x4)B,则M(,)=x1+x2+x3+x4.由题意知x1,x2,x3,x40,1,且M(,)为奇数,所以x1,x2,x3,x4中1的个数为1或3.所以B(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(0,1,1,1),(1,0,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1,0).将上述集合中的元素分成如下四组:(1,0,0,0),(1,1,1,0);(0,1,0,0),(1,1,0,1);(0,0,1,0),(1,0,1,1);(0,0,0,1),(0,1,1,
17、1).经验证,对于每组中两个元素,均有M(,)=1.所以每组中的两个元素不可能同时是集合B的元素.所以集合B中元素的个数不超过4.又集合(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)满足条件,所以集合B中元素个数的最大值为4.(3)设Sk=(x1,x2,xn)|(x1,x2,xn)A,xk=1,x1=x2=xk-1=0(k=1,2,n),Sn+1=(x1,x2,xn)|x1=x2=xn=0,所以A=S1S2Sn+1.对于Sk(k=1,2,n-1)中的不同元素,经验证,M(,)1.所以Sk(k=1,2,n-1)中的两个元素不可能同时是集合B的元素.所以B中元素的个
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